Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

TOÁN 10 - TẬP 1 | CHƯƠNG III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 38 - 43)

Thời lượng: 3 tiết

THUẬT NGỮ CỐT LÕI

Định lí côsin ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$)
Định lí sin ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$)
Các công thức tính diện tích ($S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{abc}{4R} = pr$)
Công thức Heron ($S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$)
Giải tam giác và ứng dụng đo đạc thực tế

KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT

Hiểu và nhớ chính xác định lí côsin, định lí sin, hệ quả và các công thức tính diện tích tam giác.
Thành thạo kĩ năng giải tam giác trong các trường hợp: biết hai cạnh và góc xen giữa, biết ba cạnh, hoặc biết một cạnh và hai góc kề.
Biết tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$, nội tiếp $r$, độ dài đường cao và trung tuyến.
Vận dụng linh hoạt hệ thức lượng để giải quyết bài toán đo khoảng cách thực địa (đo Tháp Rùa, bề rộng đảo, chiều cao toà nhà, đường hầm xuyên núi).

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (TRANG 38)

Ngắm Tháp Rùa từ bờ hồ Hoàn Kiếm, chỉ với những dụng cụ đo đạc đơn giản, dễ chuẩn bị (hai cọc tiêu trên bờ hồ, giác kế đo góc và thước dây), ta cũng có thể xác định chính xác khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa nằm giữa mặt hồ mà không cần phải bơi ra hồ hay dùng flycam.

Vấn đề toán học:

Làm thế nào để tính độ dài các cạnh và các góc của một tam giác bất kì khi chỉ biết một số yếu tố góc hoặc cạnh của nó? Hệ thức lượng trong tam giác chính là chìa khoá vạn năng giải quyết vấn đề này!

Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Quy ước kí hiệu: Đối với tam giác $ABC$, ta kí hiệu $A, B, C$ là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; $a, b, c$ tương ứng là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$; $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi; $S$ là diện tích; $R, r$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Trong tam giác $ABC$ bất kì với các cạnh $a, b, c$ và các góc $A, B, C$, ta có:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Hệ quả tính số đo góc:

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Định lí Pythagore có phải là trường hợp đặc biệt của định lí côsin?
Đúng vậy! Khi tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $\widehat{A} = 90^\circ \implies \cos A = \cos 90^\circ = 0$. Khi đó hệ thức trở thành $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc(0) = b^2 + c^2$, chính là định lí Pythagore quen thuộc.

Ví dụ 1 (SGK tr. 39)

Tính cạnh tam giác

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120^\circ$ và $AB = 5, AC = 8$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$, ta có:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos 120^\circ$$

$$= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 64 + 40 = 129$$

⇒ Vậy $BC = \sqrt{129} \approx 11{,}36$.

Luyện tập 1

Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5, AC = 8$ và $\widehat{A} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải:

• Cạnh $a = BC$: $a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 45^\circ = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 89 - 40\sqrt{2} \approx 32{,}43 \implies a \approx 5{,}69$.

• Góc $B$: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{32{,}43 + 25 - 64}{2 \cdot 5{,}69 \cdot 5} \approx -0{,}1155 \implies \widehat{B} \approx 96^\circ 38'$.

• Góc $C$: $\widehat{C} = 180^\circ - (45^\circ + 96^\circ 38') \approx 38^\circ 22'$.

2. ĐỊNH LÍ SIN

Từ việc vẽ đường kính $BM = 2R$ đi qua đỉnh $B$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, ta nhận thấy tam giác $BCM$ vuông tại $C$ có $\sin M = \frac{a}{2R}$. Vì góc nội tiếp chắn cùng một cung bằng nhau hoặc bù nhau, ta luôn có $\sin A = \sin M$, dẫn đến định lí sin kì diệu:

ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Trong tam giác $ABC$ bất kì với bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$, ta có tỉ số giữa mỗi cạnh và sin của góc đối diện là một hằng số bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Tính cạnh: $a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C$

Bán kính ngoại tiếp: $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{c}{2\sin C}$

Ví dụ 2 (SGK tr. 40)

Áp dụng định lí sin

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135^\circ, \widehat{C} = 15^\circ$ và $b = 12$. Tính $a, c, R$ và số đo góc $B$.

Lời giải:

• Ta có góc $\widehat{B} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 30^\circ$.

• Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 15^\circ} = 2R$.

• Suy ra:
$a = \frac{12}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 135^\circ = \frac{12}{1/2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{12\sqrt{2}} \approx 16{,}97$;
$c = \frac{12}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 15^\circ = 24 \sin 15^\circ \approx \mathbf{6{,}21}$;
$R = \frac{12}{2\sin 30^\circ} = \frac{12}{2 \cdot (1/2)} = \mathbf{12}$.

3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Trường hợp 1 (c-g-c)

Biết hai cạnh và góc xen giữa: Dùng định lí côsin tìm cạnh thứ ba, sau đó tìm các góc còn lại.

Trường hợp 2 (c-c-c)

Biết ba cạnh: Dùng hệ quả định lí côsin tìm số đo hai góc, góc thứ ba bằng $180^\circ$ trừ tổng hai góc đó.

Trường hợp 3 (g-c-g)

Biết một cạnh và hai góc kề: Tính góc thứ ba qua tổng ba góc, sau đó dùng định lí sin tìm hai cạnh còn lại.

Ví dụ 4 (SGK tr. 40)

Quy trình đo khoảng cách Tháp Rùa từ bờ hồ Hoàn Kiếm

Bước 1: Trên bờ, chọn vị trí cọc tiêu $A$ và cọc tiêu $B$. Dùng thước dây đo khoảng cách $AB = d$.
Bước 2: Đứng tại $A$, dùng giác kế ngắm Tháp Rùa ($C$) và cọc tiêu $B$ để đo góc $\alpha = \widehat{CAB}$.
Bước 3: Đứng tại $B$, dùng giác kế ngắm cọc tiêu $A$ và Tháp Rùa ($C$) để đo góc $\beta = \widehat{CBA}$.
Bước 4: Trong tam giác $ABC$, ta tính góc $\widehat{ACB} = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Áp dụng định lí sin, khoảng cách từ vị trí $A$ đến Tháp Rùa $C$ là: $$AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{d \cdot \sin \beta}{\sin[180^\circ - (\alpha + \beta)]}$$

4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

STT	Công thức tính diện tích	Điều kiện / Ứng dụng phù hợp
1	$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$	Khi biết một cạnh đáy và đường cao tương ứng
2	$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$	Khi biết hai cạnh và góc xen giữa
3	$S = \frac{abc}{4R} \iff R = \frac{abc}{4S}$	Khi biết ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$
4	$S = p \cdot r = \frac{(a+b+c)r}{2} \iff r = \frac{S}{p}$	Khi liên hệ với bán kính đường tròn nội tiếp $r$
5	Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	Tuyệt đỉnh khi biết độ dài 3 cạnh ($p = \frac{a+b+c}{2}$)

Ví dụ 6 (SGK tr. 42) • So sánh hai cách tính diện tích

Tam giác 13, 14, 15

Cho tam giác $ABC$ có $a = 13, b = 14, c = 15$. Tính diện tích $S$ bằng hai cách khác nhau.

Cách 1: Dùng định lí côsin & $\sin A$

• $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{252}{420} = 0{,}6$.

• $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$.

⇒ $S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0{,}8 = \mathbf{84}$.

Cách 2: Áp dụng trực tiếp công thức Heron

• Nửa chu vi: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.

• Các hiệu: $p - a = 8, \ p - b = 7, \ p - c = 6$.

⇒ $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = \mathbf{84}$.

Em có biết? Heron xứ Alexandria (thế kỉ I SCN)

Heron là nhà toán học và kỹ sư vĩ đại của Hy Lạp cổ đại. Ông là người đầu tiên mô tả mô hình động cơ hơi nước sơ khai và chứng minh công thức tính diện tích tam giác độc đáo mang tên mình chỉ dựa vào độ dài ba cạnh.

Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 5, c = 8$. Tính $\cos A$, diện tích $S$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:
• Tính $\cos A$ bằng hệ quả định lí côsin: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
• Tính diện tích $S$ bằng công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p = \dfrac{a+b+c}{2}$.
• Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \dfrac{S}{p}$.

Lời giải chi tiết:

1. Tính $\cos A$:

Áp dụng hệ quả định lí côsin: $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} = 0{,}6625.$$

2. Tính diện tích $S$:

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2} = 9{,}5.$$

Áp dụng công thức Heron: $$\begin{aligned} S &= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ &= \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \left(\frac{19}{2} - 6\right) \cdot \left(\frac{19}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{19}{2} - 8\right)} \\ &= \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3591}{16}} = \frac{3\sqrt{399}}{4} \approx 14{,}98. \end{aligned}$$

3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$:

Từ công thức $S = pr$, suy ra: $$r = \frac{S}{p} = \frac{\dfrac{3\sqrt{399}}{4}}{\dfrac{19}{2}} = \frac{3\sqrt{399}}{38} \approx 1{,}58.$$

Kết luận: $\cos A = \dfrac{53}{80}$, diện tích $S = \dfrac{3\sqrt{399}}{4} \approx 14{,}98$, bán kính nội tiếp $r = \dfrac{3\sqrt{399}}{38} \approx 1{,}58$.

Cho tam giác $ABC$ có $a = 10, \widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 70^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ và độ dài các cạnh $b, c$ của tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải: Dùng định lí tổng ba góc trong tam giác $\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B})$ và định lí sin $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.

Lời giải chi tiết:

1. Tính số đo góc $\widehat{C}$: $$\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 65^\circ.$$

2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$:
Theo định lí sin: $$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \implies R = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07.$$

3. Tính độ dài cạnh $b$ và $c$:
• Cạnh $b$: $$b = 2R \sin B = 10\sqrt{2} \cdot \sin 70^\circ \approx 14{,}142 \cdot 0{,}9397 \approx \mathbf{13{,}29}.$$
• Cạnh $c$: $$c = 2R \sin C = 10\sqrt{2} \cdot \sin 65^\circ \approx 14{,}142 \cdot 0{,}9063 \approx \mathbf{12{,}82}.$$

Kết luận: $R = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$; cạnh $b \approx 13{,}29$; cạnh $c \approx 12{,}82$.

Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A} = 15^\circ, \widehat{B} = 130^\circ, c = 6$.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:
• Tìm góc $\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B})$.
• Tìm các cạnh $a, b$ bằng định lí sin: $a = \dfrac{c \sin A}{\sin C}, \ b = \dfrac{c \sin B}{\sin C}$.
• Tính diện tích: $S = \dfrac{1}{2}ab \sin C$ hoặc $S = \dfrac{1}{2}ac \sin B$.

Lời giải chi tiết:

1. Tìm góc $\widehat{C}$: $$\widehat{C} = 180^\circ - (15^\circ + 130^\circ) = 35^\circ.$$

2. Tìm độ dài các cạnh $a$ và $b$:
Áp dụng định lí sin: $$\frac{a}{\sin 15^\circ} = \frac{b}{\sin 130^\circ} = \frac{6}{\sin 35^\circ}$$
• Cạnh $a = \frac{6 \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0{,}2588}{0{,}5736} \approx \mathbf{2{,}71}$.
• Cạnh $b = \frac{6 \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{6 \sin 50^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0{,}7660}{0{,}5736} \approx \mathbf{8{,}01}$.

3. Tính diện tích tam giác $ABC$: $$S = \frac{1}{2} a b \sin C \approx \frac{1}{2} \cdot 2{,}71 \cdot 8{,}01 \cdot \sin 35^\circ \approx \mathbf{6{,}23}.$$

Kết luận: $\widehat{C} = 35^\circ$, cạnh $a \approx 2{,}71$, cạnh $b \approx 8{,}01$, diện tích $S \approx 6{,}23$.

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $\text{S}70^\circ\text{E}$ với vận tốc $70\text{ km/h}$. Đi được $90\text{ phút}$ thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $8\text{ km/h}$. Sau $2\text{ giờ}$ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo. a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu. b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu. *(Hướng dẫn: Hướng $\text{S}\alpha^\circ\text{E}$ là hướng tạo với hướng nam góc $\alpha^\circ$ và tạo với hướng đông góc $90^\circ - \alpha^\circ$)*.

Lời giải chi tiết:

Mô hình hoá hình học:
• Gọi $A$ là vị trí cảng xuất phát.
• Gọi $B$ là vị trí tàu bị hỏng động cơ.
• Gọi $C$ là vị trí hòn đảo nơi tàu neo đậu.

Lời giải chi tiết:

1. Tính độ dài các quãng đường $AB$ và $BC$:

• Tàu chạy từ $A$ đến $B$ trong $90\text{ phút} = 1{,}5\text{ giờ}$ với vận tốc $70\text{ km/h}$: $$AB = 70 \times 1{,}5 = 105\text{ (km)}.$$

• Từ $B$, tàu trôi theo hướng nam trong $2\text{ giờ}$ với vận tốc $8\text{ km/h}$ đến đảo $C$: $$BC = 8 \times 2 = 16\text{ (km)}.$$

2. Xác định góc $\widehat{B} = \widehat{ABC}$ trong tam giác $ABC$:

Vì hướng đi từ $A$ đến $B$ là $\text{S}70^\circ\text{E}$ (lệch $70^\circ$ so với hướng nam về phía đông), và từ $B$ tàu trôi theo chính hướng nam, nên góc bù trong cùng phía giữa tia $BA$ và tia nam xuất phát từ $B$ là: $$\widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.$$

3. Câu a: Tính khoảng cách từ cảng $A$ đến đảo $C$ ($AC$):

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ cho cạnh $AC$: $$\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos \widehat{B} \\ &= 105^2 + 16^2 - 2 \cdot 105 \cdot 16 \cos 110^\circ \\ &= 11025 + 256 - 3360 \cdot (-0{,}34202) \\ &= 11281 + 1149{,}19 = 12430{,}19. \end{aligned}$$

⇒ $AC = \sqrt{12430{,}19} \approx \mathbf{111{,}49\text{ km}}$.

4. Câu b: Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo $C$:

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ để tính góc $\widehat{BAC}$: $$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{B}} \implies \sin \widehat{BAC} = \frac{BC \cdot \sin 110^\circ}{AC} \approx \frac{16 \cdot 0{,}9397}{111{,}49} \approx 0{,}13485.$$ Suy ra $\widehat{BAC} \approx 7^\circ 45'$.

Vì tia $AB$ có hướng $\text{S}70^\circ\text{E}$, và tia $AC$ nằm giữa tia nam và tia $AB$ (hướng về phía nam nhiều hơn), nên góc tạo bởi tia $AC$ với hướng nam là: $$\alpha = 70^\circ - \widehat{BAC} \approx 70^\circ - 7^\circ 45' = 62^\circ 15'.$$

⇒ Vậy hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu là hướng $\mathbf{S62^\circ 15'E}$.

Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao $5\text{ m}$. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7\text{ m}$ so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (Hình 3.18). a) Tính các góc của tam giác $ABC$. b) Tính chiều cao của toà nhà.

Lời giải chi tiết:

Phân tích mô hình hình học:
• Cột ăng-ten $BC = 5\text{ m}$ thẳng đứng, $C$ là nóc toà nhà (chân cột), $B$ là đỉnh cột.
• Kẻ đường nằm ngang $Ax$ từ điểm quan sát $A$ hướng về phía toà nhà.
• Góc nâng lên đỉnh $B$ là $\widehat{xAB} = 50^\circ$; góc nâng lên chân $C$ là $\widehat{xAC} = 40^\circ$.
• Điểm $A$ cao $7\text{ m}$ so với mặt đất.

Lời giải chi tiết:

a) Tính các góc của tam giác $ABC$:

• Góc $\widehat{BAC}$: $$\widehat{BAC} = \widehat{xAB} - \widehat{xAC} = 50^\circ - 40^\circ = \mathbf{10^\circ}.$$

• Vì toà nhà và cột ăng-ten thẳng đứng (vuông góc với đường nằm ngang $Ax$), gọi $H$ là giao của đường nằm ngang $Ax$ với đường thẳng chứa cột ăng-ten $BC$. Ta có tam giác $AHC$ vuông tại $H$: $$\widehat{ACH} = 90^\circ - \widehat{xAC} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ.$$ Vì hai góc $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ACH}$ là hai góc kề bù, suy ra: $$\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ = \mathbf{130^\circ}.$$

• Góc $\widehat{ABC}$: $$\widehat{ABC} = 180^\circ - (\widehat{BAC} + \widehat{ACB}) = 180^\circ - (10^\circ + 130^\circ) = \mathbf{40^\circ}.$$

b) Tính chiều cao của toà nhà:

• Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$: $$\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} = \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} \implies AC = \frac{BC \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0{,}64279}{0{,}17365} \approx 18{,}51\text{ (m)}.$$

• Trong tam giác vuông $AHC$, đoạn $CH$ (khoảng cách từ nóc toà nhà $C$ đến đường nằm ngang $Ax$) là: $$CH = AC \cdot \sin \widehat{xAC} = 18{,}51 \cdot \sin 40^\circ \approx 18{,}51 \cdot 0{,}64279 \approx 11{,}90\text{ (m)}.$$

• Chiều cao của toà nhà (từ chân toà nhà trên mặt đất đến nóc $C$) là: $$h = CH + 7 = 11{,}90 + 7 = \mathbf{18{,}90\text{ (m)}}.$$

Kết luận:
a) Các góc của tam giác $ABC$ là $\widehat{BAC} = 10^\circ, \widehat{ACB} = 130^\circ, \widehat{ABC} = 40^\circ$.
b) Chiều cao của toà nhà xấp xỉ $18{,}9\text{ mét}$.

Từ bãi biển Vũng Chùa, ta có thể ngắm được Đảo Yến (Hình 3.10). Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Lời giải chi tiết:

Bài toán thực địa đo khoảng cách không tới được: Bề rộng của hòn đảo là khoảng cách giữa hai mút cực đông và cực tây của đảo, kí hiệu là $C$ và $D$. Vì hai điểm $C, D$ nằm ngoài biển không thể trực tiếp tới căng dây đo, ta chọn hai vị trí quan sát $A$ và $B$ thuận lợi trên bãi biển.

Quy trình các bước tiến hành:

Bước 1: Thiết lập đường cơ sở trên bãi biển:
Chọn hai vị trí cọc tiêu $A$ và $B$ trên bãi biển sao cho từ cả $A$ và $B$ đều nhìn rõ hai đầu mút $C$ và $D$ của hòn đảo. Dùng thước dây đo chính xác khoảng cách $AB = d$.
Bước 2: Đo các góc ngắm bằng giác kế:
• Tại vị trí $A$, đo các góc: $\alpha_1 = \widehat{CAB}$ và $\alpha_2 = \widehat{DAB}$.
• Tại vị trí $B$, đo các góc: $\beta_1 = \widehat{CBA}$ và $\beta_2 = \widehat{DBA}$.
Bước 3: Tính khoảng cách $AC$ và $AD$:
• Trong tam giác $ABC$, ta có $\widehat{ACB} = 180^\circ - (\alpha_1 + \beta_1)$.
Áp dụng định lí sin: $$AC = \frac{AB \cdot \sin \beta_1}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{d \cdot \sin \beta_1}{\sin[180^\circ - (\alpha_1 + \beta_1)]}$$
• Trong tam giác $ABD$, ta có $\widehat{ADB} = 180^\circ - (\alpha_2 + \beta_2)$.
Áp dụng định lí sin: $$AD = \frac{AB \cdot \sin \beta_2}{\sin \widehat{ADB}} = \frac{d \cdot \sin \beta_2}{\sin[180^\circ - (\alpha_2 + \beta_2)]}$$
Bước 4: Tính bề rộng của đảo $CD$ bằng định lí côsin:
Trong tam giác $ACD$, ta đã biết độ dài hai cạnh $AC, AD$ và góc xen giữa: $$\widehat{CAD} = |\alpha_1 - \alpha_2|$$ Áp dụng định lí côsin: $$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 - 2 AC \cdot AD \cos \widehat{CAD}}$$

Kết luận: Giá trị $CD$ tính được ở Bước 4 chính là bề rộng của Đảo Yến theo chiều ngắm từ bãi biển.

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Biết $AB = 8\text{ km}, BC = 6\text{ km}, CD = 12\text{ km}$, góc $\widehat{B} = 105^\circ$ và $\widehat{C} = 135^\circ$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:
• Chiều dài đường cũ đi vòng qua các điểm $A \to B \to C \to D$ là: $S_{\text{cũ}} = AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26\text{ km}$.
• Chiều dài đường mới xuyên núi là đoạn thẳng $AD$. Ta tính $AD$ bằng cách chia đa giác $ABCD$ thành các tam giác bằng đường chéo $AC$.

Lời giải chi tiết:

1. Tính đường chéo $AC$ và góc $\widehat{ACB}$ trong tam giác $ABC$:

Tam giác $ABC$ có $AB = 8, BC = 6, \widehat{B} = 105^\circ$. Áp dụng định lí côsin: $$\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos 105^\circ \\ &= 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ \\ &= 64 + 36 - 96 \cdot (-0{,}25882) \\ &= 100 + 24{,}85 = 124{,}85 \implies AC = \sqrt{124{,}85} \approx \mathbf{11{,}17\text{ km}}. \end{aligned}$$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ để tìm góc $\widehat{ACB}$: $$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin 105^\circ} \implies \sin \widehat{ACB} = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11{,}17} \approx \frac{8 \cdot 0{,}9659}{11{,}17} \approx 0{,}69178.$$ Suy ra $\widehat{ACB} \approx 43^\circ 46'$.

2. Tính góc $\widehat{ACD}$ trong tam giác $ACD$:

Theo đề bài, góc $\widehat{BCD} = 135^\circ$. Do tia $CA$ nằm giữa hai tia $CB$ và $CD$ nên: $$\widehat{ACD} = \widehat{BCD} - \widehat{ACB} \approx 135^\circ - 43^\circ 46' = 91^\circ 14'.$$

3. Tính độ dài đoạn thẳng $AD$ trong tam giác $ACD$:

Tam giác $ACD$ có $AC \approx 11{,}17\text{ km}, CD = 12\text{ km}$ và góc xen giữa $\widehat{ACD} \approx 91^\circ 14'$. Áp dụng định lí côsin: $$\begin{aligned} AD^2 &= AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos \widehat{ACD} \\ &\approx 124{,}85 + 12^2 - 2 \cdot 11{,}17 \cdot 12 \cdot \cos 91^\circ 14' \\ &= 124{,}85 + 144 - 268{,}08 \cdot (-0{,}0215) \\ &\approx 268{,}85 + 5{,}76 = 274{,}61. \end{aligned}$$

⇒ Chiều dài đường hầm mới: $AD = \sqrt{274{,}61} \approx \mathbf{16{,}57\text{ km}}$.

4. Tính độ dài giảm được:

Đường mới sẽ giảm được số kilômét so với đường cũ là: $$\Delta S = S_{\text{cũ}} - AD = 26 - 16{,}57 = \mathbf{9{,}43\text{ km}}.$$

Kết luận: Độ dài đường mới xuyên núi $AD \approx 16{,}57\text{ km}$, giúp rút ngắn được xấp xỉ $9{,}43\text{ kilômét}$ so với tuyến đường cũ đi vòng qua núi.

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác