Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải chi tiết:
Theo định lí SGK, mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Chọn C.
Câu 2:Nhận biết: Phân biệt Cực trị và GTLN/GTNN
Toán Lớp 12
NhanBiet
Giá trị cực đại của hàm số có chắc chắn là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định không?
Lời giải chi tiết:
Cực trị là tính chất cục bộ, một hàm số có thể có điểm cực đại nhưng giá trị cực đại đó vẫn nhỏ hơn giá trị của hàm số tại một điểm khác xa hơn. Chọn B.
Câu 3:Thông hiểu: Tìm Min/Max của hàm số bậc 2
Toán Lớp 12
ThongHieu
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 - 4x + 5$ trên đoạn $[0; 3]$ là:
Lời giải chi tiết:
Hàm số $y = x^2 - 4x + 5$. Đạo hàm $y' = 2x - 4$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [0; 3]$. Tính các giá trị: $y(0) = 5$; $y(2) = 1$; $y(3) = 9 - 12 + 5 = 2$. So sánh ta thấy giá trị nhỏ nhất là 1. Chọn B.
Câu 4:Thông hiểu: Tìm Min/Max của hàm phân thức
Toán Lớp 12
ThongHieu
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 2]$ là:
Lời giải chi tiết:
Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Hàm số liên tục trên $[0; 2]$. Đạo hàm $y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \neq -1$. Hàm số đồng biến trên $[0; 2]$. Do đó GTLN là $y(2) = \frac{2(2)-1}{2+1} = \frac{3}{3} = 1$. Chọn B.
Câu 5:Vận dụng: Tìm Min/Max hàm căn thức
Toán Lớp 12
VanDung
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-2; 2]$. Đạo hàm $y' = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [-2; 2]$. Ta có $y(-2) = 0, y(2) = 0, y(0) = \sqrt{4} = 2$. Vậy GTLN là $M = 2$. Chọn A.
Câu 6:Vận dụng: Ứng dụng BĐT hoặc Đạo hàm cho hàm số mũ
Toán Lớp 12
VanDung
Hàm số $y = x - e^x$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$ tại điểm $x_0$ nào?
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm $y' = 1 - e^x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$. Lập bảng biến thiên: Khi $x < 0, y' > 0$; khi $x > 0, y' < 0$. Suy ra hàm số đạt GTLN tại $x_0 = 0$ và $\max y = 0 - e^0 = -1$. Chọn B.
Câu 7:Vận dụng cao: Định tham số m (1)
Toán Lớp 12
VanDungCao
Tìm tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x - m^2 + m}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 1]$ bằng $-2$.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm $y' = \frac{1(1) - 1(-m^2+m)}{(x+1)^2} = \frac{m^2 - m + 1}{(x+1)^2}$. Vì $m^2 - m + 1 = (m - 1/2)^2 + 3/4 > 0, \forall m$, nên $y' > 0, \forall x \neq -1$. Hàm số luôn đồng biến trên đoạn $[0; 1]$. Suy ra GTNN đạt tại $x = 0$. $\min_{[0;1]} y = y(0) = -m^2 + m$. Theo đề, $-m^2 + m = -2 \Leftrightarrow m^2 - m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = -1$ hoặc $m = 2$. Chọn B.
Câu 8:Vận dụng cao: Ứng dụng thực tiễn
Toán Lớp 12
VanDungCao
Người ta cần cắt một tấm tôn hình chữ nhật kích thước $50cm \times 80cm$ để làm một chiếc hộp không nắp bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gấp lên. Để thể tích chiếc hộp là lớn nhất, cạnh của hình vuông bị cắt bỏ bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Gọi $x$ là cạnh hình vuông bị cắt ($0 < x < 25$). Kích thước đáy hộp là $80 - 2x$ và $50 - 2x$. Chiều cao hộp là $x$. Thể tích hộp: $V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x) = 4x^3 - 260x^2 + 4000x$. Đạo hàm $V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000$. Cho $V'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 130x + 1000 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = \frac{100}{3} \approx 33.3$ (loại vì $x < 25$). Lập BBT ta thấy $V$ đạt GTLN tại $x = 10$. Chọn A.
Câu 9:Nhận biết: Định nghĩa tiệm cận ngang
Toán Lớp 12
NhanBiet
Cho hàm số $y = f(x)$. Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi nào?
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, nếu giới hạn của hàm số khi $x$ tiến ra vô cực bằng $y_0$ thì đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang. Chọn B.
Câu 10:Nhận biết: Số lượng tiệm cận ngang tối đa
Toán Lớp 12
NhanBiet
Một đồ thị hàm số $y = f(x)$ có thể có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Lời giải chi tiết:
Do $x$ chỉ có thể tiến ra $+\infty$ hoặc $-\infty$, nên có tối đa 2 giới hạn dẫn đến 2 đường tiệm cận ngang khác nhau (ví dụ hàm $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ có TCN $y=1$ và $y=-1$). Chọn B.
Câu 11:Thông hiểu: Tìm TCN của hàm bậc nhất / bậc nhất
Toán Lớp 12
ThongHieu
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{2x + 1}$ là:
Lời giải chi tiết:
Ta tính $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - 1}{2x + 1} = \frac{3}{2}$. Do đó tiệm cận ngang là $y = \frac{3}{2}$. Chọn A.
Câu 12:Thông hiểu: Tìm TCĐ của hàm bậc nhất / bậc nhất
Toán Lớp 12
ThongHieu
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$ là:
Lời giải chi tiết:
Nghiệm của mẫu là $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$. Thay $x=3$ lên tử được $2(3)-5 = 1 \neq 0$. Do đó $x = 3$ là tiệm cận đứng. Chọn C.
Câu 13:Vận dụng: Tiệm cận đứng chứa nghiệm ảo
Toán Lớp 12
VanDung
Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Lời giải chi tiết:
Ta có $y = \frac{x - 2}{(x - 2)^2} = \frac{1}{x - 2}$ (với $x \neq 2$). $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty$. Do đó $x = 2$ là đường tiệm cận đứng duy nhất. Có 1 đường TCĐ. Chọn B.
Câu 14:Vận dụng: Tiệm cận xiên hàm phân thức
Toán Lớp 12
VanDung
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x + 1}$ có phương trình là:
Lời giải chi tiết:
Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu: $(x^2 - 2x + 3) : (x + 1) = x - 3$ dư 6. Vậy $y = x - 3 + \frac{6}{x + 1}$. Khi $x \to \pm\infty$ thì $\frac{6}{x+1} \to 0$. Phương trình tiệm cận xiên là $y = x - 3$. Chọn B.
Câu 15:Vận dụng cao: Biện luận số tiệm cận
Toán Lớp 12
VanDungCao
Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{mx^2 + 1}}$ (với $m > 0$) có 2 đường tiệm cận ngang khi:
Lời giải chi tiết:
Khi $x \to +\infty$: $y \sim \frac{x}{\sqrt{m}x} = \frac{1}{\sqrt{m}} \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{m}}$ là một TCN. Khi $x \to -\infty$: do $x < 0$ nên $\sqrt{x^2} = -x$. Do đó $y \sim \frac{x}{-\sqrt{m}x} = -\frac{1}{\sqrt{m}} \Rightarrow y = -\frac{1}{\sqrt{m}}$ là TCN thứ hai. Vậy với mọi $m > 0$, đồ thị luôn có đúng 2 đường TCN. Chọn B.
Câu 16:Vận dụng cao: Tổng khoảng cách đến tiệm cận
Toán Lớp 12
VanDungCao
Gọi $M$ là một điểm thuộc đồ thị $(C)$ của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$. Tích khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận của $(C)$ bằng:
Lời giải chi tiết:
TCĐ: $x = 1 \Rightarrow x - 1 = 0$. TCN: $y = 2 \Rightarrow y - 2 = 0$. Gọi $M(x_0; y_0) \in (C) \Rightarrow y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = 2 + \frac{1}{x_0 - 1}$. Khoảng cách từ $M$ đến TCĐ: $d_1 = |x_0 - 1|$. Khoảng cách từ $M$ đến TCN: $d_2 = |y_0 - 2| = \left| \frac{1}{x_0 - 1} \right|$. Tích $d_1 \cdot d_2 = |x_0 - 1| \cdot \frac{1}{|x_0 - 1|} = 1$. (Tích này luôn không đổi). Chọn A.
Câu 17:Nhận biết: Đặc điểm của vectơ
Toán Lớp 12
NhanBiet
Vectơ trong không gian là gì?
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng (đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối). Chọn B.
Câu 18:Nhận biết: Quy tắc hình hộp
Toán Lớp 12
NhanBiet
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Đẳng thức nào sau đây ĐÚNG?
Lời giải chi tiết:
Theo quy tắc hình hộp, tổng 3 vectơ cạnh xuất phát từ một đỉnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Chọn B.
Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ (quy tắc hiệu). Suy ra $\vec{v} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$. Chọn A.
Câu 20:Thông hiểu: Sự đồng phẳng
Toán Lớp 12
ThongHieu
Trong không gian, ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (trong đó $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương) đồng phẳng khi và chỉ khi:
Lời giải chi tiết:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng (khi có 2 vectơ không cùng phương) là vectơ này biểu diễn được qua hai vectơ kia một cách duy nhất, tức là $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$. Khái niệm "cùng nằm trong 1 mặt phẳng" là chưa chính xác vì chúng chỉ cần có giá SONG SONG với cùng 1 mặt phẳng. Chọn B.
Câu 21:Vận dụng: Tính độ dài vectơ
Toán Lớp 12
VanDung
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài của vectơ $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.
Lời giải chi tiết:
Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Độ dài vectơ này chính là độ dài đường chéo của hình lập phương. $AC' = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Chọn B.
Câu 22:Vận dụng: Trọng tâm tứ diện
Toán Lớp 12
VanDung
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện. Đẳng thức nào sau đây ĐÚNG?
Lời giải chi tiết:
Điểm $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ thì đặc trưng bằng đẳng thức: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$. Khẳng định D cũng đúng nếu xuất phát từ 1 đỉnh $A$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{AG}$, nhưng A là tính chất gốc quen thuộc nhất của trọng tâm. Chọn A.
Câu 23:Vận dụng cao: Biểu diễn vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng
Toán Lớp 12
VanDungCao
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$. Biểu diễn $\overrightarrow{DM}$ theo ba vectơ $\vec{a} = \overrightarrow{DA}, \vec{b} = \overrightarrow{DC}, \vec{c} = \overrightarrow{DD'}$.
Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. Xét ba vectơ $\vec{x} = 2\vec{a} - \vec{b}, \vec{y} = \vec{b} + \vec{c}, \vec{z} = 4\vec{a} + m\vec{c}$. Tìm $m$ để $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
Ba vectơ đồng phẳng khi tồn tại các số $p, q$ sao cho $\vec{z} = p\vec{x} + q\vec{y}$. $\Leftrightarrow 4\vec{a} + m\vec{c} = p(2\vec{a} - \vec{b}) + q(\vec{b} + \vec{c})$ $\Leftrightarrow 4\vec{a} + m\vec{c} = 2p\vec{a} + (q - p)\vec{b} + q\vec{c}$. Do $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng nên ta đồng nhất hệ số: $\begin{cases} 2p = 4 \ q - p = 0 \ q = m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} p = 2 \ q = 2 \ m = 2 \end{cases}$. Vậy $m = 2$. Chọn B.
Câu 25:Nhận biết: Mối liên hệ đạo hàm và tính đơn điệu
Toán Lớp 12
NhanBiet
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $K$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Lời giải chi tiết:
Theo định lí mở rộng, nếu $f'(x) \ge 0, \forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên $K$. Khẳng định C sai vì nếu đồng biến thì $f'(x) \ge 0$. Chọn B.
Câu 26:Nhận biết: Điều kiện có cực trị
Toán Lớp 12
NhanBiet
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Điều kiện cần và đủ để $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số là gì?
Lời giải chi tiết:
Điều kiện cần và đủ (tổng quát nhất) để $x_0$ là điểm cực trị là đạo hàm $f'(x)$ phải đổi dấu khi qua $x_0$ (ngay cả khi đạo hàm không tồn tại tại $x_0$). $f'(x_0)=0$ chưa chắc đã là cực trị (VD: $y=x^3$ tại $x=0$). Chọn B.
Câu 27:Thông hiểu: Đơn điệu của hàm bậc 3
Toán Lớp 12
ThongHieu
Khoảng đồng biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 1$ là:
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $y' = -3x^2 + 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow -3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Trong khoảng $(0; 2)$, $y' > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến. Ngoài khoảng, $y' < 0 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến trên $(0; 2)$. Chọn A.
Câu 28:Thông hiểu: Đơn điệu hàm phân thức
Toán Lớp 12
ThongHieu
Hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ nghịch biến trên các khoảng nào sau đây?
Lời giải chi tiết:
Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Đạo hàm: $y' = \frac{2(-1) - 1(1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0, \forall x \neq 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Lưu ý: Không dùng kí hiệu $\cup$ hay $\setminus$ khi kết luận tính đơn điệu. Chọn C.
Câu 29:Vận dụng: Cực trị hàm số bậc 4
Toán Lớp 12
VanDung
Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^4 - 2x^2 - 3$.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x=0, x=\pm 1$.
$y'' = 12x^2 - 4$.
Tại $x=0$, $y''(0) = -4 < 0 \Rightarrow$ cực đại.
Tại $x=\pm 1$, $y''(\pm 1) = 8 > 0 \Rightarrow$ cực tiểu.
Với $x=1 \Rightarrow y = -4$. Với $x=-1 \Rightarrow y=-4$. Đề hỏi "điểm cực tiểu của ĐỒ THỊ", nên là cặp tọa độ $(x; y)$. Đó là $(1; -4)$ và $(-1; -4)$. Chọn D.
Câu 30:Vận dụng: Tìm tham số để hàm số đồng biến
Toán Lớp 12
VanDung
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$.
Lời giải chi tiết:
Ta có $y' = x^2 - 2mx + m^2 - 4$. $y'' = 2x - 2m$.
Để hàm số đạt cực đại tại $x=3$, điều kiện là $\begin{cases} y'(3) = 0 \ y''(3) < 0 \end{cases}$.
$y'(3) = 9 - 6m + m^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow m^2 - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=5$.
Thay vào điều kiện 2: $y''(3) = 6 - 2m < 0 \Leftrightarrow 2m > 6 \Leftrightarrow m > 3$.
Vậy nhận $m = 5$. Chọn B.
Câu 31:Vận dụng cao: Đồng biến trên khoảng
Toán Lớp 12
VanDungCao
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 4}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: $x \neq m$. Đạo hàm $y' = \frac{-m^2 + 4}{(x-m)^2}$.
Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$ khi và chỉ khi $\begin{cases} y' > 0, \forall x \neq m \ m \notin (0; +\infty) \end{cases}$.
$\Leftrightarrow \begin{cases} -m^2 + 4 > 0 \ m \le 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 < m < 2 \ m \le 0 \end{cases} \Leftrightarrow -2 < m \le 0$. Chọn B.
Câu 32:Vận dụng cao: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Toán Lớp 12
VanDungCao
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. $y'=0 \Leftrightarrow x=0, x=2$.
Điểm cực trị thứ nhất: $x=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow A(0; 1)$.
Điểm cực trị thứ hai: $x=2 \Rightarrow y=8 - 12 + 1 = -3 \Rightarrow B(2; -3)$.
Đường thẳng AB: đi qua $(0;1)$ có dạng $y = ax + b \Rightarrow b=1$. Qua $(2; -3) \Rightarrow -3 = 2a + 1 \Rightarrow a = -2$. Vậy $y = -2x + 1$. (Mẹo dùng $y - y' \cdot \frac{y''}{18a}$ cho hàm số bậc 3). Chọn A.
Câu 33:Nhận biết: Định nghĩa nguyên hàm
Toán Lớp 12
NhanBiet
Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x) = f(x)$. Chọn B.
Câu 34:Nhận biết: Công thức nguyên hàm cơ bản
Toán Lớp 12
NhanBiet
Mệnh đề nào sau đây SAI?
Lời giải chi tiết:
Công thức đúng phải là $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$. Thiếu trị tuyệt đối là sai (trừ khi biết $x > 0$). Chọn B.
Câu 35:Thông hiểu: Nguyên hàm đa thức
Toán Lớp 12
ThongHieu
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ là:
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(x) \neq 0$. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{f(x)}{F^2(x)}$.
Lời giải chi tiết:
Theo tính chất đạo hàm hàm hợp, $\left( \frac{-1}{u} \right)' = \frac{u'}{u^2}$. Ở đây $u = F(x)$, nên $u' = F'(x) = f(x)$. Vậy $\left( \frac{-1}{F(x)} \right)' = \frac{F'(x)}{F^2(x)} = \frac{f(x)}{F^2(x)}$. Do đó, họ nguyên hàm là $\frac{-1}{F(x)} + C$. Chọn B.
Câu 41:Nhận biết: Số cực trị của hàm bậc 3
Toán Lớp 12
NhanBiet
Đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm $y' = 3ax^2 + 2bx + c$ là phương trình bậc hai nên có tối đa 2 nghiệm phân biệt. Do đó hàm bậc 3 có tối đa 2 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 42:Nhận biết: Tâm đối xứng hàm phân thức
Toán Lớp 12
NhanBiet
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$ là điểm nào?
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số phân thức $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận $I(-d/c; a/c)$. Ở đây tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận ngang $y = 2$. Tâm đối xứng $I(-1; 2)$. Chọn C.
Câu 43:Thông hiểu: Nhận diện đồ thị hàm bậc 3 qua hệ số a
Toán Lớp 12
ThongHieu
Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình chữ N (đi lên từ trái sang phải, có 2 cực trị). Dấu của hệ số $a$ là:
Lời giải chi tiết:
Khi $x \to +\infty$ đồ thị hướng lên trên $\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \Rightarrow a > 0$. Dáng chữ N chuẩn ứng với $a > 0$. Chọn A.
Câu 44:Thông hiểu: Tìm tọa độ giao điểm với trục tung
Toán Lớp 12
ThongHieu
Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{2x - 1}$ với trục tung có tọa độ là:
Lời giải chi tiết:
Trục tung có phương trình $x = 0$. Thay $x = 0$ vào hàm số: $y = \frac{0 + 3}{2(0) - 1} = -3$. Điểm giao là $(0; -3)$. Chọn A.
Câu 45:Vận dụng: Đọc bảng biến thiên (BBT)
Toán Lớp 12
VanDung
Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$. Biết đạo hàm đổi dấu từ $(-)$ sang $(+)$ tại $x = 1$ và $f(1) = -2$. Khẳng định nào ĐÚNG?
Lời giải chi tiết:
Vì đạo hàm đổi dấu từ $(-)$ sang $(+)$ tại $x=1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Giá trị cực tiểu là $y = -2$. Điểm cực tiểu của ĐỒ THỊ là $(1; -2)$. Chọn C.
Câu 46:Vận dụng: Sự tương giao của hai đồ thị
Toán Lớp 12
VanDung
Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x$ và đường thẳng $y = x$ là:
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^3 - 3x = x \Leftrightarrow x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ hoặc $x = -2$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên có 3 giao điểm. Chọn C.
Câu 47:Vận dụng cao: Biện luận nghiệm bằng đồ thị
Toán Lớp 12
VanDungCao
Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^3 - 3x + 2 = m$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Khảo sát hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Ta có $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Giá trị cực đại $f(-1) = 4$. Giá trị cực tiểu $f(1) = 0$. Số nghiệm của pt là số giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $y=m$ nằm ngang. Để có 3 giao điểm thì đường thẳng phải cắt ngang giữa cực đại và cực tiểu, tức là $0 < m < 4$. Chọn A.
Câu 48:Vận dụng cao: Nhận diện đồ thị hàm chứa dấu GTTĐ
Toán Lớp 12
VanDungCao
Từ đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x^3 - 3x$, muốn vẽ đồ thị $(C') $ của hàm số $y = |x^3 - 3x|$, ta thực hiện phép suy đồ thị nào?
Lời giải chi tiết:
Đồ thị $y = |f(x)|$ được suy ra từ $y = f(x)$ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành ($y \ge 0$), và lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành ($y < 0$) qua trục hoành, sau đó xóa bỏ phần phía dưới trục hoành. Chọn C.