Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Lời giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- Đạo hàm: $$y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$$ $y' = 0 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 3$.
- Bảng biến thiên: - Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên các khoảng $(-1; 1)$ và $(1; 3)$.

Lời giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
- Ta có: $y' = \dfrac{(x + 1) - (x - 2)}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \ne -1$.
- Bảng biến thiên: - Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- $y' = x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)$. Cho $y' = 0 \iff x = -5$ hoặc $x = -1$.
- Bảng biến thiên của hàm số:
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -5)$ và $(-1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-5; -1)$.

---

b) Hàm số $y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
- $y' = \dfrac{(-2x + 5)(x - 2) - (-x^2 + 5x - 7)}{(x - 2)^2} = \dfrac{-x^2 + 4x - 3}{(x - 2)^2}$.
- Cho $y' = 0 \iff -x^2 + 4x - 3 = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 3$.
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$; nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời của chất điểm:
Ta có: $v(t) = s'(t) = (t^3 - 9t^2 + 15t)' = 3t^2 - 18t + 15 = 3(t - 1)(t - 5), \quad t \ge 0$.

b) Xét dấu của vận tốc $v(t)$ với $t \ge 0$:
- Cho $v(t) = 0 \iff t = 1$ hoặc $t = 5$.
- Khi $t \in [0; 1) \cup (5; +\infty)$ thì $v(t) > 0 \implies$ chất điểm chuyển động sang phải (theo chiều dương).
- Khi $t \in (1; 5)$ thì $v(t) < 0 \implies$ chất điểm chuyển động sang trái (ngược chiều dương).

Lời giải:

a) Hàm số $y = x^4 - 3x^2 + 1$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- $y' = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
- Khi $x$ qua $-\sqrt{\frac{3}{2}}$, $y'$ đổi từ $-$ sang $+ \implies$ đạt cực tiểu tại $x = -\sqrt{\frac{3}{2}}, y_{CT} = -\frac{5}{4}$.
- Khi $x$ qua $0$, $y'$ đổi từ $+$ sang $- \implies$ đạt cực đại tại $x = 0, y_{CĐ} = 1$.
- Khi $x$ qua $\sqrt{\frac{3}{2}}$, $y'$ đổi từ $-$ sang $+ \implies$ đạt cực tiểu tại $x = \sqrt{\frac{3}{2}}, y_{CT} = -\frac{5}{4}$.

---

b) Hàm số $y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2}$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
- $y' = \dfrac{(-2x + 2)(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2}$.
- Cho $y' = 0 \iff -x^2 - 4x + 5 = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = -5$.
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -5, y_{CT} = y(-5) = 12$.
- Hàm số đạt cực đại tại $x = 1, y_{CĐ} = y(1) = 0$.

Lời giải:
Xét hàm số $h(t) = 2 + 24{,}5t - 4{,}9t^2$ với $t \ge 0$.
Ta có: $h'(t) = 24{,}5 - 9{,}8t$.
Cho $h'(t) = 0 \iff 24{,}5 - 9{,}8t = 0 \iff t = \dfrac{24{,}5}{9{,}8} = 2{,}5\text{ (giây)}$.
Vì $h'(t) > 0$ khi $0 \le t < 2{,}5$ và $h'(t) < 0$ khi $t > 2{,}5$, nên hàm số đạt cực đại duy nhất tại $t = 2{,}5$.
Kết luận: Tại thời điểm $t = 2{,}5\text{ giây}$ thì vật đạt độ cao lớn nhất là $h(2{,}5) = 2 + 24{,}5(2{,}5) - 4{,}9(2{,}5)^2 = 32{,}625\text{ m}$.

Lời giải:

a) Hình 1.11: Đồ thị hàm số $y = x^3 - \frac{3}{2}x^2$:
- Đồ thị đi lên trên khoảng $(-\infty; 0)$ và $(1; +\infty) \implies$ hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(1; +\infty)$.
- Đồ thị đi xuống trên khoảng $(0; 1) \implies$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$.

---

b) Hình 1.12: Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^2 - 4)^2}$:
- Đồ thị đi lên trên $(-2; 0)$ và $(2; +\infty) \implies$ hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$.
- Đồ thị đi xuống trên $(-\infty; -2)$ và $(0; 2) \implies$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; 2)$.

Lời giải:

a) $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$:
$D = \mathbb{R}$. $y' = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 3$.
Bảng xét dấu: $y' > 0$ trên $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ và $y' < 0$ trên $(1; 3)$.
Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên $(1; 3)$.

---

b) $y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3$:
$D = \mathbb{R}$. $y' = -3x^2 + 4x - 5$.
Ta có $\Delta' = 2^2 - (-3)(-5) = 4 - 15 = -11 < 0$ và hệ số $a = -3 < 0 \implies y' < 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Vậy hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ (trên $(-\infty; +\infty)$).

Lời giải:

a) $y = \frac{2x - 1}{x + 2}$:
$D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Ta có $y' = \dfrac{2(2) - (-1)(1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{5}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \ne -2$.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

---

b) $y = \frac{x^2 + x + 4}{x - 3}$:
$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. Ta có $y' = \dfrac{(2x + 1)(x - 3) - (x^2 + x + 4)}{(x - 3)^2} = \dfrac{x^2 - 6x - 7}{(x - 3)^2}$.
$y' = 0 \iff x^2 - 6x - 7 = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 7$.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(7; +\infty)$; nghịch biến trên các khoảng $(-1; 3)$ và $(3; 7)$.

Lời giải:

a) $y = \sqrt{4 - x^2}$:
- Tập xác định: $4 - x^2 \ge 0 \iff x \in [-2; 2]$.
- Với $x \in (-2; 2)$, ta có: $y' = \dfrac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$. Cho $y' = 0 \iff x = 0$.
- $y' > 0 \iff x \in (-2; 0) \implies$ hàm số đồng biến trên $[-2; 0]$.
- $y' < 0 \iff x \in (0; 2) \implies$ hàm số nghịch biến trên $[0; 2]$.

---

b) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- $y' = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$. Cho $y' = 0 \iff x = \pm 1$.
- $y' > 0 \iff x \in (-1; 1) \implies$ hàm số đồng biến trên $(-1; 1)$.
- $y' < 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \implies$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.

Lời giải:

a) Dân số thị trấn:
- Năm 2000 ứng với $t = 0$: $N(0) = \dfrac{25(0) + 10}{0 + 5} = \dfrac{10}{5} = 2$ (nghìn người) = $2\,000$ người.
- Năm 2015 ứng với $t = 15$: $N(15) = \dfrac{25(15) + 10}{15 + 5} = \dfrac{385}{20} = 19{,}25$ (nghìn người) = $19\,250$ người.

---

b) Đạo hàm và giới hạn:
- Đạo hàm: $N'(t) = \dfrac{25(5) - 10(1)}{(t + 5)^2} = \dfrac{115}{(t + 5)^2} > 0, \forall t \ge 0$.
Vì $N'(t) > 0$ với mọi $t \ge 0$ nên hàm số $N(t)$ luôn đồng biến, tức là số dân của thị trấn luôn tăng theo thời gian.
- Giới hạn: $\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{25t + 10}{t + 5} = 25$ (nghìn người).
Điều này giải thích rằng số dân thị trấn dù luôn tăng nhưng sẽ tiến dần tới tiệm cận ngang $25$ nghìn người và sẽ không bao giờ vượt quá ngưỡng $25\,000$ người.

Lời giải:

a) Các khoảng đồng biến của $f(x)$:
Hàm số $f(x)$ đồng biến khi và chỉ khi đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành ($f'(x) > 0$).
Quan sát Hình 1.13, $f'(x) > 0$ khi $x \in (2; 4)$ và $x \in (6; +\infty)$.
Vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(2; 4)$ và $(6; +\infty)$.

---

b) Các điểm cực trị của $f(x)$:
- Tại $x = 2$, đồ thị $f'(x)$ cắt trục hoành từ dưới lên (đổi dấu từ $-$ sang $+$) $\implies x = 2$ là điểm cực tiểu của $f(x)$.
- Tại $x = 4$, đồ thị $f'(x)$ cắt trục hoành từ trên xuống (đổi dấu từ $+$ sang $-$) $\implies x = 4$ là điểm cực đại của $f(x)$.
- Tại $x = 6$, đồ thị $f'(x)$ cắt trục hoành từ dưới lên (đổi dấu từ $-$ sang $+$) $\implies x = 6$ là điểm cực tiểu của $f(x)$.

Lời giải:

a) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$:
$y' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 2$.
- Cực đại tại $x = 1, y_{CĐ} = y(1) = 0$.
- Cực tiểu tại $x = 2, y_{CT} = y(2) = -1$.

---

b) $y = x^4 - 4x^2 + 2$:
$y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{2}$.
- Cực đại tại $x = 0, y_{CĐ} = 2$.
- Cực tiểu tại $x = \pm\sqrt{2}, y_{CT} = -2$.

---

c) $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$:
$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. $y' = \dfrac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = 0 \iff x = 1 \pm \sqrt{2}$.
- Cực đại tại $x = 1 - \sqrt{2}, y_{CĐ} = y(1 - \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$.
- Cực tiểu tại $x = 1 + \sqrt{2}, y_{CT} = y(1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$.

---

d) $y = \sqrt{4x - 2x^2}$:
Điều kiện: $4x - 2x^2 \ge 0 \iff x \in [0; 2]$.
Với $x \in (0; 2)$, $y' = \dfrac{4 - 4x}{2\sqrt{4x - 2x^2}} = \dfrac{2(1 - x)}{\sqrt{4x - 2x^2}} = 0 \iff x = 1$.
Khi qua $x = 1$, $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $- \implies$ hàm số đạt cực đại tại $x = 1, y_{CĐ} = y(1) = \sqrt{2}$ (không có cực tiểu).

Lời giải:

a) Tính giới hạn tỉ số số gia:
- Khi $x \to 0^+$, $f(x) = |x| = x \implies \lim_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = 1$.
- Khi $x \to 0^-$, $f(x) = |x| = -x \implies \lim_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x}{x} = -1$.
Vì $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 1 \ne -1 = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ nên không tồn tại đạo hàm tại $x = 0$.

---

b) Chứng minh cực tiểu theo định nghĩa:
Ta có $f(0) = |0| = 0$.
Với mọi $x \ne 0$, ta luôn có $f(x) = |x| > 0 = f(0)$.
Chọn số $h > 0$ bất kì, với mọi $x \in (-h; h)$ và $x \ne 0$, ta đều có $f(x) > f(0)$.
Theo định nghĩa cực trị, hàm số $y = |x|$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ và $y_{CT} = 0$.
Ý nghĩa: Hàm số vẫn có thể đạt cực trị tại những điểm mà đạo hàm không tồn tại!

Lời giải:
Tốc độ bán hàng được biểu thị bởi đạo hàm $v(t) = f'(t)$:
$$f'(t) = 5\,000 \cdot \left((1 + 5e^{-t})^{-1}\right)' = 5\,000 \cdot (-1)(1 + 5e^{-t})^{-2} \cdot (-5e^{-t}) = \frac{25\,000 e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2}$$ Để tìm thời điểm tốc độ bán hàng lớn nhất, ta tìm giá trị cực đại của hàm số $v(t) = f'(t)$ trên $[0; +\infty)$ bằng cách tính đạo hàm $v'(t) = f''(t)$:
$$f''(t) = 25\,000 \cdot \frac{-e^{-t}(1 + 5e^{-t})^2 - e^{-t} \cdot 2(1 + 5e^{-t})(-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} = \frac{25\,000 e^{-t}(1 + 5e^{-t})[-(1 + 5e^{-t}) + 10e^{-t}]}{(1 + 5e^{-t})^4} = \frac{25\,000 e^{-t}(5e^{-t} - 1)}{(1 + 5e^{-t})^3}$$ Cho $f''(t) = 0 \iff 5e^{-t} - 1 = 0 \iff e^{-t} = \dfrac{1}{5} \iff e^t = 5 \iff t = \ln 5 \approx 1{,}609\text{ (năm)}$.
- Khi $t \in [0; \ln 5)$ thì $5e^{-t} - 1 > 0 \implies v'(t) > 0$.
- Khi $t > \ln 5$ thì $5e^{-t} - 1 < 0 \implies v'(t) < 0$.
Do đó hàm tốc độ $v(t)$ đạt cực đại duy nhất tại $t = \ln 5 \approx 1{,}61\text{ năm}$ (khoảng 1 năm 7 tháng).
Kết luận: Sau khi phát hành khoảng $1{,}61\text{ năm}$ (tức $\ln 5\text{ năm}$) thì tốc độ bán hàng của sản phẩm là lớn nhất.