Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Theo quy ước SGK trang 48, vectơ-không $\vec{0}$ cùng hướng (và do đó cùng phương) với mọi vectơ. Vì vậy mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$.

Hai vectơ chỉ được xét cùng hướng hay ngược hướng khi chúng cùng phương. Nếu $\vec{b}$ và $\vec{a}$ không cùng phương (giá của chúng cắt nhau) thì $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ nhưng cũng không ngược hướng với $\vec{a}$.

Vì $\vec{c} \ne \vec{0}$, giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$, và giá của $\vec{b}$ cũng song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$. Theo tiên đề hình học về các đường thẳng song song, giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ phải song song hoặc trùng nhau. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Vì $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{c}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với $\vec{c}$ ($\vec{c} \ne \vec{0}$) nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vừa cùng phương với $\vec{c}$, vừa có chiều mũi tên trùng với chiều mũi tên của $\vec{c}$. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với nhau.

Theo tính chất hình bình hành, hai cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau: $$AD \parallel BC \quad \text{và} \quad AD = BC$$

• Vì $AD \parallel BC$ nên hai giá của hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song, do đó $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.

• Xét chiều đi từ $A$ đến $D$ và từ $B$ đến $C$ theo định nghĩa đỉnh của hình bình hành, hai vectơ này có cùng chiều từ trái sang phải (hoặc cùng hướng), nên $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

• Mặt khác, độ dài $|\overrightarrow{BC}| = BC$ và $|\overrightarrow{AD}| = AD$, mà $BC = AD$ nên $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$.

⇒ Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, ta có: $$\begin{cases} \overrightarrow{BC} \text{ cùng hướng với } \overrightarrow{AD} \\ |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}| \end{cases}$$

• Vì $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên chúng cùng phương, suy ra hai đường thẳng chứa hai vectơ này song song hoặc trùng nhau: $BC \parallel AD$ (do $ABCD$ là tứ giác nên các đỉnh phân biệt không thẳng hàng, $BC$ không trùng $AD$).

• Vì $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$ nên độ dài đoạn thẳng $BC = AD$.

• Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($BC \parallel AD$ và $BC = AD$).

⇒ Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Tập hợp $S$ gồm $20$ vectơ sau:

Dựa vào tính chất của hình vuông $ABCD$ tâm $O$ (các cạnh bằng nhau và song song từng đôi một; hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), ta có:

• Nhóm 1 (hướng từ trái sang phải theo cạnh ngang): $\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\}$ (vì $AB \parallel DC, AB = DC$, cùng hướng).
• Nhóm 2 (hướng từ phải sang trái theo cạnh ngang): $\{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}\}$.
• Nhóm 3 (hướng từ trên xuống dưới theo cạnh dọc): $\{\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}\}$.
• Nhóm 4 (hướng từ dưới lên trên theo cạnh dọc): $\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB}\}$.
• Nhóm 5 (nửa đường chéo $AC$, hướng từ $A$ đến $C$): $\{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC}\}$ (vì $O$ là trung điểm $AC$).
• Nhóm 6 (nửa đường chéo $AC$, hướng từ $C$ đến $A$): $\{\overrightarrow{CO}, \overrightarrow{OA}\}$.
• Nhóm 7 (nửa đường chéo $BD$, hướng từ $B$ đến $D$): $\{\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{OD}\}$ (vì $O$ là trung điểm $BD$).
• Nhóm 8 (nửa đường chéo $BD$, hướng từ $D$ đến $B$): $\{\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\}$.
• Nhóm 9: $\{\overrightarrow{AC}\}$ (đường chéo dài, không có vectơ nào khác bằng nó).
• Nhóm 10: $\{\overrightarrow{CA}\}$.
• Nhóm 11: $\{\overrightarrow{BD}\}$.
• Nhóm 12: $\{\overrightarrow{DB}\}$.

• Ta có toạ độ điểm $A(1; 2) \implies \overrightarrow{OA} = (1; 2)$.
• Với $M(0; -1)$ và $N(3; 5)$, ta tính được: $$\overrightarrow{MN} = (3 - 0; 5 - (-1)) = (3; 6)$$

• Nhận thấy: $$(3; 6) = 3 \cdot (1; 2) \implies \overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{OA}$$

⇒ Mối quan hệ: Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với nhau và độ dài của $\overrightarrow{MN}$ gấp $3$ lần độ dài của $\overrightarrow{OA}$ ($|\overrightarrow{MN}| = 3 |\overrightarrow{OA}|$).

• Vật khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc $\vec{v} = \overrightarrow{OA}$.
Điều này có nghĩa là hướng chuyển động của vật trùng với hướng của vectơ $\overrightarrow{OA}$, và trong mỗi giờ vật di chuyển được một quãng đường bằng độ dài $|\overrightarrow{OA}|$.

• Vì $\overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{OA}$ nên vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với vectơ vận tốc $\vec{v}$. Do đó, quỹ đạo chuyển động thẳng của vật xuất phát từ $M$ chắc chắn đi qua điểm $N$.

• Gọi $t$ là thời gian (tính bằng giờ) để vật đi từ $M$ đến $N$. Ta có: $$\text{Quãng đường } MN = |\overrightarrow{MN}| = 3 |\overrightarrow{OA}| = 3 |\vec{v}|$$ Vận tốc của vật là $v = |\vec{v}| = |\overrightarrow{OA}|$.
Thời gian để vật tới $N$ là: $$t = \frac{MN}{v} = \frac{3 |\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OA}|} = 3\text{ (giờ)}.$$