Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Áp dụng hệ quả định lí côsin: $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} = 0{,}6625.$$

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2} = 9{,}5.$$

Áp dụng công thức Heron: $$\begin{aligned} S &= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ &= \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \left(\frac{19}{2} - 6\right) \cdot \left(\frac{19}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{19}{2} - 8\right)} \\ &= \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3591}{16}} = \frac{3\sqrt{399}}{4} \approx 14{,}98. \end{aligned}$$

Từ công thức $S = pr$, suy ra: $$r = \frac{S}{p} = \frac{\dfrac{3\sqrt{399}}{4}}{\dfrac{19}{2}} = \frac{3\sqrt{399}}{38} \approx 1{,}58.$$

• Tàu chạy từ $A$ đến $B$ trong $90\text{ phút} = 1{,}5\text{ giờ}$ với vận tốc $70\text{ km/h}$: $$AB = 70 \times 1{,}5 = 105\text{ (km)}.$$

• Từ $B$, tàu trôi theo hướng nam trong $2\text{ giờ}$ với vận tốc $8\text{ km/h}$ đến đảo $C$: $$BC = 8 \times 2 = 16\text{ (km)}.$$

Vì hướng đi từ $A$ đến $B$ là $\text{S}70^\circ\text{E}$ (lệch $70^\circ$ so với hướng nam về phía đông), và từ $B$ tàu trôi theo chính hướng nam, nên góc bù trong cùng phía giữa tia $BA$ và tia nam xuất phát từ $B$ là: $$\widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.$$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ cho cạnh $AC$: $$\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos \widehat{B} \\ &= 105^2 + 16^2 - 2 \cdot 105 \cdot 16 \cos 110^\circ \\ &= 11025 + 256 - 3360 \cdot (-0{,}34202) \\ &= 11281 + 1149{,}19 = 12430{,}19. \end{aligned}$$

⇒ $AC = \sqrt{12430{,}19} \approx \mathbf{111{,}49\text{ km}}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ để tính góc $\widehat{BAC}$: $$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{B}} \implies \sin \widehat{BAC} = \frac{BC \cdot \sin 110^\circ}{AC} \approx \frac{16 \cdot 0{,}9397}{111{,}49} \approx 0{,}13485.$$ Suy ra $\widehat{BAC} \approx 7^\circ 45'$.

Vì tia $AB$ có hướng $\text{S}70^\circ\text{E}$, và tia $AC$ nằm giữa tia nam và tia $AB$ (hướng về phía nam nhiều hơn), nên góc tạo bởi tia $AC$ với hướng nam là: $$\alpha = 70^\circ - \widehat{BAC} \approx 70^\circ - 7^\circ 45' = 62^\circ 15'.$$

⇒ Vậy hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu là hướng $\mathbf{S62^\circ 15'E}$.

• Góc $\widehat{BAC}$: $$\widehat{BAC} = \widehat{xAB} - \widehat{xAC} = 50^\circ - 40^\circ = \mathbf{10^\circ}.$$

• Vì toà nhà và cột ăng-ten thẳng đứng (vuông góc với đường nằm ngang $Ax$), gọi $H$ là giao của đường nằm ngang $Ax$ với đường thẳng chứa cột ăng-ten $BC$. Ta có tam giác $AHC$ vuông tại $H$: $$\widehat{ACH} = 90^\circ - \widehat{xAC} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ.$$ Vì hai góc $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ACH}$ là hai góc kề bù, suy ra: $$\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ = \mathbf{130^\circ}.$$

• Góc $\widehat{ABC}$: $$\widehat{ABC} = 180^\circ - (\widehat{BAC} + \widehat{ACB}) = 180^\circ - (10^\circ + 130^\circ) = \mathbf{40^\circ}.$$

• Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$: $$\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} = \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} \implies AC = \frac{BC \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0{,}64279}{0{,}17365} \approx 18{,}51\text{ (m)}.$$

• Trong tam giác vuông $AHC$, đoạn $CH$ (khoảng cách từ nóc toà nhà $C$ đến đường nằm ngang $Ax$) là: $$CH = AC \cdot \sin \widehat{xAC} = 18{,}51 \cdot \sin 40^\circ \approx 18{,}51 \cdot 0{,}64279 \approx 11{,}90\text{ (m)}.$$

• Chiều cao của toà nhà (từ chân toà nhà trên mặt đất đến nóc $C$) là: $$h = CH + 7 = 11{,}90 + 7 = \mathbf{18{,}90\text{ (m)}}.$$

Tam giác $ABC$ có $AB = 8, BC = 6, \widehat{B} = 105^\circ$. Áp dụng định lí côsin: $$\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos 105^\circ \\ &= 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ \\ &= 64 + 36 - 96 \cdot (-0{,}25882) \\ &= 100 + 24{,}85 = 124{,}85 \implies AC = \sqrt{124{,}85} \approx \mathbf{11{,}17\text{ km}}. \end{aligned}$$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ để tìm góc $\widehat{ACB}$: $$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin 105^\circ} \implies \sin \widehat{ACB} = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11{,}17} \approx \frac{8 \cdot 0{,}9659}{11{,}17} \approx 0{,}69178.$$ Suy ra $\widehat{ACB} \approx 43^\circ 46'$.

Theo đề bài, góc $\widehat{BCD} = 135^\circ$. Do tia $CA$ nằm giữa hai tia $CB$ và $CD$ nên: $$\widehat{ACD} = \widehat{BCD} - \widehat{ACB} \approx 135^\circ - 43^\circ 46' = 91^\circ 14'.$$

Tam giác $ACD$ có $AC \approx 11{,}17\text{ km}, CD = 12\text{ km}$ và góc xen giữa $\widehat{ACD} \approx 91^\circ 14'$. Áp dụng định lí côsin: $$\begin{aligned} AD^2 &= AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos \widehat{ACD} \\ &\approx 124{,}85 + 12^2 - 2 \cdot 11{,}17 \cdot 12 \cdot \cos 91^\circ 14' \\ &= 124{,}85 + 144 - 268{,}08 \cdot (-0{,}0215) \\ &\approx 268{,}85 + 5{,}76 = 274{,}61. \end{aligned}$$

⇒ Chiều dài đường hầm mới: $AD = \sqrt{274{,}61} \approx \mathbf{16{,}57\text{ km}}$.

Đường mới sẽ giảm được số kilômét so với đường cũ là: $$\Delta S = S_{\text{cũ}} - AD = 26 - 16{,}57 = \mathbf{9{,}43\text{ km}}.$$

Theo quy ước SGK trang 48, vectơ-không $\vec{0}$ cùng hướng (và do đó cùng phương) với mọi vectơ. Vì vậy mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$.

Hai vectơ chỉ được xét cùng hướng hay ngược hướng khi chúng cùng phương. Nếu $\vec{b}$ và $\vec{a}$ không cùng phương (giá của chúng cắt nhau) thì $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ nhưng cũng không ngược hướng với $\vec{a}$.

Vì $\vec{c} \ne \vec{0}$, giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$, và giá của $\vec{b}$ cũng song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$. Theo tiên đề hình học về các đường thẳng song song, giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ phải song song hoặc trùng nhau. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Vì $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{c}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với $\vec{c}$ ($\vec{c} \ne \vec{0}$) nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vừa cùng phương với $\vec{c}$, vừa có chiều mũi tên trùng với chiều mũi tên của $\vec{c}$. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với nhau.

Theo tính chất hình bình hành, hai cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau: $$AD \parallel BC \quad \text{và} \quad AD = BC$$

• Vì $AD \parallel BC$ nên hai giá của hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song, do đó $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.

• Xét chiều đi từ $A$ đến $D$ và từ $B$ đến $C$ theo định nghĩa đỉnh của hình bình hành, hai vectơ này có cùng chiều từ trái sang phải (hoặc cùng hướng), nên $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

• Mặt khác, độ dài $|\overrightarrow{BC}| = BC$ và $|\overrightarrow{AD}| = AD$, mà $BC = AD$ nên $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$.

⇒ Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, ta có: $$\begin{cases} \overrightarrow{BC} \text{ cùng hướng với } \overrightarrow{AD} \\ |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}| \end{cases}$$

• Vì $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên chúng cùng phương, suy ra hai đường thẳng chứa hai vectơ này song song hoặc trùng nhau: $BC \parallel AD$ (do $ABCD$ là tứ giác nên các đỉnh phân biệt không thẳng hàng, $BC$ không trùng $AD$).

• Vì $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$ nên độ dài đoạn thẳng $BC = AD$.

• Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($BC \parallel AD$ và $BC = AD$).

⇒ Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Tập hợp $S$ gồm $20$ vectơ sau:

Dựa vào tính chất của hình vuông $ABCD$ tâm $O$ (các cạnh bằng nhau và song song từng đôi một; hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), ta có:

• Nhóm 1 (hướng từ trái sang phải theo cạnh ngang): $\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\}$ (vì $AB \parallel DC, AB = DC$, cùng hướng).
• Nhóm 2 (hướng từ phải sang trái theo cạnh ngang): $\{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}\}$.
• Nhóm 3 (hướng từ trên xuống dưới theo cạnh dọc): $\{\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}\}$.
• Nhóm 4 (hướng từ dưới lên trên theo cạnh dọc): $\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB}\}$.
• Nhóm 5 (nửa đường chéo $AC$, hướng từ $A$ đến $C$): $\{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC}\}$ (vì $O$ là trung điểm $AC$).
• Nhóm 6 (nửa đường chéo $AC$, hướng từ $C$ đến $A$): $\{\overrightarrow{CO}, \overrightarrow{OA}\}$.
• Nhóm 7 (nửa đường chéo $BD$, hướng từ $B$ đến $D$): $\{\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{OD}\}$ (vì $O$ là trung điểm $BD$).
• Nhóm 8 (nửa đường chéo $BD$, hướng từ $D$ đến $B$): $\{\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\}$.
• Nhóm 9: $\{\overrightarrow{AC}\}$ (đường chéo dài, không có vectơ nào khác bằng nó).
• Nhóm 10: $\{\overrightarrow{CA}\}$.
• Nhóm 11: $\{\overrightarrow{BD}\}$.
• Nhóm 12: $\{\overrightarrow{DB}\}$.

• Ta có toạ độ điểm $A(1; 2) \implies \overrightarrow{OA} = (1; 2)$.
• Với $M(0; -1)$ và $N(3; 5)$, ta tính được: $$\overrightarrow{MN} = (3 - 0; 5 - (-1)) = (3; 6)$$

• Nhận thấy: $$(3; 6) = 3 \cdot (1; 2) \implies \overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{OA}$$

⇒ Mối quan hệ: Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với nhau và độ dài của $\overrightarrow{MN}$ gấp $3$ lần độ dài của $\overrightarrow{OA}$ ($|\overrightarrow{MN}| = 3 |\overrightarrow{OA}|$).

• Vật khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc $\vec{v} = \overrightarrow{OA}$.
Điều này có nghĩa là hướng chuyển động của vật trùng với hướng của vectơ $\overrightarrow{OA}$, và trong mỗi giờ vật di chuyển được một quãng đường bằng độ dài $|\overrightarrow{OA}|$.

• Vì $\overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{OA}$ nên vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với vectơ vận tốc $\vec{v}$. Do đó, quỹ đạo chuyển động thẳng của vật xuất phát từ $M$ chắc chắn đi qua điểm $N$.

• Gọi $t$ là thời gian (tính bằng giờ) để vật đi từ $M$ đến $N$. Ta có: $$\text{Quãng đường } MN = |\overrightarrow{MN}| = 3 |\overrightarrow{OA}| = 3 |\vec{v}|$$ Vận tốc của vật là $v = |\vec{v}| = |\overrightarrow{OA}|$.
Thời gian để vật tới $N$ là: $$t = \frac{MN}{v} = \frac{3 |\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OA}|} = 3\text{ (giờ)}.$$

Biến đổi vế trái bằng cách nhóm theo quy tắc ba điểm:

$$\begin{aligned} \text{VT} &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) \\ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} \\ &= \overrightarrow{AA} = \vec{0} = \text{VP}. \end{aligned}$$

⇒ Đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng quy tắc hiệu cho hai vế:

• Vế trái: $\text{VT} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ (theo quy tắc hiệu chung gốc $A$).

• Vế phải: $\text{VP} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC}$ (theo quy tắc hiệu chung gốc $B$).

⇒ Vì $\text{VT} = \text{VP} = \overrightarrow{DC}$ nên đẳng thức được chứng minh.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$$

Theo giả thiết $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, do đó: $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$$

• Vì $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$ nên tứ giác $ABMC$ là hình bình hành (có hai cạnh đối $AC$ và $BM$ song song và bằng nhau).

⇒ Điểm $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABMC$.

• Vì $ABMC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}$.

• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$.

• Từ hai điều trên suy ra: $$\overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{CD} \quad \text{hay} \quad \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CM} = \vec{0}$$

⇒ Hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ là hai vectơ đối nhau (nghĩa là chúng cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài: $CD = CM$, tức $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $DM$).

Áp dụng quy tắc hiệu: $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$

Độ dài: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = CB = \mathbf{a}$.

Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến: $$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Dựng điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là hình thoi. Khi đó theo quy tắc hình bình hành: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AH}$$

Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AH}| = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \mathbf{a\sqrt{3}}$.