Bài 5: Dãy số

Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân

Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Định nghĩa dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn, 4 cách cho một dãy số, tính tăng, giảm, bị chặn kèm bài toán thực tế dân số, tiền lương, lãi kép ngân hàng và khung lịch sử Dãy số Fibonacci.

Dãy số Fibonacci trong tự nhiên

THUẬT NGỮ

Dãy số (vô hạn & hữu hạn)
Số hạng đầu, số hạng tổng quát
Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn.
Biểu diễn dãy số bằng: liệt kê, công thức số hạng tổng quát, hệ thức truy hồi, mô tả.
Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong trường hợp đơn giản.
Ứng dụng dãy số giải bài toán tăng trưởng dân số, tiền gửi và trả góp.

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU

Bài toán tăng trưởng dân số đô thị

Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng $500$ nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng $2\%$ mỗi năm. Khi đó số dân $P_n$ (nghìn người) của thành phố đó sau $n$ năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức:

$$P_n = 500(1 + 0{,}02)^n$$

Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

(Bài toán này sẽ được giải trọn vẹn ở Ví dụ 6 sau khi học xong các cách cho một dãy số).

1 Định nghĩa dãy số

HĐ1 Nhận biết dãy số vô hạn

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ $n$.

Từ công thức nhận được, ta có quy tắc để viết được dãy gồm tất cả các số chính phương.

Xem lời giải HĐ1

• Năm số chính phương đầu tiên theo thứ tự tăng dần là: $1^2 = 1,\; 2^2 = 4,\; 3^2 = 9,\; 4^2 = 16,\; 5^2 = 25$.
• Dự đoán công thức tính số chính phương thứ $n$ là: $u_n = n^2$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
• Quy tắc: Dãy gồm tất cả các số chính phương là: $1, 4, 9, 16, 25, \ldots, n^2, \ldots$

Dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là $u = u(n)$.
Ta thường viết $u_n$ thay cho $u(n)$ và kí hiệu dãy số $u = u(n)$ bởi $(u_n)$, do đó dãy số $(u_n)$ được viết dưới dạng khai triển:
$$u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$$
Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ $n$ và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu $\forall n \in \mathbb{N}^*,\; u_n = c$ thì $(u_n)$ được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1 Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau:

a) Dãy số $(u_n)$ các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: $1, 3, 5, 7, \ldots$
b) Dãy số $(v_n)$ các số nguyên dương chia hết cho $5$, sắp xếp từ bé đến lớn: $5, 10, 15, 20, \ldots$

Xem lời giải Ví dụ 1

a) Dãy $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 1$ và số hạng tổng quát $u_n = 2n - 1$.
b) Dãy $(v_n)$ có số hạng đầu $v_1 = 5$ và số hạng tổng quát $v_n = 5n$.

HĐ2 Nhận biết dãy số hữu hạn

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn $50$ và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng $u_n$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của $n$.

Xem lời giải HĐ2

a) Các số chính phương nhỏ hơn $50$ xếp từ bé đến lớn là: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ (hoặc tính từ $0$). Trong phạm vi số nguyên dương: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$.
b) Công thức số hạng: $u_n = n^2$ với điều kiện $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $M = \{1, 2, 3, \ldots, m\}$ với $m \in \mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là:
$$u_1, u_2, u_3, \ldots, u_m$$
Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, số $u_m$ gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2 Dãy số lẻ nhỏ hơn 20

Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn $20$, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.
a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.

Xem lời giải

a) Các số hạng của dãy là: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$.
b) Số hạng đầu là $u_1 = 1$, số hạng cuối là $u_{10} = 19$.

Luyện tập 1 Dãy số chia cho 5 dư 1

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$ theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy hữu hạn này.

Xem lời giải

a) Dãy các số chia cho $5$ dư $1$: $1, 6, 11, 16, 21, \ldots$
Số hạng tổng quát: $u_n = 5(n-1) + 1 = 5n - 4$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
b) Năm số hạng đầu: $1, 6, 11, 16, 21$. Số hạng đầu là $u_1 = 1$, số hạng cuối là $u_5 = 21$.

2 Các cách cho một dãy số

HĐ3 Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số $(u_n)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho $5$, sắp xếp từ bé đến lớn:

$$5, 10, 15, 20, 25, 30, \ldots$$

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ $n$ theo số hạng thứ $n-1$ của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Xem lời giải HĐ3

a) Công thức số hạng tổng quát: $u_n = 5n$ ($n \in \mathbb{N}^*$).
b) Số hạng đầu $u_1 = 5$. Hiệu hai số hạng liên tiếp: $u_n - u_{n-1} = 5 \Rightarrow u_n = u_{n-1} + 5$ với mọi $n \ge 2$.

Một dãy số có thể cho bằng:

1. Liệt kê các số hạng:

Chỉ dùng cho các dãy số hữu hạn và có ít số hạng.

2. Công thức số hạng tổng quát:

Cho $u_n$ dưới dạng biểu thức trực tiếp theo $n$.

3. Phương pháp mô tả:

Mô tả tính chất đặc trưng của các số hạng (VD: dãy số nguyên tố).

4. Phương pháp truy hồi:

Cho số hạng đầu và hệ thức tính $u_n$ qua các số hạng đứng trước nó.

Ví dụ 3 Tìm 5 số hạng đầu và số hạng thứ 100

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của dãy số $(u_n)$ cho bởi:
a) $u_n = 2n$; b) $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Xem lời giải

a) Năm số hạng đầu: $2, 4, 6, 8, 10$.
Số hạng thứ 100: $u_{100} = 2 \cdot 100 = 200$.
b) Năm số hạng đầu: $-1, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{5}$.
Số hạng thứ 100: $u_{100} = \dfrac{(-1)^{100}}{100} = \dfrac{1}{100}$.

Ví dụ 4 Dãy các số nguyên tố

Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.

Xem lời giải

Năm số hạng đầu: $2, 3, 5, 7, 11$.

Chú ý: Dãy số nguyên tố được cho bởi phương pháp mô tả. Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ $n$ theo $n$ hoặc hệ thức truy hồi.

Ví dụ 5 Hệ thức truy hồi

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bằng hệ thức truy hồi:
$$u_1 = 1,\; u_n = 3u_{n-1} + 2 \text{ với } n \ge 2.$$ Viết ba số hạng đầu của dãy số này.

Xem lời giải

• $u_1 = 1$
• $u_2 = 3u_1 + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
• $u_3 = 3u_2 + 2 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$

Ví dụ 6 Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Tính số dân dự kiến của thành phố vào năm 2030 theo công thức $P_n = 500(1+0{,}02)^n$.

Xem lời giải

Từ năm 2020 đến năm 2030 là khoảng thời gian:
$$n = 2030 - 2020 = 10 \text{ (năm)}$$ Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là:
$$P_{10} = 500 \cdot (1{,}02)^{10} \approx 609 \text{ (nghìn người)}.$$

Luyện tập 2 Viết năm số hạng đầu của dãy số

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = n!$.
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi: $$\begin{cases} F_1 = 1,\; F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & (n \ge 3) \end{cases}$$

Xem lời giải Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của $u_n = n!$ là: $u_1 = 1! = 1,\; u_2 = 2! = 2,\; u_3 = 3! = 6,\; u_4 = 4! = 24,\; u_5 = 5! = 120$.
b) Dãy Fibonacci $(F_n)$ có:
• $F_1 = 1,\; F_2 = 1$
• $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
• $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
• $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$
Vậy năm số hạng đầu là: $1, 1, 2, 3, 5$.

Chú ý: Biểu diễn hình ảnh trực quan của dãy số trên trục số

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{2^n}$. Năm số hạng đầu của dãy số này là: $$u_1 = -\dfrac{1}{2},\; u_2 = \dfrac{1}{4},\; u_3 = -\dfrac{1}{8},\; u_4 = \dfrac{1}{16},\; u_5 = -\dfrac{1}{32}$$ và được biểu diễn trực quan trên trục số như sau:

Biểu diễn các điểm $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ dao động và co cụm dần về điểm $0$.

3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

HĐ4 Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

a) Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n - 1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_n$.
b) Xét dãy số $(v_n)$ với $v_n = \dfrac{1}{n^2}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_n$.

Xem lời giải HĐ4

a) $u_{n+1} = 3(n+1) - 1 = 3n + 2$. Ta có $u_{n+1} - u_n = (3n+2) - (3n-1) = 3 > 0 \Rightarrow u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
b) $v_{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)^2}$. Vì $n+1 > n > 0 \Rightarrow (n+1)^2 > n^2 \Rightarrow \dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{n^2} \Rightarrow v_{n+1} < v_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Định nghĩa Dãy số tăng, Dãy số giảm

Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có:
$$u_{n+1} > u_n \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có:
$$u_{n+1} < u_n \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$

Phương pháp xét: Thường xét dấu của hiệu $u_{n+1} - u_n$. Nếu số hạng đều dương ($u_n > 0$), có thể so sánh tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ với $1$.

Ví dụ 7 Xét tính tăng, giảm của dãy số

Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 5$.

Xem lời giải

Ta có:
$$u_{n+1} - u_n = [-2(n+1) + 5] - (-2n + 5) = -2n + 3 + 2n - 5 = -2 < 0$$ tức là $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.

Luyện tập 3 Xét tính tăng, giảm

Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n+1}$.

Xem lời giải

Ta có: $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)+1} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$.
Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (n+1)(n+2) > 0 \Rightarrow u_{n+1} - u_n < 0$.
Do đó $u_{n+1} < u_n,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$. Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.

HĐ5 Nhận biết dãy số bị chặn

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n+1}{n},\; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) So sánh $u_n$ và $1$.
b) So sánh $u_n$ và $2$.

Xem lời giải HĐ5

Ta viết: $u_n = \dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$.
a) Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow u_n > 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
b) Vì $n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1 \Rightarrow 1 + \dfrac{1}{n} \le 2 \Rightarrow u_n \le 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Định nghĩa Dãy số bị chặn

Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho: $$u_n \le M \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho: $$u_n \ge m \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m, M$ sao cho:
$$m \le u_n \le M \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$

Ví dụ 8 Xét tính bị chặn của dãy số

Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n-1}{n}$.

Xem lời giải

• Dãy $(u_n)$ bị chặn trên, vì $u_n = \dfrac{n-1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n} < 1,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy $(u_n)$ cũng bị chặn dưới, vì $u_n = \dfrac{n-1}{n} \ge 0,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn ($0 \le u_n < 1$).

Luyện tập 4 Xét tính bị chặn

Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 1$.

Xem lời giải

• Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n \ge 1 \Rightarrow 2n - 1 \ge 1$. Do đó dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $1$.
• Mặt khác, khi $n$ tăng vô hạn thì $2n - 1$ lớn tùy ý, không có số $M$ nào thỏa mãn $u_n \le M$ với mọi $n$. Do đó dãy số không bị chặn trên.
Vậy $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới, không phải là dãy bị chặn.

Vận dụng

Bài toán tiền lương của nhân viên công nghệ

Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là $200$ triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm $25$ triệu đồng. Gọi $s_n$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ $n$ mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: $$s_1 = 200,\; s_n = s_{n-1} + 25 \text{ với } n \ge 2.$$

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ $5$ làm việc cho công ty.
b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Xem lời giải Vận dụng

a) Ta có:
• $s_1 = 200$
• $s_2 = s_1 + 25 = 200 + 25 = 225$
• $s_3 = s_2 + 25 = 225 + 25 = 250$
• $s_4 = s_3 + 25 = 250 + 25 = 275$
• $s_5 = s_4 + 25 = 275 + 25 = 300$
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ $5$ làm việc cho công ty là $300$ triệu đồng.

b) Với mọi $n \ge 2$, ta có: $s_n - s_{n-1} = 25 > 0 \Leftrightarrow s_n > s_{n-1}$.
Do đó $(s_n)$ là một dãy số tăng.
Ý nghĩa thực tế: Mức thu nhập hàng năm của anh Thanh luôn tăng trưởng đều đặn theo từng năm làm việc, năm sau luôn nhận mức lương cao hơn năm trước.

Em có biết? Dãy số Fibonacci

Fibonacci là nhà toán học nổi tiếng người Italia. Trong cuốn sách cổ Liber Abaci (Sách tính) của ông, được viết năm 1202, có bài toán sinh sản nổi tiếng:

"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau $n$ tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?"

Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến việc nghiên cứu dãy số $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi: $$\begin{cases} F_1 = 1,\; F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & (n \ge 3) \end{cases}$$ Dãy số này được gọi là dãy số Fibonacci và các số hạng của nó được gọi là các số Fibonacci.

Người ta chứng minh được công thức số hạng tổng quát (công thức Binet) của dãy Fibonacci: $$F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right]$$

Các đẳng thức Fibonacci kinh điển:

$F_n^2 = F_{n-1}F_{n+1} + (-1)^{n-1}$ với mọi $n \ge 2$;
$F_1 + F_3 + F_5 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$ với mọi $n \ge 1$;
$F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}$ với mọi $n \ge 1$.

Dãy số Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên: hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số Fibonacci: hoa loa kèn ($3$ cánh), hoa mao lương vàng ($5$ cánh), hoa cải ô rô ($8$ cánh), hoa cúc vạn thọ ($13$ cánh), hoa cúc tây ($21$ cánh), hoa cúc thường ($34, 55, 89$ cánh).

Fibonacci

(1170 – 1250)

Bài 5: Dãy số

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Dãy số (Toán 11 KNTT)

Bài 5: Dãy số

Bài toán tăng trưởng dân số đô thị

1 Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)

Dãy số hữu hạn

2 Các cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Định nghĩa Dãy số tăng, Dãy số giảm

Định nghĩa Dãy số bị chặn

Bài toán tiền lương của nhân viên công nghệ

Em có biết? Dãy số Fibonacci