Bài 15: Giới hạn của dãy số

1. Định Nghĩa & Các Giới Hạn Cơ Bản (Chuẩn SGK)

ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $0$ khi $n \to +\infty$ nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ hay $\lim u_n = 0$.
Ta nói $\lim u_n = a$ nếu $\lim (u_n - a) = 0$.

Các giới hạn đặc biệt cần nhớ:

$\lim \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$.
$\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$.
$\lim c = c$ (với $c$ là hằng số).

2. Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

CÔNG THỨC TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$ gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của nó là:

$$S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots = \frac{u_1}{1 - q}$$

3. Phương Pháp Khử Dạng Vô Định $\frac{\infty}{\infty}$ và $\infty - \infty$

Ví dụ 1: Chia cho lũy thừa bậc cao nhất của $n$

Tính $\lim \frac{3n^2 - 2n + 5}{2n^2 + 7n - 1}$.

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ bậc cao nhất:

$$L = \lim \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{2 + \frac{7}{n} - \frac{1}{n^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}.$$

Ví dụ 2: Nhân lượng liên hợp dạng $\infty - \infty$

Tính $\lim \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)$.