Bài 19: Phương trình đường thẳng
Bài 19: Phương trình đường thẳng
Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng và ứng dụng thực tiễn.
- Vectơ chỉ phương
- Vectơ pháp tuyến
- Phương trình tổng quát
- Phương trình tham số
- Mô tả phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng.
- Lập phương trình của đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến hoặc một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc hai điểm.
- Giải thích mối liên hệ giữa đồ thị hàm bậc nhất và đường thẳng.
- Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
Sau điểm và vectơ, những đối tượng khác của hình học phẳng như đường thẳng, đường tròn, ... sẽ lần lượt được đại số hoá ở chương này. Đối với mỗi đối tượng hình học đó, trước hết ta đưa ra đối tượng đại số tương ứng, được gọi là phương trình của nó. Các mối quan hệ, công thức tính toán hình học sẽ được thể hiện theo các yếu tố của phương trình tương ứng.
1 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ và điểm $A$. Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho $\vec{AM}$ vuông góc với $\vec{n}$.
Hình 7.1a
Xem lời giải HĐ1
Vectơ $\vec{AM}$ vuông góc với $\vec{n}$ khi và chỉ khi đường thẳng $AM$ vuông góc với giá của vectơ $\vec{n}$ (hoặc $M$ trùng $A$).
Do đó, tập hợp những điểm $M$ sao cho $\vec{AM}$ vuông góc với $\vec{n}$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với giá của vectơ $\vec{n}$.
Vectơ $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$.
Hình 7.1b
- Nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $k\vec{n}$ ($k \ne 0$) cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
- Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là $A(3; 1), B(4; 0), C(5; 3)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.
Xem lời giải Ví dụ 1
• Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vuông góc với $AB$ nên có một vectơ pháp tuyến là: $$\overrightarrow{AB} = (4 - 3; 0 - 1) = (1; -1).$$
• Đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ vuông góc với $BC$ nên có một vectơ pháp tuyến là: $$\overrightarrow{BC} = (5 - 4; 3 - 0) = (1; 3).$$
Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a; b)$. Chứng minh rằng điểm $M(x; y)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \quad (1)$$
Xem lời giải HĐ2
Ta có $\overrightarrow{AM} = (x - x_0; y - y_0)$.
Điểm $M(x; y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}$ (khi $M \ne A$) hoặc $\overrightarrow{AM} = \vec{0}$ (khi $M \equiv A$).
Trong cả hai trường hợp, điều kiện tương đương với tích vô hướng bằng 0: $$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0.$$
Trong HĐ2, nếu đặt $c = -ax_0 - by_0$ thì $(1)$ còn được viết dưới dạng $ax + by + c = 0$ và được gọi là phương trình tổng quát của $\Delta$. Như vậy, điểm $M(x; y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình tổng quát của $\Delta$.
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: $$ax + by + c = 0,$$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.
Ngược lại, mỗi phương trình dạng $ax + by + c = 0$, với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\vec{n}(a; b)$ là một vectơ pháp tuyến.
Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; 1)$ và nhận $\vec{n}(3; 4)$ là một vectơ pháp tuyến.
Xem lời giải Ví dụ 2
Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là: $$3(x - 2) + 4(y - 1) = 0 \iff 3x + 4y - 10 = 0.$$
Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh $A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1)$. Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.
Xem lời giải Luyện tập 1
Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC} = (6 - 2; 1 - 3) = (4; -2)$ làm vectơ pháp tuyến.
Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến rút gọn là $\vec{n} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = (2; -1)$.
Phương trình tổng quát của đường cao đi qua $A(-1; 5)$ và nhận $\vec{n}(2; -1)$ làm VTPT là: $$2(x - (-1)) - 1(y - 5) = 0 \iff 2(x + 1) - (y - 5) = 0 \iff 2x - y + 7 = 0.$$
Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(0; b)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a; -1)$, với $a, b$ là các số cho trước. Hãy chỉ ra mối liên hệ giữa đường thẳng $\Delta$ với đồ thị của hàm số $y = ax + b$.
Xem lời giải Ví dụ 3
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(0; b)$ và nhận $\vec{n}(a; -1)$ làm VTPT có phương trình là: $$a(x - 0) - 1(y - b) = 0 \iff ax - y + b = 0.$$
Đường thẳng $\Delta$ là tập hợp những điểm $M(x; y)$ thoả mãn $ax - y + b = 0$, hay là $y = ax + b$.
Do đó, đường thẳng $\Delta: ax - y + b = 0$ chính là đồ thị của hàm số $y = ax + b$.
Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta: y = 3x + 4$.
Xem lời giải Luyện tập 2
Chuyển vế phương trình về dạng tổng quát: $$y = 3x + 4 \iff 3x - y + 4 = 0.$$
Từ phương trình $3x - y + 4 = 0$, một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n} = (3; -1)$ (hoặc $\vec{n}' = (-3; 1)$).
Phương trình có thể đưa về dạng $x = m$ (với $m = -\dfrac{c}{a}$).
Khi đó đường thẳng $\Delta$ song song hoặc trùng với trục tung $Oy$ và vuông góc với $Ox$.
Phương trình có thể đưa về dạng $y = nx + p$ (với $n = -\dfrac{a}{b}, p = -\dfrac{c}{b}$).
Đây là dạng hàm số bậc nhất quen thuộc có hệ số góc $n = -\dfrac{a}{b}$.
2 Phương trình tham số của đường thẳng
Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng $\vec{v}$ và đi qua $A$ thì nó di chuyển trên đường nào?
Hình 7.2a
Xem lời giải HĐ3
Vật thể di chuyển theo hướng của vectơ vận tốc $\vec{v}$ xuất phát từ $A$, do đó nó di chuyển trên đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $A$ và có giá song song với giá của vectơ $\vec{v}$.
Vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$.
- Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\vec{u}$ ($k \ne 0$) cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
- Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
- Vectơ $\vec{n}(a; b)$ vuông góc với các vectơ $\vec{u}(-b; a)$ và $\vec{v}(b; -a)$ nên nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.
Hình 7.2b
Trong mặt phẳng toạ độ, cho $A(3; 2), B(1; -4)$. Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.
Xem lời giải Ví dụ 4
Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB} = (1 - 3; -4 - 2) = (-2; -6)$ là một vectơ chỉ phương.
Lấy $\vec{u} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (1; 3)$, khi đó $\vec{u}$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.
Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta: 2x - y + 1 = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 3
Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; -1)$.
Do đó, một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (1; 2)$ (hoặc $\vec{u}' = (-1; -2)$) vì tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 0$.
Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng $Oxy$. Vật thể khởi hành từ $A(2; 1)$ và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\vec{v}(3; 4)$.
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Chứng minh rằng, tại thời điểm $t$ ($t > 0$) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có toạ độ là $(2 + 3t; 1 + 4t)$.
Xem lời giải HĐ4
a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm khởi hành $A(2; 1)$ và nhận vectơ vận tốc $\vec{v}(3; 4)$ làm vectơ chỉ phương.
b) Tại thời điểm $t$ ($t > 0$), quãng đường vectơ di chuyển là $\vec{s} = t\vec{v} = (3t; 4t)$.
Gọi $M(x; y)$ là vị trí của vật thể tại thời điểm $t$. Khi đó:
$$\overrightarrow{AM} = t\vec{v} \iff (x - 2; y - 1) = (3t; 4t) \iff \begin{cases} x - 2 = 3t \\ y - 1 = 4t \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 + 4t \end{cases}$$
Vậy tại thời điểm $t$, vật thể ở vị trí có toạ độ là $(2 + 3t; 1 + 4t)$.
Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(a; b)$. Khi đó điểm $M(x; y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, hay:
Hệ $(2)$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ ($t$ là tham số).
Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(4; -1)$.
Xem lời giải Ví dụ 5
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -3 - t \end{cases}$$
Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1; 2)$ và song song với đường thẳng $d: 3x - 4y - 1 = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 4
Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_d = (3; -4)$, nên có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}_d = (4; 3)$.
Vì $\Delta \parallel d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{u}_d = (4; 3)$ làm một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(4; 3)$ có phương trình tham số là: $$\begin{cases} x = -1 + 4t \\ y = 2 + 3t \end{cases}$$
Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; 3)$ và $B(1; 5)$.
Xem lời giải Ví dụ 6
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2; 3)$ và nhận $\overrightarrow{AB} = (1 - 2; 5 - 3) = (-1; 2)$ làm vectơ chỉ phương.
Do đó phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là: $$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + 2t \end{cases}$$
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1), B(x_2; y_2)$ cho trước.
Xem lời giải Luyện tập 5
• Đường thẳng $AB$ đi qua $A(x_1; y_1)$ và nhận $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Từ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$, suy ra một vectơ pháp tuyến của $AB$ là $\vec{n} = (y_2 - y_1; -(x_2 - x_1))$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua $A(x_1; y_1)$ là: $$(y_2 - y_1)(x - x_1) - (x_2 - x_1)(y - y_1) = 0.$$
(Nếu $x_2 \ne x_1$ và $y_2 \ne y_1$, ta có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc: $\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$).
Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:
- Nước đóng băng ở $0^\circ\text{C}, 32^\circ\text{F}$;
- Nước sôi ở $100^\circ\text{C}, 212^\circ\text{F}$.
Trong quy đổi đó, nếu $a^\circ\text{C}$ tương ứng với $b^\circ\text{F}$ thì trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(a; b)$ thuộc đường thẳng đi qua $A(0; 32)$ và $B(100; 212)$.
Nhiệt kế dùng hai đơn vị đo là độ F và độ C
Xem lời giải Vận dụng
Đường thẳng $AB$ đi qua hai điểm $A(0; 32)$ và $B(100; 212)$. Ta có: $$\overrightarrow{AB} = (100 - 0; 212 - 32) = (100; 180) = 20(5; 9).$$
Chọn vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (9; -5)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua $A(0; 32)$ là: $$9(x - 0) - 5(y - 32) = 0 \iff 9x - 5y + 160 = 0 \iff y = \dfrac{9}{5}x + 32 \iff x = \dfrac{5}{9}(y - 32).$$ Trong đó $x$ là nhiệt độ theo độ C ($^\circ\text{C}$) và $y$ là nhiệt độ theo độ F ($^\circ\text{F}$).
• Khi $y = 0^\circ\text{F}$: $$x = \dfrac{5}{9}(0 - 32) = -\dfrac{160}{9} \approx -17,78^\circ\text{C}.$$
• Khi $y = 100^\circ\text{F}$: $$x = \dfrac{5}{9}(100 - 32) = \dfrac{340}{9} \approx 37,78^\circ\text{C}.$$
Vậy $0^\circ\text{F}$ tương ứng với khoảng $-17,78^\circ\text{C}$, và $100^\circ\text{F}$ tương ứng với khoảng $37,78^\circ\text{C}$.
Hồi quy tuyến tính là một phương pháp được sử dụng trong thống kê để dự báo về mối quan hệ giữa các đại lượng dựa trên kết quả thống kê mẫu. Chẳng hạn, để dự báo về mối quan hệ giữa hai đại lượng $x$ và $y$ ($y$ phụ thuộc vào $x$ như thế nào), từ kết quả thống kê được thể hiện ở Hình 7.4a, phương pháp hồi quy tuyến tính đưa ra đường thẳng $\Delta$ (H.7.4b) thể hiện gần đúng nhất mối quan hệ giữa các đại lượng $x$ và $y$ đã được thống kê. Về mặt hình ảnh, các chấm xanh trên hình vẽ (có toạ độ là các cặp giá trị $(x; y)$ trong kết quả thống kê) tập trung dọc theo $\Delta$.
Để xác định $\Delta$ (phương trình $y = ax + b$), người ta thường dùng tiêu chuẩn gọi là bình phương nhỏ nhất như sau: Với mỗi cặp $(x_0; y_0)$ trong kết quả thống kê, xét bình phương khoảng cách từ $M(x_0; y_0)$ đến $M'(x_0; ax_0 + b)$. Khi đó, $a, b$ được chọn sao cho tổng các bình phương này là nhỏ nhất.
Nhờ đưa ra được đường thẳng biểu thị (gần đúng) sự phụ thuộc giữa đại lượng $y$ theo đại lượng $x$, người ta có thể đưa ra các dự báo nằm ngoài kết quả thống kê. Tất nhiên, không phải mô hình nào cũng phù hợp với phương pháp này, ngay cả khi kết quả thống kê tập trung dọc một đường thẳng. Chẳng hạn, để xác định đường đi của một quả tên lửa, nếu dựa vào một số quan sát ban đầu để dự đoán, ta có thể nghĩ rằng nó chuyển động thẳng, nhưng trên thực tế, nhìn chung nó đi theo đường parabol. Sai lầm trong những dự báo như vậy thật là tai hại!
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1; 3)$ và nhận $\vec{n}(2; 1)$ làm vectơ pháp tuyến là: $$2(x - 1) + 1(y - 3) = 0 \iff 2x - 2 + y - 3 = 0 \iff 2x + y - 5 = 0.$$
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(-2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}(3; 2)$ là: $$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $$\overrightarrow{AB} = (-2 - 1; 1 - 3) = (-3; -2).$$ - Chọn vectơ chỉ phương cùng phương là $\vec{u} = -\overrightarrow{AB} = (3; 2)$.
- Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(3; 2)$ có phương trình tham số là: $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
- Trục hoành $Ox$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và nhận vectơ đơn vị $\vec{j}(0; 1)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình tổng quát của $Ox$ là: $$0(x - 0) + 1(y - 0) = 0 \iff y = 0.$$ - Trục tung $Oy$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và nhận vectơ đơn vị $\vec{i}(1; 0)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình tổng quát của $Oy$ là: $$1(x - 0) + 0(y - 0) = 0 \iff x = 0.$$
Cách 1 (Khử tham số $t$):
Từ phương trình tham số ta có: $$t = \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 3}{5} \iff 5(x - 1) = 2(y - 3) \iff 5x - 5 = 2y - 6 \iff 5x - 2y + 1 = 0.$$ Cách 2 (Dùng vectơ pháp tuyến):
Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M(1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 5)$.
Suy ra vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\vec{n} = (5; -2)$.
Phương trình tổng quát là: $$5(x - 1) - 2(y - 3) = 0 \iff 5x - 2y + 1 = 0.$$
- Đường thẳng $\Delta_2: 2x + 3y - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; 3)$.
- Do đó một vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u} = (-3; 2)$ (hoặc $\vec{u}' = (3; -2)$).
- Tìm một điểm thuộc $\Delta_2$: Cho $y = 1 \Rightarrow 2x + 3(1) - 5 = 0 \iff 2x = 2 \iff x = 1$, ta được điểm $M(1; 1) \in \Delta_2$.
- Phương trình tham số của $\Delta_2$ đi qua $M(1; 1)$ và có VTCP $\vec{u}(-3; 2)$ là: $$\begin{cases} x = 1 - 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
- Đường cao kẻ từ đỉnh $A$ vuông góc với cạnh $BC$.
- Ta có: $\overrightarrow{BC} = (-2 - 3; -1 - 0) = (-5; -1) = -(5; 1)$.
- Do đó, đường cao kẻ từ $A$ nhận $\vec{n} = (5; 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.
- Phương trình tổng quát của đường cao đi qua $A(1; 2)$ với VTPT $\vec{n}(5; 1)$ là: $$5(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff 5x - 5 + y - 2 = 0 \iff 5x + y - 7 = 0.$$
- Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Toạ độ của $M$ là: $$x_M = \dfrac{x_A + x_C}{2} = \dfrac{1 + (-2)}{2} = -\dfrac{1}{2}, \quad y_M = \dfrac{y_A + y_C}{2} = \dfrac{2 + (-1)}{2} = \dfrac{1}{2} \implies M\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right).$$ - Đường trung tuyến kẻ từ $B$ đi qua hai điểm $B(3; 0)$ và $M\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$.
- Vectơ chỉ phương: $$\overrightarrow{BM} = \left(-\dfrac{1}{2} - 3; \dfrac{1}{2} - 0\right) = \left(-\dfrac{7}{2}; \dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}(7; -1).$$ - Chọn vectơ chỉ phương $\vec{u} = (7; -1) \implies$ một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 7)$.
- Phương trình tổng quát của đường trung tuyến $BM$ đi qua $B(3; 0)$ là: $$1(x - 3) + 7(y - 0) = 0 \iff x + 7y - 3 = 0.$$
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(a; 0)$ và $B(0; b)$ với $ab \ne 0$ (Hình 7.3). Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ có dạng:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $$\overrightarrow{AB} = (0 - a; b - 0) = (-a; b).$$ - Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (b; a)$ vì tích vô hướng $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = b(-a) + a(b) = 0$.
- Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(a; 0)$ với VTPT $\vec{n}(b; a)$ là: $$b(x - a) + a(y - 0) = 0 \iff bx + ay - ab = 0 \iff bx + ay = ab.$$ - Do $ab \ne 0$, chia cả hai vế cho $ab$ ta được: $$\dfrac{bx}{ab} + \dfrac{ay}{ab} = \dfrac{ab}{ab} \iff \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1.$$ Phương trình này được gọi là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng.
- Khi máy bay đến sân bay Đà Nẵng, vị trí của máy bay có toạ độ: vĩ độ $x = 16,1$ và kinh độ $y = 108,2$.
- Thay $x = 16,1$ vào phương trình thứ nhất của hệ: $$16,1 = 21,2 - \dfrac{153}{40}t \iff \dfrac{153}{40}t = 21,2 - 16,1 = 5,1 \iff t = \dfrac{5,1 \cdot 40}{153} = \dfrac{204}{153} = \dfrac{4}{3} \text{ (giờ)}.$$ - Kiểm tra lại với toạ độ kinh độ tại thời điểm $t = \dfrac{4}{3}$: $$y = 105,8 + \dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{4}{3} = 105,8 + \dfrac{12}{5} = 105,8 + 2,4 = 108,2^\circ \text{ (hoàn toàn khớp với kinh độ sân bay Đà Nẵng)}.$$ - Đổi đơn vị: $\dfrac{4}{3}$ giờ = $1$ giờ $20$ phút.
Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\dfrac{4}{3}$ giờ (tức 1 giờ 20 phút).
- Tại thời điểm $t = 1$ (giờ), vĩ độ của máy bay là: $$x = 21,2 - \dfrac{153}{40} \cdot 1 = 21,2 - 3,825 = 17,375^\circ \text{ Bắc}.$$ - Máy bay khởi hành từ Hà Nội ($21,2^\circ$ Bắc) bay về hướng Nam tới Đà Nẵng ($16,1^\circ$ Bắc), do đó vĩ độ giảm dần từ $21,2^\circ$ xuống $16,1^\circ$.
- Vì $17,375^\circ > 17^\circ$ nên máy bay vẫn đang ở phía Bắc của vĩ tuyến 17 ($17^\circ$ Bắc).
Vậy tại thời điểm $1$ giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17.