Phân tích chi tiết từng mệnh đề:

• Mệnh đề A đúng: Theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng đó ($a \cap (P) = \varnothing$). Do đó nếu có điểm chung thì chắc chắn không song song.
• Mệnh đề B sai: Nếu có từ 2 điểm chung phân biệt trở lên thì đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, không phải cắt nhau.
• Mệnh đề C sai: Thiếu điều kiện quan trọng là $a$ không nằm trong $(P)$. Nếu $a \subset (P)$ thì không thể nói $a // (P)$.
• Mệnh đề D sai: Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa trong SGK Toán 11:

Đường thẳng $d$ được gọi là song song với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ và $(P)$ không có điểm chung:

$d // (P) \iff d \cap (P) = \varnothing$

Lời giải chi tiết:

Theo Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết):

Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$:

$\begin{cases} a \not\subset (P) \\ a // b \\ b \subset (P) \end{cases} \implies a // (P)$

Lời giải chi tiết:

• Đường thẳng $AM$ chính là đường thẳng chứa cạnh $AC$.
• Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$ (do $ABC$ và $ABD$ không đồng phẳng).
• Điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$.
• Do đó, đường thẳng $AM$ có đúng 1 điểm chung với $(BCD)$ là điểm $C$.

Vậy đường thẳng $AM$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ tại điểm $C$.

Lời giải chi tiết:

• Trong tam giác $ACD$, $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AD$ nên $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $CD \implies MN // CD$.
• Mặt khác, đường thẳng $CD \subset (BCD)$.
• Đường thẳng $MN$ không nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ (do $M, N$ không thuộc $(BCD)$).
• Theo định lí nhận biết: $\begin{cases} MN \not\subset (BCD) \\ MN // CD \\ CD \subset (BCD) \end{cases} \implies MN // (BCD)$.

Lời giải chi tiết:

• Trong tam giác $BCD$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD \implies MN // BD$.
• Đường thẳng $MN \subset (AMN)$.
• Đường thẳng $BD$ không nằm trong mặt phẳng $(AMN)$ (vì đỉnh $A$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$).
• Áp dụng định lí nhận biết: $\begin{cases} BD \not\subset (AMN) \\ BD // MN \\ MN \subset (AMN) \end{cases} \implies BD // (AMN)$.

Lời giải chi tiết:

Theo Định lí 2 trong SGK Toán 11 (Tính chất giao tuyến):

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$:

$\begin{cases} a // (P) \\ a \subset (Q) \\ (P) \cap (Q) = b \end{cases} \implies b // a$

Chứng minh: Vì $a$ và $b$ cùng thuộc $(Q)$ nên chúng đồng phẳng. Nếu $a$ cắt $b$ tại điểm $M$ thì $M \in b \subset (P) \implies M \in a \cap (P)$, mâu thuẫn với giả thiết $a // (P)$. Vậy $b // a$.

Lời giải chi tiết:

• Mặt phẳng $(SAB)$ chứa $AB // (P)$ và có điểm chung $E \implies$ giao tuyến của $(P)$ với $(SAB)$ là đoạn $EF // AB$ ($F \in SB$).
• Mặt phẳng $(SAD)$ chứa $AD // (P)$ và có điểm chung $E \implies$ giao tuyến của $(P)$ với $(SAD)$ là đoạn $EH // AD$ ($H \in SD$).
• Mặt phẳng $(ABCD)$ chứa $AB // (P)$, nhưng $(P)$ cắt các cạnh bên nên xét mặt phẳng $(SCD)$: $CD // AB // (P)$, điểm $H \in SD$ là điểm chung $\implies$ giao tuyến của $(P)$ với $(SCD)$ là đoạn $HG // CD // AB$ ($G \in SC$).
• Đoạn nối $FG$ là giao tuyến của $(P)$ với $(SBC)$.
• Tứ giác thiết diện là $EFGH$. Trong đó $EF // AB$ và $HG // CD$, mà $AB // CD \implies EF // HG$.
• Do $AB > CD$ nên đoạn $EF \ne HG$.

Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và không bằng nhau là hình thang.

Lời giải chi tiết:

• Vì $(P) // AB$ nên giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $E$ song song với $AB$, cắt $BC$ tại $F \implies EF // AB$.
• Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác $ABC$ có $EF // AB$:
  $\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{CA}$.
• Theo giả thiết, $E \in AC$ sao cho $AE = 2EC \implies CA = CE + EA = CE + 2CE = 3CE$.
• Do đó: $\frac{CE}{CA} = \frac{CE}{3CE} = \frac{1}{3}$.

Vậy tỉ số $\frac{EF}{AB} = \frac{1}{3}$.

Phân tích khoa học và hình học thực tiễn:

• Trục bản lề của cửa được lắp thẳng đứng, tức là vuông góc với mặt phẳng sàn nhà nằm ngang.
• Cánh cửa hình chữ nhật có mép trên luôn vuông góc với trục bản lề thẳng đứng.
• Khi cánh cửa mở ra ở bất kì góc độ nào, mép trên của cánh cửa luôn chuyển động trong một mặt phẳng nằm ngang cố định song song với mặt sàn nhà.
• Đường thẳng chứa mép trên của cửa không bao giờ cắt sàn nhà (khoảng cách tới sàn nhà không đổi bằng chiều cao cánh cửa).
• Do đó, mép trên của cánh cửa luôn song song với mặt phẳng sàn nhà (và trần nhà nằm ngang).