Chuyên đề 10: Phương trình và Bất phương trình vô tỷ

Hướng dẫn giải: Phân tích chi tiết từng khẳng định: • (1) Sai: Nếu các giá trị càng tập trung quanh số trung bình thì các độ lệch \(|x_i - \\overline{x}|\) càng nhỏ, dẫn đến độ lệch chuẩn \(s\) càng nhỏ (không phải càng lớn). • (2) Đúng: Khoảng biến thiên \(R = x_{\\max} - x_{\\min}\) chỉ dùng thông tin 2 giá trị cực trị, bỏ qua tất cả các giá trị còn lại. • (3) Sai: Khoảng tứ phân vị \(\\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) chỉ phụ thuộc vào tứ phân vị thứ nhất và thứ ba, không sử dụng giá trị lớn nhất và bé nhất. • (4) Sai: Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp (không phải nửa dưới). • (5) Đúng: Khoảng biến thiên \(R \\ge 0\), khoảng tứ phân vị \(\\Delta_Q \\ge 0\), phương sai \(s^2 \\ge 0\), độ lệch chuẩn \(s \\ge 0\) đều là các đại lượng không âm. Vậy kết quả là: (1) Sai; (2) Đúng; (3) Sai; (4) Sai; (5) Đúng.

Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa: Đại lượng \(y\) được gọi là hàm số của đại lượng \(x\) nếu với mỗi giá trị của \(x\) thuộc tập xác định, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của \(y\). Xét từng trường hợp: • a) \(x + y = 1 \iff y = 1 - x\): Với mỗi giá trị của \(x\), ta luôn tính được duy nhất một giá trị \(y = 1 - x\). Do đó, \(y\) là hàm số của \(x\). • b) \(y = x^2\): Với mỗi giá trị của \(x\), ta luôn tính được duy nhất một giá trị \(y = x^2\). Do đó, \(y\) là hàm số của \(x\). • c) \(y^2 = x\): Với mỗi giá trị \(x > 0\), ta tìm được hai giá trị phân biệt của \(y\) là \(y = \sqrt{x}\) và \(y = -\sqrt{x}\) (chẳng hạn với \(x = 4\) thì \(y = 2\) hoặc \(y = -2\)). Do đó, \(y\) không phải là hàm số của \(x\). • d) \(x^2 - y^2 = 0 \iff y^2 = x^2 \iff y = x\) hoặc \(y = -x\): Với mỗi giá trị \(x \ne 0\), ta nhận được hai giá trị phân biệt của \(y\) (chẳng hạn với \(x = 1\) thì \(y = 1\) hoặc \(y = -1\)). Do đó, \(y\) không phải là hàm số của \(x\). Vậy các trường hợp \(y\) là hàm số của \(x\) là a) và b).

Hướng dẫn giải: Phân tích không cần tính toán: a) • Giá trị nhỏ nhất ở cả hai mẫu đều là 3, giá trị lớn nhất đều là 9. Do đó hai mẫu có cùng khoảng biến thiên: \(R = 9 - 3 = 6\). • Hai biểu đồ chấm đều phân bố đối xứng qua giá trị 6, do đó số trung bình của hai mẫu số liệu là như nhau và đều bằng 6 (\(\\overline{x}_A = \\overline{x}_B = 6\)). b) • Ở mẫu số liệu B, các chấm tập trung dày đặc xung quanh số trung bình (các giá trị 5, 6, 7 chiếm tới 12 trong tổng số 14 chấm), chỉ có 2 chấm ở biên (3 và 9). • Ở mẫu số liệu A, các chấm phân bố đều hơn trải rộng từ 3 đến 9 (mỗi điểm đều có 2 chấm, riêng 6 có 3 chấm). • Do đó, độ phân tán của mẫu A lớn hơn mẫu B, dẫn đến mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn mẫu B.

Hướng dẫn giải: Phân tích theo định nghĩa hàm số: 1. Đại lượng nhiệt độ \(T\) phụ thuộc vào thời điểm \(t\) sao cho với mỗi thời điểm \(t\) chỉ có duy nhất một giá trị nhiệt độ \(T\) tương ứng. Do đó, \(T\) là hàm số của \(t\). 2. Tập xác định \(D\) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số \(t\): $$D = \{7; 9; 11; 13; 15\}.$$ 3. Tập giá trị là tập hợp tất cả các giá trị nhận được của hàm số \(T\) (các phần tử trùng nhau chỉ liệt kê một lần trong tập hợp): $$\text{Tập giá trị} = \{22; 25; 28; 30\}.$$ Do đó phương án đúng là A.

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết: Giả sử mẫu số liệu ban đầu là \(x_1 \\le x_2 \\le \\dots \\le x_{10}\). a) Khi nhân mỗi giá trị với 2, ta được mẫu mới \(y_i = 2x_i\): • \(y_{\\max} - y_{\\min} = 2x_{\\max} - 2x_{\\min} = 2(x_{\\max} - x_{\\min}) = 2R\) \(\\implies\) Khoảng biến thiên tăng gấp 2 lần. • Các tứ phân vị mới \(Q'_{1} = 2Q_1, Q'_{3} = 2Q_3 \\implies \\Delta'_Q = 2(Q_3 - Q_1) = 2\\Delta_Q\) \(\\implies\) Khoảng tứ phân vị tăng gấp 2 lần. • Số trung bình mới \(\\overline{y} = 2\\overline{x}\\). Độ lệch mới \(y_i - \\overline{y} = 2(x_i - \\overline{x}) \\implies (y_i - \\overline{y})^2 = 4(x_i - \\overline{x})^2\). Phương sai mới tăng 4 lần \(\\implies s'_y = \\sqrt{4s^2} = 2s\) \(\\implies\) Độ lệch chuẩn tăng gấp 2 lần. b) Khi cộng mỗi giá trị với 2, ta được mẫu mới \(z_i = x_i + 2\): • \(z_{\\max} - z_{\\min} = (x_{\\max} + 2) - (x_{\\min} + 2) = x_{\\max} - x_{\\min} = R\) \(\\implies\) Khoảng biến thiên không đổi. • Các tứ phân vị mới \(Q''_{1} = Q_1 + 2, Q''_{3} = Q_3 + 2 \\implies \\Delta''_Q = (Q_3 + 2) - (Q_1 + 2) = \\Delta_Q\) \(\\implies\) Khoảng tứ phân vị không đổi. • Số trung bình mới \(\\overline{z} = \\overline{x} + 2\). Độ lệch mới \(z_i - \\overline{z} = (x_i + 2) - (\\overline{x} + 2) = x_i - \\overline{x}\). Do đó phương sai và độ lệch chuẩn không đổi.

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết từng câu: • a) \(y = 2x^3 + 3x + 1\): Biểu thức là đa thức, có nghĩa với mọi số thực \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập xác định là: \(D = \mathbb{R}\). • b) \(y = \frac{x - 1}{x^2 - 3x + 2}\): Hàm số xác định khi mẫu thức khác 0: $$x^2 - 3x + 2 \ne 0 \iff (x - 1)(x - 2) \ne 0 \iff \begin{cases} x \ne 1 \\ x \ne 2 \end{cases}$$ Vậy tập xác định là: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}\). (Lưu ý: Mặc dù phân thức có thể rút gọn thành \(\frac{1}{x - 2}\) khi \(x \ne 1\), nhưng theo định nghĩa tập xác định của hàm số phân thức, điều kiện phải được xét trên biểu thức nguyên bản ban đầu). • c) \(y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}\): Hàm số xác định khi các biểu thức dưới dấu căn bậc hai không âm: $$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 1 \end{cases} \iff -1 \le x \le 1.$$ Vậy tập xác định là: \(D = [-1; 1]\).

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết: a) Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1 = 36\) chia mẫu số liệu thành hai phần: 25% số liệu nhỏ hơn 36 và 75% số liệu lớn hơn 36. Do đó, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là 75% (khoảng 3/4 số thành phố). b) Khoảng từ \(Q_1\) đến \(Q_3\) chứa đúng 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp. Do đó, hai giá trị cần tìm là 36 và 100. c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: $$\\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 100 - 36 = 64.$$

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết: • a) Đối với hàm số \(y = 2x + 3\): - Biểu thức \(2x + 3\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\). - Với mỗi số thực \(y_0\) bất kì, ta luôn tìm được số thực \(x_0 = \frac{y_0 - 3}{2}\) sao cho \(2x_0 + 3 = y_0\). Do đó, hàm số nhận mọi giá trị thực, tức là tập giá trị là \(T = \mathbb{R}\). • b) Đối với hàm số \(y = 2x^2\): - Biểu thức \(2x^2\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\). - Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta luôn có \(x^2 \ge 0 \implies 2x^2 \ge 0\), tức là \(y \ge 0\). Mặt khác, với mỗi số thực \(y_0 \ge 0\) bất kì, luôn tồn tại \(x_0 = \sqrt{\frac{y_0}{2}}\) để \(2x_0^2 = y_0\). Do đó, tập giá trị của hàm số là: \(T = [0; +\infty)\).

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết từng bước: 1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (\(n = 10\)): 2,593   2,977   3,155   3,270   3,387   3,412   3,813   3,920   4,042   4,236. 2. Khoảng biến thiên: $$R = x_{\\max} - x_{\\min} = 4,236 - 2,593 = 1,643\\text{ (kg)}.$$ 3. Tứ phân vị và khoảng tứ phân vị: • Trung vị: \(Q_2 = (3,387 + 3,412) : 2 = 3,3995\\text{ (kg)}\). • Nửa số liệu bên trái gồm 5 giá trị: 2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387 \(\\implies Q_1 = 3,155\\text{ (kg)}\). • Nửa số liệu bên phải gồm 5 giá trị: 3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236 \(\\implies Q_3 = 3,920\\text{ (kg)}\). • Khoảng tứ phân vị: $$\\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 3,920 - 3,155 = 0,765\\text{ (kg)}.$$ 4. Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn: • Số trung bình: $$\\overline{x} = \\frac{2,593 + 2,977 + 3,155 + 3,270 + 3,387 + 3,412 + 3,813 + 3,920 + 4,042 + 4,236}{10} = \\frac{34,805}{10} = 3,4805\\text{ (kg)}.$$ • Tổng bình phương các độ lệch: $$\\sum_{i=1}^{10} (x_i - \\overline{x})^2 \\approx 2,3946425.$$ • Phương sai: $$s^2 = \\frac{2,3946425}{10} \\approx 0,23946425\\text{ (kg}^2\\text{)}.$$ • Độ lệch chuẩn: $$s = \\sqrt{s^2} = \\sqrt{0,23946425} \\approx 0,48935\\text{ (kg)} \\approx 0,489\\text{ (kg)}.$$ *(Nếu tính theo công thức hiệu chỉnh: \\(\\hat{s}^2 = \\frac{2,3946425}{9} \\approx 0,2661 \\implies \\hat{s} \\approx 0,516\\text{ kg}\\)).

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết: • a) Hàm số \(y = -2x + 1\): - Đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm \((0; 1)\) và \((1; -1)\). - Hệ số góc \(a = -2 < 0\), đồ thị luôn là một đường "đi xuống" từ trái sang phải. - Hoặc chứng minh bằng định nghĩa: Với \(x_1 < x_2\), ta có: $$-2x_1 > -2x_2 \implies -2x_1 + 1 > -2x_2 + 1 \implies f(x_1) > f(x_2).$$ Vậy hàm số \(y = -2x + 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). • b) Hàm số \(y = -\frac{1}{2}x^2\): - Đồ thị là parabol đỉnh \(O(0; 0)\), bề lõm quay xuống dưới, trục đối xứng là trục tung \(Oy\). - Trên khoảng \((-\infty; 0)\): Đồ thị "đi lên" từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 0)\). (Chứng minh: Với \(x_1 < x_2 < 0 \implies x_1^2 > x_2^2 \implies -\frac{1}{2}x_1^2 < -\frac{1}{2}x_2^2 \implies f(x_1) < f(x_2)\)). - Trên khoảng \((0; +\infty)\): Đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; +\infty)\). (Chứng minh: Với \(0 < x_1 < x_2 \implies x_1^2 < x_2^2 \implies -\frac{1}{2}x_1^2 > -\frac{1}{2}x_2^2 \implies f(x_1) > f(x_2)\)).

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết từng bước: 1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (\(n = 15\)): 3,2   3,6   4,4   4,5   5,0   5,4   6,0   6,7   7,0   7,2   7,7   7,8   8,4   8,6   8,7. 2. Tìm các tứ phân vị: • Vì \(n = 15\) là số lẻ nên trung vị là giá trị ở vị trí thứ 8: $$Q_2 = 6,7.$$ • Nửa số liệu bên trái (gồm 7 giá trị): 3,2; 3,6; 4,4; 4,5; 5,0; 5,4; 6,0. Tứ phân vị thứ nhất là giá trị ở vị trí thứ 4: $$Q_1 = 4,5.$$ • Nửa số liệu bên phải (gồm 7 giá trị): 7,0; 7,2; 7,7; 7,8; 8,4; 8,6; 8,7. Tứ phân vị thứ ba là giá trị ở vị trí thứ 4: $$Q_3 = 7,8.$$ 3. Khoảng tứ phân vị: $$\\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 7,8 - 4,5 = 3,3.$$ 4. Xác định các ngưỡng bất thường: • Ngưỡng dưới: $$Q_1 - 1,5 \\cdot \\Delta_Q = 4,5 - 1,5 \\cdot 3,3 = 4,5 - 4,95 = -0,45.$$ • Ngưỡng trên: $$Q_3 + 1,5 \\cdot \\Delta_Q = 7,8 + 1,5 \\cdot 3,3 = 7,8 + 4,95 = 12,75.$$ 5. Kết luận: Tất cả 15 giá trị trong mẫu số liệu đều nằm trong đoạn \([-0,45; 12,75]\) (vì \(3,2 > -0,45\) và \(8,7 < 12,75\)). Do đó, mẫu số liệu trên không có giá trị bất thường nào.

Hướng dẫn giải: Lời giải chi tiết từng bước: a) Thiết lập công thức hàm số \(T(x)\) (đơn vị triệu đồng): Số ngày thuê xe \(x\) nhận các giá trị nguyên dương (\(x \in \mathbb{N}^*\)): • Với \(x \in \{1; 2\}\) (thuê trong 2 ngày đầu): mỗi ngày giá 1,2 triệu đồng nên: $$T(x) = 1,2x\text{ (triệu đồng)}.$$ • Với \(x > 2\) (\(x \in \mathbb{N}^*\)): Tiền thuê gồm 2 ngày đầu (giá \(1,2 \times 2 = 2,4\) triệu đồng) và \(x - 2\) ngày tiếp theo (mỗi ngày giá 0,9 triệu đồng): $$T(x) = 2,4 + 0,9(x - 2) = 2,4 + 0,9x - 1,8 = 0,9x + 0,6\text{ (triệu đồng)}.$$ Vậy công thức hàm số là: $$T(x) = \begin{cases} 1,2x & \text{nếu } x \in \{1; 2\} \\ 0,9x + 0,6 & \text{nếu } x > 2, x \in \mathbb{N}^*. \end{cases}$$ b) Tính các giá trị và nêu ý nghĩa: • \(T(2) = 1,2 \times 2 = \mathbf{2,4}\text{ (triệu đồng)} = 2\,400\,000\text{ đồng}\). Ý nghĩa: Số tiền khách phải trả khi thuê xe trong 2 ngày. • \(T(3) = 0,9 \times 3 + 0,6 = \mathbf{3,3}\text{ (triệu đồng)} = 3\,300\,000\text{ đồng}\). Ý nghĩa: Số tiền khách phải trả khi thuê xe trong 3 ngày. • \(T(5) = 0,9 \times 5 + 0,6 = \mathbf{5,1}\text{ (triệu đồng)} = 5\,100\,000\text{ đồng}\). Ý nghĩa: Số tiền khách phải trả khi thuê xe trong 5 ngày.