Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, công thức tính góc, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và ứng dụng thực tiễn.
- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
- Góc, khoảng cách
- Nhận biết hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc.
- Thiết lập công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Vận dụng các công thức tính góc và khoảng cách để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?
1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng:
$\Delta_2: 3x - y - 1 = 0$.
a) Điểm $M(1; 2)$ có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0. \end{cases}$
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa toạ độ giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ với nghiệm của hệ phương trình trên.
Xem lời giải HĐ1
a) Thay toạ độ điểm $M(1; 2)$ vào phương trình của $\Delta_1$ và $\Delta_2$:
- Với $\Delta_1$: $1 - 2\cdot 2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$ (thoả mãn). Do đó $M \in \Delta_1$.
- Với $\Delta_2$: $3\cdot 1 - 2 - 1 = 3 - 3 = 0$ (thoả mãn). Do đó $M \in \Delta_2$.
Vậy điểm $M(1; 2)$ thuộc cả hai đường thẳng nói trên.
b) Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x - 2y = -3 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1 \\ y = 2. \end{cases}$$Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$.
c) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chính là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình tương ứng của $\Delta_1$ và $\Delta_2$.
Nhận xét. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.
Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$.
Khi đó, toạ độ giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là nghiệm của hệ phương trình:
- $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ tại $M(x_0; y_0)$ khi và chỉ khi hệ $(*)$ có nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$.
- $\Delta_1$ song song với $\Delta_2$ khi và chỉ khi hệ $(*)$ vô nghiệm.
- $\Delta_1$ trùng $\Delta_2$ khi và chỉ khi hệ $(*)$ có vô số nghiệm.
Dựa vào các vectơ chỉ phương $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ của $\Delta_1, \Delta_2$, ta có:
- $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau $\iff \vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ cùng phương $\iff \vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ cùng phương (Hình 7.5a).
- $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\iff \vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ không cùng phương $\iff \vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ không cùng phương (Hình 7.5b).
Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta: x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{3} = 0$ và mỗi đường thẳng sau:
$\Delta_2: \sqrt{2}x - 2y = 0$.
Ta có: $$x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{3} = 0 \iff \sqrt{3}(x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{3}) = 0 \iff \sqrt{3}x - \sqrt{6}y + 12 = 0.$$ Vậy $\Delta$ và $\Delta_1$ là một, nói cách khác chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta_2$ có hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1; -\sqrt{2})$ và $\vec{n}_2(\sqrt{2}; -2)$ cùng phương (do $\vec{n}_2 = \sqrt{2}\,\vec{n}$). Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm $O(0; 0)$ thuộc đường thẳng $\Delta_2$ nhưng không thuộc đường thẳng $\Delta$, nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy $\Delta$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
Nhận xét. Giả sử hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ có hai vectơ chỉ phương $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1, \vec{n}_2$) cùng phương. Khi đó:
- Nếu $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có điểm chung thì $\Delta_1$ trùng $\Delta_2$;
- Nếu tồn tại điểm thuộc $\Delta_1$ nhưng không thuộc $\Delta_2$ thì $\Delta_1$ song song với $\Delta_2$.
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: x + 4y - 3 = 0$ và $\Delta_2: x - 4y - 3 = 0$;
b) $\Delta_1: x + 2y - \sqrt{5} = 0$ và $\Delta_2: 2x + 4y - 3\sqrt{5} = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 1
a)
$\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(1; 4)$ và $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2(1; -4)$.
Vì $\dfrac{1}{1} \ne \dfrac{4}{-4}$ nên hai vectơ $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ không cùng phương. Do đó, hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x + 4y - 3 = 0 \\ x - 4y - 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x - 6 = 0 \\ 8y = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 3 \\ y = 0. \end{cases}$$Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại điểm $M(3; 0)$.
b)
$\Delta_1$ có VTPT $\vec{n}_1(1; 2)$ và $\Delta_2$ có VTPT $\vec{n}_2(2; 4) = 2\vec{n}_1$, nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm $M(\sqrt{5}; 0) \in \Delta_1$. Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của $\Delta_2$ ta được:
$$2\sqrt{5} + 4\cdot 0 - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5} \ne 0 \implies M \notin \Delta_2.$$Vậy hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
2 Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Xem lời giải HĐ2
Bốn góc tạo thành gồm hai cặp góc đối đỉnh và các cặp góc kề bù:
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
- Hai góc kề bù thì có tổng số đo bằng $180^\circ$.
Do đó, nếu gọi một góc nhọn (hoặc góc vuông) có số đo là $\alpha$ ($0^\circ < \alpha \le 90^\circ$) thì bốn góc tạo thành sẽ có các số đo là $\alpha$, $180^\circ - \alpha$, $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng $0^\circ$.
Cho hai đường thẳng cắt nhau $\Delta_1, \Delta_2$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1, \vec{n}_2$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc $\varphi$ và góc $(\vec{n}_1, \vec{n}_2)$;
b) $\cos\varphi$ và $\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)$.
Xem lời giải HĐ3
a) Từ Hình 7.7, ta nhận thấy:
- Nếu góc giữa hai vectơ $(\vec{n}_1, \vec{n}_2) \le 90^\circ$ thì $\varphi = (\vec{n}_1, \vec{n}_2)$.
- Nếu góc giữa hai vectơ $(\vec{n}_1, \vec{n}_2) > 90^\circ$ thì $\varphi = 180^\circ - (\vec{n}_1, \vec{n}_2)$.
b) Do $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ nên $\cos\varphi \ge 0$.
Mặt khác, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Do đó trong mọi trường hợp ta luôn có:
$$\cos\varphi = \left|\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)\right|.$$Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$, với các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(a_1; b_1)$ và $\vec{n}_2(a_2; b_2)$ tương ứng. Khi đó, góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức:
- $\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.
- Nếu $\Delta_1, \Delta_2$ có các vectơ chỉ phương $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ thì góc $\varphi$ giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cũng được xác định thông qua công thức: $$\cos\varphi = \left|\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)\right| = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot|\vec{u}_2|}.$$
Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: \sqrt{3}x - y + 2 = 0$ và $\Delta_2: x - \sqrt{3}y - 2 = 0$.
Vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\vec{n}_1(\sqrt{3}; -1)$, của $\Delta_2$ là $\vec{n}_2(1; -\sqrt{3})$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Ta có:
$$\cos\varphi = \left|\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)\right| = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} = \dfrac{|\sqrt{3}\cdot 1 + (-1)\cdot(-\sqrt{3})|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}\cdot\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$Do đó, góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\varphi = 30^\circ$.
Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: x + 3y + 2 = 0$ và $\Delta_2: y = 3x + 1$.
Xem lời giải Luyện tập 2
Đường thẳng $\Delta_1$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_1(1; 3)$.
Đưa phương trình $\Delta_2$ về dạng tổng quát: $3x - y + 1 = 0 \implies$ vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2(3; -1)$.
Xét tích vô hướng:
$$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1\cdot 3 + 3\cdot(-1) = 3 - 3 = 0.$$Vì $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \implies \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2$, do đó $\Delta_1 \perp \Delta_2$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $90^\circ$.
Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: x = 3$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + t. \end{cases}$
Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình $x - 3 = 0$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(1; 0)$.
Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2(-1; 1)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2(1; 1)$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta có:
$$\cos\varphi = \left|\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)\right| = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} = \dfrac{|1\cdot 1 + 0\cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}\cdot\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$$Do đó, góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\varphi = 45^\circ$.
Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \end{cases}$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = 1 + t' \\ y = 5 + 3t'. \end{cases}$
Xem lời giải Luyện tập 3
Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1(1; -2)$, vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2(1; 3)$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Áp dụng công thức tính góc qua vectơ chỉ phương:
$$\cos\varphi = \left|\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)\right| = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot|\vec{u}_2|} = \dfrac{|1\cdot 1 + (-2)\cdot 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}\cdot\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{|-5|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\varphi = 45^\circ$.
Xét đường thẳng $\Delta$ bất kì cắt trục hoành $Ox$ tại một điểm $A$. Điểm $A$ chia đường thẳng $\Delta$ thành hai tia, trong đó, gọi $Az$ là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu $\alpha_\Delta$ là số đo của góc $\widehat{xAz}$ (H.7.8). Qua luyện tập sau, ta sẽ thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc.
Cho đường thẳng $\Delta: y = ax + b$, với $a \ne 0$.
a) Chứng minh rằng $\Delta$ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng $\Delta_0$ đi qua $O(0; 0)$ và song song (hoặc trùng) với $\Delta$.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $\alpha_\Delta$ và $\alpha_{\Delta_0}$.
d) Gọi $M$ là giao điểm của $\Delta_0$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_0$ là hoành độ của $M$. Tính tung độ của $M$ theo $x_0$ và $a$. Từ đó, chứng minh rằng $\tan\alpha_\Delta = a$.
Xem lời giải Luyện tập 4
a) Cho $y = 0 \iff ax + b = 0 \iff x = -\dfrac{b}{a}$ (vì $a \ne 0$). Vậy đường thẳng $\Delta$ luôn cắt trục hoành $Ox$ tại điểm duy nhất $A\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$.
b) Đường thẳng $\Delta_0$ song song hoặc trùng với $\Delta$ nên có cùng hệ số góc $a$. Do $\Delta_0$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ nên phương trình của nó là:
$$\Delta_0: y = ax.$$c) Vì $\Delta_0 \parallel \Delta$ (hoặc $\Delta_0 \equiv \Delta$) nên hai góc $\alpha_\Delta$ và $\alpha_{\Delta_0}$ là hai góc đồng vị (hoặc trùng nhau). Do đó:
$$\alpha_\Delta = \alpha_{\Delta_0}.$$d) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta_0$ nên tung độ của $M$ là $y_M = ax_0$.
Mặt khác, $M$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị ứng với góc $\alpha_{\Delta_0}$, theo định nghĩa giá trị lượng giác của góc ta có:
$$x_0 = \cos\alpha_{\Delta_0}, \quad y_M = \sin\alpha_{\Delta_0}.$$Suy ra:
$$\tan\alpha_{\Delta_0} = \dfrac{\sin\alpha_{\Delta_0}}{\cos\alpha_{\Delta_0}} = \dfrac{y_M}{x_0} = \dfrac{ax_0}{x_0} = a.$$Vì $\alpha_\Delta = \alpha_{\Delta_0}$ nên $\tan\alpha_\Delta = a$.
Kết luận: Hệ số góc $a$ của đường thẳng $y = ax + b$ chính là tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với chiều dương của trục $Ox$.
3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm $M(x_0; y_0)$ và đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a; b)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\Delta$ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng $|\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM}| = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot HM$.
b) Giả sử $H$ có toạ độ $(x_1; y_1)$. Chứng minh rằng: $\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) = ax_0 + by_0 + c$.
c) Chứng minh rằng: $HM = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
Xem lời giải HĐ4
a) Do $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\Delta$ nên đường thẳng $HM \perp \Delta$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ cũng vuông góc với $\Delta$, do đó giá của vectơ $\vec{n}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $HM$, nghĩa là hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{HM}$ cùng phương.
Vì vậy góc giữa chúng bằng $0^\circ$ hoặc $180^\circ$, suy ra $|\cos(\vec{n}, \overrightarrow{HM})| = 1$. Ta có:
$$|\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM}| = |\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{HM}|\cdot|\cos(\vec{n}, \overrightarrow{HM})| = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot HM \cdot 1 = \sqrt{a^2 + b^2}\cdot HM.$$b) Ta có $\overrightarrow{HM} = (x_0 - x_1; y_0 - y_1)$. Khi đó:
$$\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) = ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1).$$Vì $H(x_1; y_1) \in \Delta$ nên toạ độ $H$ thoả mãn phương trình của $\Delta$:
$$ax_1 + by_1 + c = 0 \implies -(ax_1 + by_1) = c.$$Thay vào biểu thức trên ta được:
$$\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM} = ax_0 + by_0 + c.$$c) Từ kết quả câu a) và câu b):
$$\sqrt{a^2 + b^2}\cdot HM = |\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM}| = |ax_0 + by_0 + c|.$$Vì $a^2 + b^2 > 0 \implies \sqrt{a^2 + b^2} > 0$, chia hai vế cho $\sqrt{a^2 + b^2}$ ta được:
$$HM = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$Cho điểm $M(x_0; y_0)$ và đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$, được tính bởi công thức:
Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 4)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 12 = 0$.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, ta có:
$$d(M, \Delta) = \dfrac{|3\cdot 2 + 4\cdot 4 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6 + 16 - 12|}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2.$$Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $2$.
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.
Xem giải thích Trải nghiệm
Trên lưới toạ độ Hình 7.10, mỗi cạnh của ô vuông đơn vị có độ dài bằng $1$.
Đo trực tiếp bằng thước đo độ dài đoạn thẳng vuông góc $MH$ nối từ $M(2; 4)$ đến đường thẳng $\Delta$, ta đo được $MH = 2$ đơn vị độ dài.
Về mặt toạ độ, hình chiếu vuông góc $H$ của $M(2; 4)$ lên đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 12 = 0$ có toạ độ xác định bởi:
$$\overrightarrow{MH} = k\vec{n} = (3k; 4k) \implies H(2 + 3k; 4 + 4k).$$Do $H \in \Delta \implies 3(2 + 3k) + 4(4 + 4k) - 12 = 0 \iff 25k + 10 = 0 \iff k = -0{,}4$.
Suy ra $H(0{,}8; 2{,}4)$, và khoảng cách là độ dài đoạn thẳng:
$$MH = \sqrt{(0{,}8 - 2)^2 + (2{,}4 - 4)^2} = \sqrt{(-1{,}2)^2 + (-1{,}6)^2} = \sqrt{1{,}44 + 2{,}56} = \sqrt{4} = 2.$$Như vậy kết quả đo đạc trực quan trên hình vẽ hoàn toàn trùng khớp với kết quả đại số trong Ví dụ 4.
Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 2)$ đến đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 5 + 3t \\ y = -5 - 4t. \end{cases}$
Xem lời giải Luyện tập 5
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(5; -5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(3; -4)$.
Suy ra một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}(4; 3)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là:
$$4(x - 5) + 3(y + 5) = 0 \iff 4x + 3y - 5 = 0.$$Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(1; 2)$ đến đường thẳng $\Delta$:
$$d(M, \Delta) = \dfrac{|4\cdot 1 + 3\cdot 2 - 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \dfrac{|4 + 6 - 5|}{\sqrt{25}} = \dfrac{5}{5} = 1.$$Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $1$.
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với chiều dài $AD = 15\text{ m}$, chiều rộng $AB = 12\text{ m}$. Phần tam giác $DEF$ là nơi ông bà nuôi vịt, $AE = 5\text{ m}, CF = 6\text{ m}$ (H.7.11).
a) Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$, có điểm $O$ trùng với điểm $B$, các tia $Ox, Oy$ tương ứng trùng với các tia $BC, BA$. Chọn $1$ đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với $1\text{ m}$ trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm $A, B, C, D, E, F$ và viết phương trình đường thẳng $EF$.
b) Nam đứng ở vị trí $B$ câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa $10{,}7\text{ m}$. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
Xem lời giải Vận dụng
a) Xác định toạ độ các điểm và viết phương trình đường thẳng $EF$:
Với hệ trục toạ độ $Oxy$ có gốc $O \equiv B(0; 0)$:
- Tia $Ox$ trùng tia $BC$, vì $BC = AD = 15\text{ m} \implies C(15; 0)$.
- Tia $Oy$ trùng tia $BA$, vì $BA = 12\text{ m} \implies A(0; 12)$.
- Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên đỉnh đối diện có toạ độ $D(15; 12)$.
- Điểm $E$ nằm trên đoạn $AD$, cách $A$ một khoảng $AE = 5\text{ m}$, do đó $x_E = 5$ và $y_E = 12 \implies E(5; 12)$.
- Điểm $F$ nằm trên đoạn $CD$, cách $C$ một khoảng $CF = 6\text{ m}$, do đó $x_F = 15$ và $y_F = 6 \implies F(15; 6)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $EF$ là:
$$\overrightarrow{EF} = (15 - 5; 6 - 12) = (10; -6) = 2(5; -3).$$Chọn vectơ pháp tuyến của đường thẳng $EF$ là $\vec{n}_{EF} = (3; 5)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $EF$ đi qua $E(5; 12)$ là:
$$3(x - 5) + 5(y - 12) = 0 \iff 3x + 5y - 75 = 0.$$b) Xét khả năng lưỡi câu rơi vào khu vực nuôi vịt:
Khu vực nuôi vịt là phần tam giác $DEF$, nằm phía bên kia đường thẳng ranh giới $EF$ so với vị trí đứng câu $B(0; 0)$.
Khoảng cách ngắn nhất từ vị trí $B$ đến khu nuôi vịt chính là khoảng cách từ điểm $B(0; 0)$ đến đường thẳng $EF$:
$$d(B, EF) = \dfrac{|3\cdot 0 + 5\cdot 0 - 75|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \dfrac{75}{\sqrt{34}} \approx 12{,}86\text{ m}.$$Vì khoảng cách ngắn nhất từ $B$ đến đường thẳng $EF$ là khoảng $12{,}86\text{ m}$, trong khi Nam chỉ có thể quăng lưỡi câu xa tối đa $10{,}7\text{ m}$ ($10{,}7 < 12{,}86$), nên lưỡi câu không thể chạm tới đường thẳng $EF$.
Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.
Hình 7.12 được chụp lại từ một màn hình máy tính đang sử dụng phần mềm vẽ hình GeoGebra:
- Chọn chức năng vẽ điểm, sau đó, nháy chuột vào ba điểm $A, B, C$ trên cửa sổ màn hình, phần mềm tự động xác định toạ độ của ba điểm đó là $A(2; 4), B(-4; 1), C(3; -2)$.
- Chọn chức năng vẽ đường thẳng đi qua hai điểm, sau đó, nháy vào hai điểm $A, B$ ta được đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$; phần mềm tự động xác định được phương trình của đường thẳng là $x - 2y + 6 = 0$.
- Chọn chức năng tính khoảng cách, sau đó, nháy vào điểm $C$ và đường thẳng $AB$, phần mềm sẽ tự động cho ta khoảng cách từ $C$ tới đường thẳng đó là $5{,}81$.
- Vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\vec{n}_1(3\sqrt{2}; \sqrt{2})$, của $\Delta_2$ là $\vec{n}_2(6; 2)$.
- Ta có: $$\vec{n}_2 = (6; 2) = \sqrt{2}(3\sqrt{2}; \sqrt{2}) = \sqrt{2}\vec{n}_1.$$ - Xét hệ số tự do: $-\sqrt{6} = \sqrt{2}(-\sqrt{3})$.
- Nhân cả hai vế phương trình của đường thẳng $\Delta_1$ với $\sqrt{2}$, ta được: $$\sqrt{2}(3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - \sqrt{3}) = 0 \iff 6x + 2y - \sqrt{6} = 0.$$ Phương trình này hoàn toàn trùng với phương trình của $\Delta_2$.
Vậy $\Delta_1$ trùng $\Delta_2$.
- Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\vec{n}_1(1; -\sqrt{3})$, của $d_2$ là $\vec{n}_2(\sqrt{3}; -3)$.
- Ta thấy: $$\dfrac{\sqrt{3}}{1} = \dfrac{-3}{-\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies \vec{n}_2 = \sqrt{3}\vec{n}_1.$$ Do hai vectơ pháp tuyến cùng phương nên $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau.
- Lấy điểm $M(-2; 0) \in d_1$. Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của $d_2$: $$\sqrt{3}(-2) - 3\cdot 0 + 2 = 2 - 2\sqrt{3} \ne 0 \implies M \notin d_2.$$ Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.
- Đường thẳng $m_1$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(1; -2)$.
- Đường thẳng $m_2$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2(3; 1)$.
- Ta thấy $\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{-2}{1}$ nên hai vectơ $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ không cùng phương. Do đó hai đường thẳng $m_1$ và $m_2$ cắt nhau.
- Toạ độ giao điểm của $m_1$ và $m_2$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 3x + y - 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 6x + 2y = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} 7x = 3 \\ y = 2 - 3x \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{3}{7} \\ y = \dfrac{5}{7}. \end{cases}$$ Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $M\left(\dfrac{3}{7}; \dfrac{5}{7}\right)$.
- Đường thẳng $\Delta_1$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_1(\sqrt{3}; 1)$.
- Đường thẳng $\Delta_2$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_2(1; \sqrt{3})$.
- Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Ta có: $$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} = \dfrac{|\sqrt{3}\cdot 1 + 1\cdot\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}\cdot\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$ - Do $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ và $\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\varphi = 30^\circ$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $30^\circ$.
- Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1(2; 4)$.
- Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2(1; -3)$.
- Ta có: $$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2\cdot 1 + 4\cdot(-3) = 2 - 12 = -10.$$ $$|\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \quad |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}.$$ - Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$: $$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot|\vec{u}_2|} = \dfrac{|-10|}{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \dfrac{10}{2\sqrt{50}} = \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$ - Do đó $\varphi = 45^\circ$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $45^\circ$.
- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $A(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$: $$d(A, \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$ - Với $A(0; -2)$ và $\Delta: x + y - 4 = 0$, ta có: $$d(A, \Delta) = \dfrac{|1\cdot 0 + 1\cdot(-2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{|-6|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.$$ Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là $3\sqrt{2}$.
- Vì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $\Delta: x + y - 4 = 0$ nên phương trình đường thẳng $a$ có dạng: $$x + y + C = 0 \quad (C \ne -4).$$ - Mặt khác, $a$ đi qua điểm $M(-1; 0)$ nên toạ độ $M$ thoả mãn phương trình: $$-1 + 0 + C = 0 \iff C = 1 \text{ (thoả mãn điều kiện } C \ne -4\text{)}.$$ Vậy phương trình của đường thẳng $a$ là $x + y + 1 = 0$.
- Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_\Delta(1; 1)$.
- Vì đường thẳng $b$ vuông góc với $\Delta$ nên vectơ pháp tuyến của $\Delta$ đóng vai trò là vectơ chỉ phương của $b$, tức $\vec{u}_b = (1; 1)$.
- Từ đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $b$ là $\vec{n}_b = (1; -1)$.
- Đường thẳng $b$ đi qua $N(0; 3)$ và có VTPT $\vec{n}_b(1; -1)$ có phương trình: $$1(x - 0) - 1(y - 3) = 0 \iff x - y + 3 = 0.$$ Vậy phương trình của đường thẳng $b$ là $x - y + 3 = 0$.
- Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$: $h_A = d(A, BC)$.
- Ta tìm phương trình đường thẳng $BC$:
+ Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{BC} = (-2 - 3; -1 - 2) = (-5; -3) = -(5; 3)$.
+ Chọn một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $BC$ là $\vec{n}_{BC} = (3; -5)$ (vì $\vec{n}_{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = 3(-5) + (-5)(-3) = 0$).
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(3; 2)$ là: $$3(x - 3) - 5(y - 2) = 0 \iff 3x - 5y + 1 = 0.$$ - Tính khoảng cách từ $A(1; 0)$ đến đường thẳng $BC$: $$h_A = d(A, BC) = \dfrac{|3\cdot 1 - 5\cdot 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-5)^2}} = \dfrac{|4|}{\sqrt{9 + 25}} = \dfrac{4}{\sqrt{34}} = \dfrac{4\sqrt{34}}{34} = \dfrac{2\sqrt{34}}{17}.$$ Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ là $\dfrac{2\sqrt{34}}{17}$.
- Độ dài cạnh đáy $BC$: $$BC = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}.$$ - Ở câu a, độ dài đường cao kẻ từ $A$ ứng với cạnh đáy $BC$ là: $$h_A = \dfrac{4}{\sqrt{34}}.$$ - Diện tích tam giác $ABC$ là: $$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot h_A \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34} = 2.$$ Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $2$.
- Viết lại phương trình hai đường thẳng dưới dạng tổng quát: $$d: ax - y + b = 0 \implies \text{vectơ pháp tuyến } \vec{n}_1(a; -1).$$ $$d': a'x - y + b' = 0 \implies \text{vectơ pháp tuyến } \vec{n}_2(a'; -1).$$ - Hai đường thẳng $d$ và $d'$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ vuông góc với nhau: $$d \perp d' \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0.$$ - Tính tích vô hướng: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = a\cdot a' + (-1)\cdot(-1) = aa' + 1.$$ - Do đó: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff aa' + 1 = 0 \iff aa' = -1.$$ Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi $aa' = -1$.
- Giả sử vị trí phát tín hiệu âm thanh là điểm $M(x; y)$.
- Vì tín hiệu âm thanh truyền đi đều trong không gian với vận tốc không đổi và được ba thiết bị ghi tại $O, A, B$ nhận được cùng một thời điểm, nên khoảng cách từ vị trí phát $M$ đến ba điểm $O, A, B$ phải bằng nhau: $$MO = MA = MB.$$ Như vậy, điểm $M$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $OAB$.
- Ta có hệ phương trình: $$\begin{cases} MO^2 = MA^2 \\ MA^2 = MB^2 \end{cases}$$ - Với $MO^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$,
$MA^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$,
$MB^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2$.
- Thay vào hệ: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 \\ (x - 1)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 \end{cases}$$ $$\iff \begin{cases} x^2 = x^2 - 2x + 1 \\ y^2 = y^2 - 6y + 9 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x - 1 = 0 \\ 6y - 9 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \\ y = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}. \end{cases}$$ Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là điểm $M\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right)$.