Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện vuông góc, tính chất cơ bản, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng, mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc, và ứng dụng phương thẳng đứng, nằm ngang trong thực tiễn.
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
- Nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Nắm vững và vận dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Giải thích mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
- Vận dụng kiến thức về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vào thực tế.
Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng đứng để có thể vững chãi, mặc dù vậy, cũng có những công trình có phương nghiêng. Nếu đứng tại Quảng trường màu nhiệm ở Pisa (H.7.9), bằng mắt thường, ta có thể cảm nhận rằng tháp ngoài cùng bên phải trong hình là nghiêng và các công trình còn lại đều thẳng đứng. Sau bài học, ta có thể diễn giải chính xác và bản chất hơn về điều này.
Hình 7.9: Quảng trường màu nhiệm (Square of Miracles) ở Pisa, Toscana, Italy
1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới \(BC\) của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).
a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng \(AB\) vuông góc với mọi đường thẳng đi qua \(B\) trên sàn nhà.
b) Giải thích vì sao đường thẳng \(AB\) vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.
Xem lời giải HĐ1
a) Vì mép cửa \(AB \perp BC\) tại mọi vị trí mở cửa, mà khi quay cánh cửa, tia \(BC\) quét qua mọi đường thẳng đi qua \(B\) trên mặt sàn, nên \(AB\) vuông góc với mọi đường thẳng đi qua \(B\) trên sàn nhà.
b) Với một đường thẳng \(d\) bất kì trên sàn nhà, ta luôn dựng được đường thẳng \(d'\) đi qua \(B\) và song song với \(d\). Vì \(AB \perp d'\) nên theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, \(AB \perp d\). Vậy \(AB\) vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.
Đường thẳng \(\Delta\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nếu \(\Delta\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \((P)\).
Chú ý: Khi \(\Delta\) vuông góc với \((P)\), ta còn nói \((P)\) vuông góc với \(\Delta\) hoặc \(\Delta\) và \((P)\) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\Delta \perp (P)\).
Câu hỏi thảo luận:
Nếu đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?
Trả lời: Có, \(\Delta\) và \((P)\) luôn cắt nhau tại duy nhất một điểm. Giả sử \(\Delta \parallel (P)\) hoặc \(\Delta \subset (P)\), khi đó trong \((P)\) luôn tồn tại một đường thẳng \(d \parallel \Delta\), suy ra góc giữa \(\Delta\) và \(d\) bằng \(0^\circ \ne 90^\circ\) (mâu thuẫn với định nghĩa \(\Delta\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \((P)\)).
Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.
a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng \(AB\) vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?
b) Trên mặt bàn, qua điểm \(A\) kẻ một đường thẳng \(a\) tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem \(AB\) có vuông góc với \(a\) hay không.
Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí (Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng):
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Câu hỏi thảo luận:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?
Trả lời: Có. Vì hai cạnh của một tam giác cắt nhau tại một đỉnh và cùng thuộc mặt phẳng chứa tam giác đó, nên đường thẳng vuông góc với hai cạnh tam giác sẽ vuông góc với toàn bộ mặt phẳng tam giác, do đó nó vuông góc với cạnh còn lại.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và cạnh \(SA\) vuông góc với các cạnh \(AB, AC\). Chứng minh rằng \(BC \perp (SAB)\).
Lời giải:
• Vì \(SA\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(AB\) và \(AC\) nên \(SA \perp (ABC)\). Do \(BC \subset (ABC)\), suy ra \(SA \perp BC\) hay \(BC \perp SA\).
• Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(BC \perp BA\).
• Vì \(BC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(SA\) và \(BA\) trong mặt phẳng \((SAB)\) nên \(BC \perp (SAB)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), \(SA = SC\) và \(SB = SD\) (H.7.14). Chứng minh rằng \(SO \perp (ABCD)\).
Xem lời giải Luyện tập 1
Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
• Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) (do \(SA = SC\)) có trung tuyến \(SO\) đồng thời là đường cao, do đó \(SO \perp AC\).
• Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) (do \(SB = SD\)) có trung tuyến \(SO\) đồng thời là đường cao, do đó \(SO \perp BD\).
• Đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\) là hai đường thẳng cắt nhau tại \(O\) trong mặt phẳng \((ABCD)\).
Từ đó suy ra \(SO \perp (ABCD)\).
Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.
Xem lời giải Vận dụng
Hai thanh đế thẳng được đặt cắt nhau trên mặt phẳng sàn nhà, do đó chúng xác định mặt phẳng sàn nhà.
Cột treo được dựng vuông góc với cả hai thanh đế cắt nhau này, theo định lí điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cột treo sẽ vuông góc với mặt phẳng chứa hai thanh đế đó, tức là vuông góc với mặt phẳng sàn nhà.
2 Tính chất
Cho điểm \(O\) và đường thẳng \(\Delta\) không đi qua \(O\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(\Delta\). Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý \((P)\) và \((Q)\) cùng chứa \(d\). Trong các mặt phẳng \((P), (Q)\) tương ứng kẻ các đường thẳng \(a, b\) cùng đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\) (H.7.16). Giải thích vì sao \(\text{mp}(a, b)\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(\Delta\).
Tính chất 1:
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Nhận xét:
Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt \(a, b, c\) cùng đi qua một điểm \(O\) và cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta\) thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(\Delta\) (H.7.17).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
Chứng minh rằng điểm \(M\) cách đều hai điểm phân biệt \(A, B\) cho trước khi và chỉ khi \(M\) thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\).
Lời giải:
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\).
Ta có \(MA = MB\) khi và chỉ khi \(M \equiv I\) hoặc tam giác \(MAB\) cân tại \(M\). Mặt khác, tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) khi và chỉ khi trung tuyến \(MI \perp AB\), tức là đường thẳng \(MI\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) (hay \(M \in (\alpha)\)).
Do đó, \(MA = MB\) khi và chỉ khi \(M\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\).
Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Chú ý: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là tập hợp các điểm cách đều hai điểm \(A, B\).
Cho mặt phẳng \((P)\) và điểm \(O\). Trong mặt phẳng \((P)\), lấy hai đường thẳng cắt nhau \(a, b\) tuỳ ý. Gọi \((\alpha), (\beta)\) là các mặt phẳng qua \(O\) và tương ứng vuông góc với \(a, b\) (H.7.19).
a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng \((\alpha), (\beta)\) cắt nhau theo một đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(O\).
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa \(\Delta\) và \((P)\).
Tính chất 2:
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C\) sao cho các đường thẳng \(AB\) và \(AC\) cùng vuông góc với một mặt phẳng \((P)\). Chứng minh rằng ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.
Xem lời giải Luyện tập 2
Hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) cùng đi qua điểm \(A\) và cùng vuông góc với mặt phẳng \((P)\).
Theo Tính chất 2, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \((P)\).
Do đó, hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) phải trùng nhau. Suy ra ba điểm \(A, B, C\) cùng nằm trên một đường thẳng, tức là ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.
Cho điểm \(A\) nằm ngoài mặt phẳng \((P)\). Giải thích vì sao có duy nhất điểm \(H\) thuộc \((P)\) sao cho đường thẳng \(AH\) vuông góc với \((P)\).
Lời giải:
Gọi \(a\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Lấy điểm \(H\) thuộc \((P)\).
Khi đó, đường thẳng \(AH\) vuông góc với \((P)\) khi và chỉ khi \(AH\) trùng với \(a\), tức là \(H\) là giao điểm của \(a\) và \((P)\). Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cắt mặt phẳng tại duy nhất một điểm, nên có duy nhất điểm \(H \in (P)\) thoả mãn \(AH \perp (P)\).
Điểm \(H\) được gọi là hình chiếu vuông góc (hay đơn giản là hình chiếu) của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((P)\).
3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Nội dung của mục này nhằm củng cố kiến thức và kĩ năng đã học ở hai mục trên. Ngoài ra, từ đó có thể rút ra các tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) và song song với đường thẳng \(b\). Lấy một đường thẳng \(m\) bất kì thuộc \((P)\) (H.7.20). Tính góc \((b, m)\) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa \(b\) và \((P)\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Xét \(O\) là một điểm thuộc \(a\) nhưng không thuộc \(b\). Gọi \(c\) là đường thẳng qua \(O\) và song song với \(b\) (H.7.21). Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(a\) và \(b\).
Định lí 1:
- Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì các đường thẳng song song với \(a\) cũng vuông góc với \((P)\).
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Cho tứ diện \(OABC\) có các cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(M, N\) tương ứng là trọng tâm của các tam giác \(ABC, OBC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) vuông góc với mặt phẳng \((OBC)\).
Lời giải:
Vì \(AO\) vuông góc với các đường thẳng \(OB, OC\) nên \(AO \perp (OBC)\).
Kẻ các đường trung tuyến \(AD, OD\) tương ứng của các tam giác \(ABC, OBC\). Trong tam giác \(AOD\), ta có: \[\frac{MA}{MD} = \frac{NO}{ND} = 2 \implies MN \parallel AO.\]
Mặt khác, \(AO \perp (OBC)\) nên theo Định lí 1, \(MN \perp (OBC)\).
Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau và đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với \((P)\). Gọi \(b\) là một đường thẳng bất kì thuộc \((Q)\) (H.7.23). So sánh góc \((\Delta, b)\) và góc \((\Delta, a)\), từ đó rút ra mối quan hệ giữa \(\Delta\) và \((Q)\).
Cho hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((Q)\) cùng vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) (H.7.24). Lấy \(O \in (P)\). Gọi \((R)\) qua \(O\) song song với \((Q)\). Nhận xét vị trí tương đối giữa \((P)\) và \((Q)\).
Định lí 2:
- Nếu đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \(\Delta\) cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với \((P)\).
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Cho hình chóp \(S.ABC\). Các điểm \(M, N, P\) tương ứng là trung điểm của \(SA, SB, SC\). Đường thẳng qua \(S\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cắt mặt phẳng đó tại \(H\). Chứng minh rằng \(SH \perp (MNP)\).
Lời giải:
Trong tam giác \(SAB\), \(MN\) là đường trung bình nên \(MN \parallel AB\). Tương tự, trong tam giác \(SAC\), \(MP\) là đường trung bình nên \(MP \parallel AC\).
Vì \(MN \parallel AB\) và \(MP \parallel AC\) (với \(AB, AC \subset (ABC)\)), suy ra \((MNP) \parallel (ABC)\).
Mặt khác, \(SH \perp (ABC)\) nên theo Định lí 2, \(SH \perp (MNP)\).
Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?
Xem lời giải Luyện tập 3
Có, mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn song song với nhau.
Vì mặt bàn và mặt sàn là hai mặt phẳng phân biệt, cùng vuông góc với đường thẳng chứa chân bàn. Theo Định lí 2, hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Định lí 3:
- Nếu đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \(\Delta\) vuông góc với mọi đường thẳng song song với \((P)\).
- Nếu đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\) cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta\) thì \(a\) nằm trong \((P)\) hoặc song song với \((P)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình vuông, \(SA \perp (ABCD)\). Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của \(SB, BC\). Chứng minh rằng \(BD \perp MN\).
Lời giải:
• Do \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp BD\). Mặt khác, vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \perp BD\).
Từ đó suy ra \(BD \perp (SAC)\) (vì \(BD\) vuông góc với hai đường cắt nhau \(SA, AC\)).
• Trong tam giác \(SBC\), \(MN\) là đường trung bình nên \(MN \parallel SC\). Mà \(SC \subset (SAC)\) nên \(MN \parallel (SAC)\).
• Theo Định lí 3, vì \(BD \perp (SAC)\) và \(MN \parallel (SAC)\) nên \(BD \perp MN\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình vuông, \(SA \perp (ABCD)\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(SC\) (\(H \in SC\)), \(BM\) vuông góc với \(SC\) (\(M \in SC\)). Chứng minh rằng \(SC \perp (MBD)\) và \(AH \parallel (MBD)\).
Xem lời giải Luyện tập 4
• Chứng minh \(SC \perp (MBD)\):
Theo Ví dụ 6, ta có \(BD \perp (SAC) \implies BD \perp SC\).
Mặt khác, theo giả thiết \(BM \perp SC\). Hai đường thẳng \(BD\) và \(BM\) cắt nhau tại \(B\) trong mặt phẳng \((MBD)\).
Do đó \(SC \perp (MBD)\).
• Chứng minh \(AH \parallel (MBD)\):
Ta có \(AH \perp SC\) và mặt phẳng \((MBD) \perp SC\). Do đó đường thẳng \(AH\) hoặc song song hoặc nằm trong \((MBD)\).
Vì điểm \(A \notin (MBD)\) nên \(AH\) không thể nằm trong \((MBD)\). Vậy \(AH \parallel (MBD)\).
Phương thẳng đứng là phương đi qua tâm Trái Đất. Để xác định phương thẳng đứng đi qua một điểm, người ta thường dùng cách thả dây dọi từ điểm đó (H.7.28). Do quả dọi chịu lực hút hướng về tâm Trái Đất nên đường thẳng chứa dây dọi khi đó chính là phương thẳng đứng cần xác định.
Trong xây dựng, để có thể vững chãi, các công trình kiến trúc thường được thiết kế với chiều cao có phương thẳng đứng. Trong khi xây, người thợ thường dùng dây dọi để đảm bảo các bức tường chứa phương thẳng đứng. Đặc biệt, đường giao nhau của hai bức tường có phương thẳng đứng. Nếu công trình kiến trúc không thẳng đứng thì ta nói nó nghiêng, chẳng hạn tháp Pisa ở Italy là nghiêng và thường được gọi là Tháp nghiêng Pisa.
Hình 7.28: Dây dọi xác định phương thẳng đứng
Mặt phẳng nằm ngang tại một điểm là mặt phẳng vuông góc với phương thẳng đứng tại điểm đó. Phương nằm ngang tại một điểm là phương đi qua điểm đó và thuộc mặt phẳng nằm ngang tại đó.
Mặt nước (trong chậu, trong hồ,...) lúc yên lặng là một mặt phẳng nằm ngang. Dựa vào nguyên tắc bình thông nhau, trong thực tế người ta thường dùng ống nhựa mềm chứa nước bên trong để xác định phương nằm ngang: Đường thẳng nối hai điểm \(A, B\) có phương nằm ngang khi có thể điều chỉnh hai đầu dây để mực nước trong hai đầu của dây tương ứng ở hai vị trí \(A\) và \(B\) (H.7.29).
Khi công trình kiến trúc được xây dựng trên một mặt phẳng nằm ngang thì bằng mắt thường ta có thể cảm nhận được tương đối chính xác công trình đó là đứng hay nghiêng. Tuy vậy, nếu công trình được xây dựng trên một nền không có phương nằm ngang thì việc nhận biết bằng mắt thường sẽ khó khăn hơn. Sàn nhà thường được thiết kế có phương nằm ngang. Tuy vậy, cũng có một số ngoại lệ, chẳng hạn, để dễ dàng thoát nước, sàn nhà tắm, sân,... thường được làm nghiêng.
Hình 7.29: Dùng ống nước cân thăng bằng
Hình 7.30: Mặc dù nằm trên dốc núi, các ruộng bậc thang đều được thiết kế theo các mặt phẳng nằm ngang nhằm giữ nước.
Hình 7.31: Các cây cột đèn có phương thẳng đứng nên không vuông góc với mặt dốc.