Tóm tắt trọng tâm: Phương pháp giải hai dạng phương trình vô tỉ cơ bản: căn f(x) = căn g(x) và căn f(x) = g(x) bằng phương pháp bình phương khử căn.
Dạng 1: $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$
Để giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$, ta thực hiện theo 2 cách:
• Cách 1 (Biến đổi tương đương):
$$\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (\text{hoặc } g(x) \ge 0) \\ f(x) = g(x) \end{cases}$$
• Cách 2 (Bình phương và thử lại): Bình phương hai vế đưa về phương trình $f(x) = g(x)$, giải tìm nghiệm rồi thay lại vào một trong hai biểu thức dưới căn để loại nghiệm ngoại lai.
Dạng 2: $\sqrt{f(x)} = g(x)$
Để giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$:
• Công thức tương đương chuẩn:
$$\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}$$
• Lưu ý quan trọng: Bắt buộc vế phải $g(x)$ phải không âm ($g(x) \ge 0$) vì căn bậc hai số học luôn không âm. Nếu bình phương hai vế không đặt điều kiện thì sau khi tìm nghiệm phải thay trực tiếp vào phương trình gốc để kiểm tra loại nghiệm vi phạm.
Quy trình 3 bước giải phương trình vô tỉ
1. Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để khử dấu căn thức bậc hai.
2. Bước 2: Rút gọn và giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai nhận được.
3. Bước 3 (Bắt buộc): Thử lại các giá trị nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu, kết luận tập nghiệm đúng.