Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

b) Mẫu giá giày (nghìn đồng): 350, 300, 650, 300, 450, 500, 300, 250

• Sắp xếp theo thứ tự không giảm: \(250, 300, 300, 300, 350, 450, 500, 650\) (có \(n = 8\) giá trị).

• Số trung bình: $$\overline{x} = \frac{250 + 300\times 3 + 350 + 450 + 500 + 650}{8} = \frac{3100}{8} = 387,5\text{ (nghìn đồng)}.$$

• Vì \(n = 8\) là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của 2 số chính giữa (số thứ 4 và thứ 5): $$M_e = Q_2 = \frac{300 + 350}{2} = 325.$$

• Nửa bên trái gồm 4 số (250, 300, 300, 300) có trung vị: $$Q_1 = \frac{300 + 300}{2} = 300.$$

• Nửa bên phải gồm 4 số (350, 450, 500, 650) có trung vị: $$Q_3 = \frac{450 + 500}{2} = 475.$$

• Giá trị 300 xuất hiện nhiều nhất (3 lần) nên mốt là \(M_0 = 300\).

c) Mẫu số kênh truyền hình cáp: 36, 38, 33, 34, 32, 30, 34, 35

• Sắp xếp theo thứ tự không giảm: \(30, 32, 33, 34, 34, 35, 36, 38\) (có \(n = 8\) giá trị).

• Số trung bình: $$\overline{x} = \frac{30 + 32 + 33 + 34 + 34 + 35 + 36 + 38}{8} = \frac{282}{8} = 35,25.$$

• Trung vị của mẫu: $$M_e = Q_2 = \frac{34 + 34}{2} = 34.$$

• Nửa bên trái gồm (30, 32, 33, 34) có trung vị: $$Q_1 = \frac{32 + 33}{2} = 32,5.$$

• Nửa bên phải gồm (34, 35, 36, 38) có trung vị: $$Q_3 = \frac{35 + 36}{2} = 35,5.$$

• Giá trị 34 xuất hiện nhiều nhất (2 lần) nên mốt là \(M_0 = 34\).

b) Số đường chuyền thành công của cầu thủ:

• Mẫu số liệu: \(14, 20, 23, 24, 32\) (\(n = 5\)).

• Các số liệu biến thiên tương đối đều, không có giá trị bất thường quá lớn hay quá bé.

• Do đó, nên chọn số trung bình làm đại diện: $$\overline{x} = \frac{14 + 20 + 23 + 24 + 32}{5} = \frac{113}{5} = 22,6.$$

c) Chỉ số IQ của nhóm học sinh:

• Sắp xếp: \(80, 83, 94, 100, 102, 103, 104, 106, 108, 110\) (\(n = 10\)).

• Các chỉ số IQ dao động khá ổn định từ 80 đến 110, phân bố tương đối đều, không có giá trị bất thường.

• Do đó, nên chọn số trung bình làm đại diện: $$\overline{x} = \frac{80 + 83 + 94 + 100 + 102 + 103 + 104 + 106 + 108 + 110}{10} = \frac{990}{10} = 99.$$

d) Các sai số trong một phép đo:

• Sắp xếp: \(10, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 42, 42\) (\(n = 11\)).

• Có hai giá trị 42 lớn bất thường so với đa số sai số còn lại (chỉ dao động từ 10 đến 18). Giá trị này làm cho số trung bình (\(\overline{x} \approx 18,18\)) bị lệch.

• Do đó nên chọn trung vị (\(M_e = 15\)) hoặc mốt (\(M_0 = 15\), vì giá trị 15 xuất hiện 3 lần nhiều nhất) để đại diện cho sai số thông thường của phép đo.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau:

Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau (\(Q_1 = Q_2 = 0\)) vì có tới 7 trên 10 trường (chiếm 70% mẫu số liệu) không có học sinh giỏi Quốc gia nào (nhận giá trị 0). Do số lượng giá trị 0 chiếm đa số áp đảo nên cả vị trí chính giữa của toàn bộ mẫu số liệu lẫn vị trí chính giữa của nửa bên trái đều rơi vào giá trị 0.

2. Khi bỏ đi số liệu sân Mỹ Đình (mẫu còn 4 sân):

• Mẫu số liệu: \(20\,120;\; 20\,120;\; 21\,315;\; 23\,405\).

• Số trung bình mới: $$\overline{x}' = \frac{20\,120 + 20\,120 + 21\,315 + 23\,405}{4} = \frac{84\,960}{4} = 21\,240\text{ (chỗ)}.$$

• Vì \(n = 4\) là số chẵn nên trung vị mới là trung bình cộng của 2 số chính giữa: $$M_e' = \frac{20\,120 + 21\,315}{2} = 20\,717,5\text{ (chỗ)}.$$

• Mốt mới: Giá trị \(20\,120\) vẫn xuất hiện 2 lần nên $$M_0' = 20\,120\text{ (chỗ)}.$$

3. Kết luận về sự ảnh hưởng:

• Số trung bình bị ảnh hưởng nhiều nhất: giảm rất mạnh đi \(24\,501,2 - 21\,240 = 3\,261,2\) chỗ ngồi (do sân Mỹ Đình có quy mô sức chứa lớn bất thường).
• Trung vị bị ảnh hưởng nhẹ: giảm đi \(21\,315 - 20\,717,5 = 597,5\) chỗ ngồi.
• Mốt hoàn toàn không bị ảnh hưởng: vẫn giữ nguyên là \(20\,120\).