Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề thực tiễn

Khởi động: Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Giả sử $y$ là một hàm số của $x$ và ta viết $y = f(x)$. Nếu $x$ thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$, thì sự thay đổi của $x$ là $\Delta x = x_2 - x_1$, và sự thay đổi tương ứng của $y$ là $\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$.

Tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của $y$ đối với $x$ trên đoạn $[x_1; x_2]$.

Giới hạn $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của $y$ đối với $x$ tại điểm $x = x_1$.

Như vậy, đạo hàm $f'(a)$ là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $y = f(x)$ đối với $x$ tại điểm $x = a$. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng:

• Nếu $s = s(t)$ là hàm vị trí thì $v = s'(t)$ biểu thị vận tốc tức thời, gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t)$.
• Nếu $C = C(t)$ là nồng độ thì $C'(t)$ là tốc độ phản ứng tức thời.
• Nếu $P = P(t)$ là số lượng cá thể thì $P'(t)$ là tốc độ tăng trưởng tức thời.
• Nếu $C = C(x)$ là hàm chi phí thì $C'(x)$ là chi phí biên.

Quy trình giải bài toán tối ưu hoá:

• Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ cần tối ưu.
• Bước 2: Biểu diễn $Q = Q(x)$ theo biến $x$ và tìm tập xác định.
• Bước 3: Tìm GTLN, GTNN của $Q(x)$ bằng đạo hàm.

Luyện tập 2: Bài toán chèo thuyền (Hình 1.35).

1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y = t^3 - 12t + 3,\, t \ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \le t \le 3$.

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá nào đó là: $C(x) = 23\,000 + 50x - 0,5x^2 + 0,00175x^3$.

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ $101$.

1.28. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

1.29. Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức $p = \frac{354}{1 + 0,01x},\, x \ge 0$, trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x(p)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
– Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng;
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^+} x(p)$.