Phương pháp giải:
Sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử khác nhau thành một hàng là một hoán vị của $n$ phần tử đó.
Số cách sắp xếp là: $P_n = n!$.

Lời giải chi tiết:
Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 bức tranh.
Do đó, số cách xếp là:
$$P_{10} = 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3\,628\,800 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ và $a \neq 0$.
- Bước 1: Chọn chữ số hàng trăm $a$.
- Bước 2: Chọn 2 chữ số còn lại $b, c$ từ 4 chữ số còn lại rồi xếp thứ tự (chỉnh hợp $A_4^2$).
- Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a, b, c$ đôi một khác nhau và $a \neq 0$.
- Chọn chữ số $a$: Do $a \neq 0$ nên $a \in \{1, 2, 3, 4\}$, có 4 cách chọn.
- Chọn 2 chữ số $b$ và $c$: Lấy 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại trong tập $\{0, 1, 2, 3, 4\} \setminus \{a\}$ và sắp thứ tự, có $A_4^2 = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên lập được là:
$$4 \times 12 = 48 \text{ (số)}.$$
Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:
Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $S = \{1, 2, 3, \dots, 99\}$. Số phần tử của tập hợp $S$ là $n = 99$.
- Một tập con gồm $k$ phần tử của tập hợp $n$ phần tử là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó (vì trong tập con không phân biệt thứ tự phần tử).
- Số tập con gồm $k$ phần tử là $C_n^k$.

Lời giải chi tiết:
Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $S = \{1, 2, \dots, 99\}$, có tất cả 99 phần tử.
- Số tập hợp con gồm 2 phần tử của $S$ là:
$$C_{99}^2 = \frac{99!}{2!(99 - 2)!} = \frac{99 \times 98}{2 \times 1} = 4\,851 \text{ (tập hợp)}.$$
- Số tập hợp con gồm 3 phần tử của $S$ là:
$$C_{99}^3 = \frac{99!}{3!(99 - 3)!} = \frac{99 \times 98 \times 97}{3 \times 2 \times 1} = 156\,849 \text{ (tập hợp)}.$$
Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:
Để chọn ra 2 viên bi có màu khác nhau từ hộp gồm các viên bi xanh và đỏ, ta phải chọn đúng 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ.
Áp dụng quy tắc nhân:
- Bước 1: Chọn 1 viên bi xanh từ 5 viên bi xanh: có $C_5^1 = 5$ cách.
- Bước 2: Chọn 1 viên bi đỏ từ 7 viên bi đỏ: có $C_7^1 = 7$ cách.

Lời giải chi tiết:
Để chọn 2 viên bi có màu khác nhau, ta cần lấy 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ:
- Chọn 1 viên bi màu xanh từ 5 viên bi xanh có $C_5^1 = 5$ cách.
- Chọn 1 viên bi màu đỏ từ 7 viên bi đỏ có $C_7^1 = 7$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 viên bi khác màu là:
$$5 \times 7 = 35 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:
Chọn thành viên vào đội tuyển đi thi đấu không phân biệt thứ tự nên ta dùng tổ hợp $C_n^k$.

Lời giải chi tiết:
Câu lạc bộ có tổng cộng $10 + 7 = 17$ thành viên.
a) Chọn 4 bạn đều là nam:
Chọn 4 bạn nam từ 10 bạn nam của câu lạc bộ, số cách chọn là:
$$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \text{ (cách)}.$$
b) Chọn 4 bạn bất kì không phân biệt nam nữ:
Chọn 4 bạn từ tổng số 17 bạn của câu lạc bộ, số cách chọn là:
$$C_{17}^4 = \frac{17!}{4!13!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2\,380 \text{ (cách)}.$$
c) Chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ:
- Chọn 2 bạn nam từ 10 bạn nam có: $C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ cách.
- Chọn 2 bạn nữ từ 7 bạn nữ có: $C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn là:
$$45 \times 21 = 945 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$ và $a, b, c, d \in \{0, 1, \dots, 9\}$ đôi một khác nhau.
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng $d \in \{0, 5\}$.
Chia làm 2 trường hợp độc lập theo chữ số $d$:
- Trường hợp 1: $d = 0$.
- Trường hợp 2: $d = 5$.

Lời giải chi tiết:
Tập hợp chữ số $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ gồm 10 chữ số.
Số cần lập là $\overline{abcd}$ với $a, b, c, d$ đôi một khác nhau, $a \neq 0$ và $\overline{abcd} \,\vdots\, 5 \implies d \in \{0, 5\}$.

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng $d = 0$ (1 cách chọn $d$).
Vì $d = 0$ nên các chữ số $a, b, c$ được chọn từ tập $\{1, 2, \dots, 9\}$ (9 chữ số) nên hiển nhiên $a \neq 0$.
Chọn 3 chữ số từ 9 chữ số và sắp xếp vào 3 vị trí $a, b, c$ là một chỉnh hợp chập 3 của 9 phần tử:
$$A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ (số)}.$$

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng $d = 5$ (1 cách chọn $d$).
- Chọn chữ số hàng nghìn $a$: Vì $a \neq 0$ và $a \neq d = 5$, nên $a$ có thể chọn trong tập $\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ (gồm 8 chữ số). Do đó $a$ có 8 cách chọn.
- Chọn 2 chữ số $b$ và $c$: Lấy 2 chữ số từ 8 chữ số còn lại trong tập 10 chữ số (trừ đi chữ số $d=5$ và chữ số $a$) và sắp thứ tự, có:
$$A_8^2 = 8 \times 7 = 56 \text{ (cách)}.$$
Số các số lập được trong trường hợp này là:
$$8 \times 56 = 448 \text{ (số)}.$$

Tổng kết:
Theo quy tắc cộng, tổng các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
$$504 + 448 = 952 \text{ (số)}.$$
Chọn đáp án A.