Định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cách tính bằng định nghĩa và ý nghĩa hình học (phương trình tiếp tuyến), ý nghĩa vật lí của đạo hàm.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$.
Đặt $\Delta x = x - x_0$ là số gia của đối số tại $x_0$.
Đặt $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ là số gia tương ứng của hàm số.
Khi đó: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.
Lưu ý: Điều ngược lại chưa chắc đúng (hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó, ví dụ: $y = |x|$ tại $x = 0$).
Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0(x_0; f(x_0))$.
$k = f'(x_0)$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ là:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
hoặc $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
Hình 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀