Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Câu a:

Ta tính các giá trị lượng giác có trong biểu thức:
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;
• $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
• $\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
• $\cos 180^\circ = -1$;
• $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Thay vào biểu thức: $$\begin{aligned} A &= \left[2 \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3 \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right] \cdot \left[-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \\ &= \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \\ &= -\left(1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \\ &= -\frac{3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3 - \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}{3} \\ &= -\frac{6 + 4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}{3} = -2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}. \end{aligned}$$

Câu b:

Ta có:
• $\sin 90^\circ = 1 \implies \sin^2 90^\circ = 1^2 = 1$;
• $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \implies \cos^2 120^\circ = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$;
• $\cos 0^\circ = 1 \implies \cos^2 0^\circ = 1^2 = 1$;
• $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \implies \tan^2 60^\circ = (\sqrt{3})^2 = 3$;
• $\cot 135^\circ = -\cot 45^\circ = -1 \implies \cot^2 135^\circ = (-1)^2 = 1$.

Thay vào biểu thức: $$B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.$$

Câu a:

Ta có:
• $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$;
• $\cos 164^\circ = \cos(180^\circ - 16^\circ) = -\cos 16^\circ \implies \cos 16^\circ + \cos 164^\circ = 0$.

Thay vào biểu thức $A$: $$A = \sin 80^\circ + \sin 80^\circ + [\cos 16^\circ + (-\cos 16^\circ)] = 2\sin 80^\circ.$$

Chứng minh câu a: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Trên nửa đường tròn đơn vị tâm $O(0; 0)$ bán kính $R = 1$, lấy điểm $M(x_0; y_0)$ sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$.

Theo định nghĩa: $\cos \alpha = x_0$ và $\sin \alpha = y_0$.

Vì điểm $M$ luôn nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$, khoảng cách từ $O$ đến $M$ bằng $1$:

$$OM^2 = x_0^2 + y_0^2 = 1^2 = 1$$

⇒ Do đó: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ (điều phải chứng minh).

Chứng minh câu b: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \ne 90^\circ$)

Với $\alpha \ne 90^\circ$, ta có $\cos \alpha \ne 0$ và $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Biến đổi vế trái: $$1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$

Áp dụng hệ thức đã chứng minh ở câu a ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$), ta được: $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \text{(điều phải chứng minh)}.$$