Lý thuyết Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng toạ độ
Hệ trục toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ và của điểm, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm, toạ độ trung điểm và trọng tâm tam giác.
BÀI 10: VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
Hệ trục toạ độ, toạ độ của vectơ và điểm, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, khoảng cách, trung điểm và trọng tâm tam giác.
THUẬT NGỮ & KIẾN THỨC, KĨ NĂNG (SGK TRANG 60)
- Thuật ngữ: Mặt phẳng toạ độ, Toạ độ của vectơ.
- Nhận biết toạ độ của vectơ: Đối với hệ trục toạ độ và thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ.
- Mối quan hệ giữa các vectơ: Thông qua toạ độ của chúng (bằng nhau, cùng phương).
- Ứng dụng thực tiễn: Vận dụng toạ độ vectơ vào bài toán xác định vị trí của vật trên mặt phẳng toạ độ (theo dõi tâm bão, chuyển động của tàu thuỷ,...).
Bài toán theo dõi đường đi của bão
Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ (Hình 4.31). Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có toạ độ $(13,8;\; 108,3)$ đến vị trí có toạ độ $(14,1;\; 106,3)$.
Trong bài học này, ta gắn cho mỗi vectơ trên mặt phẳng toạ độ một cặp số để có thể làm việc với vectơ thông qua cặp số đó.
1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ
Hoạt động 1 (HĐ1 - SGK trang 60)
Trên trục số $Ox$, gọi $A$ là điểm biểu diễn số $1$ và đặt $\vec{i} = \overrightarrow{OA}$ (H.4.32a). Gọi $M, N$ lần lượt là các điểm biểu diễn số $4$ và $-\frac{3}{2}$. Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo vectơ $\vec{i}$.
- Điểm $M$ biểu diễn số $4$, điểm $M$ cùng phía với $A$ so với gốc $O$ và $OM = 4OA = 4$, do đó: $\overrightarrow{OM} = 4\vec{i}$.
- Điểm $N$ biểu diễn số $-\frac{3}{2}$, điểm $N$ nằm ngược phía với $A$ so với gốc $O$ và độ dài đoạn $ON = \frac{3}{2}$, do đó: $\overrightarrow{ON} = -\frac{3}{2}\vec{i}$.
Trục toạ độ (Trục số)
Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm $O$ và một vectơ $\vec{i}$ có độ dài bằng $1$.
- Điểm $O$ gọi là gốc toạ độ.
- Vectơ $\vec{i}$ gọi là vectơ đơn vị của trục.
- Điểm $M$ trên trục biểu diễn số $x_0$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = x_0\vec{i}$ (H.4.32b).
Hoạt động 2 (HĐ2 - SGK trang 61)
Trong Hình 4.33:
- Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
- Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$, từ đó biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
- Chiếu điểm $M(3; 5)$ lên các trục toạ độ: trên trục $Ox$ ta có điểm $3$ ứng với vectơ $3\vec{i}$, trên trục $Oy$ ta có điểm $5$ ứng với vectơ $5\vec{j}$. Theo quy tắc hình bình hành: $$\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} + 5\vec{j}.$$ Tương tự, với điểm $N\left(-2; \frac{5}{2}\right)$: hình chiếu trên $Ox$ ứng với $-2\vec{i}$, hình chiếu trên $Oy$ ứng với $\frac{5}{2}\vec{j}$. Do đó: $$\overrightarrow{ON} = -2\vec{i} + \frac{5}{2}\vec{j}.$$
- Theo quy tắc hiệu: $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \left(-2\vec{i} + \frac{5}{2}\vec{j}\right) - (3\vec{i} + 5\vec{j}) = (-2 - 3)\vec{i} + \left(\frac{5}{2} - 5\right)\vec{j} = -5\vec{i} - \frac{5}{2}\vec{j}.$$
Hệ trục toạ độ $Oxy$ & Toạ độ của một vectơ
Trên mặt phẳng với một đơn vị đo độ dài cho trước, xét hai trục $Ox, Oy$ có chung gốc $O$ và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục $Ox$ là $\vec{i}$, vectơ đơn vị của trục $Oy$ là $\vec{j}$.
- Hệ gồm hai trục $Ox, Oy$ như vậy được gọi là hệ trục toạ độ $Oxy$.
- Điểm $O$ gọi là gốc toạ độ, trục $Ox$ gọi là trục hoành, trục $Oy$ gọi là trục tung.
- Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ $Oxy$ gọi là mặt phẳng toạ độ $Oxy$ hay mặt phẳng $Oxy$ (H.4.34).
Định nghĩa toạ độ vectơ:
Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng $Oxy$, có duy nhất cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $$\vec{u} = x_0\vec{i} + y_0\vec{j}.$$ Ta nói vectơ $\vec{u}$ có toạ độ $(x_0; y_0)$ và viết $\vec{u} = (x_0; y_0)$ hay $\vec{u}(x_0; y_0)$. Các số $x_0, y_0$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$.
Nhận xét (Hai vectơ bằng nhau)
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ:
Ví dụ 1 (SGK trang 61)
Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}$ tương ứng của các trục $Ox, Oy$.
Vì $\vec{i} = 1\vec{i} + 0\vec{j}$ nên $\vec{i}$ có toạ độ là $(1; 0)$.
Vì $\vec{j} = 0\vec{i} + 1\vec{j}$ nên $\vec{j}$ có toạ độ là $(0; 1)$.
Luyện tập 1 (SGK trang 61)
Tìm toạ độ của $\vec{0}$.
Ta có $\vec{0} = 0\vec{i} + 0\vec{j}$ nên vectơ $\vec{0}$ có toạ độ là $(0; 0)$.
2. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Hoạt động 3 (HĐ3 - SGK trang 61)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{u} = (2; -3), \vec{v} = (4; 1), \vec{a} = (8; -12)$.
- Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
- Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}, 4\vec{u}$.
- Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{a}$.
- Theo định nghĩa toạ độ vectơ: $$\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j},\quad \vec{v} = 4\vec{i} + \vec{j},\quad \vec{a} = 8\vec{i} - 12\vec{j}.$$
- Cộng các vectơ theo thành phần: $$\vec{u} + \vec{v} = (2\vec{i} - 3\vec{j}) + (4\vec{i} + \vec{j}) = (2 + 4)\vec{i} + (-3 + 1)\vec{j} = 6\vec{i} - 2\vec{j} \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} = (6; -2).$$ Nhân vectơ với số thực: $$4\vec{u} = 4(2\vec{i} - 3\vec{j}) = 8\vec{i} - 12\vec{j} \Rightarrow 4\vec{u} = (8; -12).$$
- Vì $\vec{a} = 8\vec{i} - 12\vec{j} = 4\vec{u}$, nên $\vec{a} = 4\vec{u}$ (hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{u}$ cùng hướng và $|\vec{a}| = 4|\vec{u}|$).
Công thức toạ độ các phép toán vectơ
Cho hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$. Khi đó:
Ví dụ 2 (SGK trang 62)
Cho $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = \left(\frac{3}{2}; 3\right)$.
- Tìm toạ độ của $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - 2\vec{b}$.
- Hỏi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng phương hay không?
- Vì $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = \left(\frac{3}{2}; 3\right)$ nên: $$\vec{a} + \vec{b} = \left(1 + \frac{3}{2};\; 2 + 3\right) = \left(\frac{5}{2}; 5\right).$$ Ta có $2\vec{b} = (3; 6)$ nên: $$\vec{a} - 2\vec{b} = (1 - 3;\; 2 - 6) = (-2; -4).$$
- Do $\frac{3}{2}\vec{a} = \left(\frac{3}{2}; 3\right) = \vec{b}$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
Nhận xét (Điều kiện cùng phương)
Vectơ $\vec{v}(x'; y')$ cùng phương với vectơ $\vec{u}(x; y) \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho $$x' = kx,\quad y' = ky \quad \left(\text{hay là } \frac{x'}{x} = \frac{y'}{y} \text{ nếu } xy \neq 0\right).$$
3. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM
Hoạt động 4 (HĐ4 - SGK trang 62)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $M(x_0; y_0)$. Gọi $P, Q$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành $Ox$ và trục tung $Oy$ (H.4.35).
- Trên trục $Ox$, điểm $P$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OP}$ theo $\vec{i}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OP}$ theo $x_0$.
- Trên trục $Oy$, điểm $Q$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OQ}$ theo $\vec{j}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OQ}$ theo $y_0$.
- Dựa vào hình chữ nhật $OPMQ$, tính độ dài của $\overrightarrow{OM}$ theo $x_0, y_0$.
- Biểu thị $\overrightarrow{OM}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
- Điểm $P$ biểu diễn số $x_0$ trên trục $Ox$. Ta có $\overrightarrow{OP} = x_0\vec{i}$ và độ dài $|\overrightarrow{OP}| = |x_0|$.
- Điểm $Q$ biểu diễn số $y_0$ trên trục $Oy$. Ta có $\overrightarrow{OQ} = y_0\vec{j}$ và độ dài $|\overrightarrow{OQ}| = |y_0|$.
- Xét tam giác vuông $OPM$ (vuông tại $P$), áp dụng định lí Pythagore: $$OM = \sqrt{OP^2 + PM^2} = \sqrt{OP^2 + OQ^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}.$$ Do đó $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.
- Vì $OPMQ$ là hình chữ nhật (hoặc hình bình hành) nên theo quy tắc hình bình hành: $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = x_0\vec{i} + y_0\vec{j}.$$
Toạ độ của điểm & Độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$
Nếu điểm $M$ có toạ độ $(x; y)$ thì vectơ $\overrightarrow{OM}$ có toạ độ $(x; y)$ và độ dài: $$|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$
Nhận xét:
Với vectơ $\vec{u} = (x; y)$, ta lấy điểm $M(x; y)$ thì $\vec{u} = \overrightarrow{OM}$. Do đó: $$|\vec{u}| = |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$ Chẳng hạn, vectơ $\vec{u} = (2; -1)$ có độ dài là $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$.
Hoạt động 5 (HĐ5 - SGK trang 62 - 63)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M(x; y)$ và $N(x'; y')$.
- Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$.
- Biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ và tìm toạ độ của $\overrightarrow{MN}$.
- Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$.
- Theo định nghĩa toạ độ của điểm: $\overrightarrow{OM} = (x; y)$ và $\overrightarrow{ON} = (x'; y')$.
- Theo quy tắc hiệu: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$. Áp dụng biểu thức toạ độ phép trừ: $$\overrightarrow{MN} = (x' - x;\; y' - y).$$
- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$ chính là khoảng cách giữa hai điểm $M, N$: $$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2}.$$
Toạ độ vectơ nối hai điểm & Khoảng cách giữa hai điểm
Với hai điểm $M(x; y)$ và $N(x'; y')$ thì: $$\overrightarrow{MN} = (x' - x;\; y' - y)$$ và khoảng cách giữa hai điểm $M, N$ là: $$MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2}.$$
Ví dụ 3 (SGK trang 63)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; -2), B(3; 2), C(7; 4)$.
- Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}$. So sánh các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$.
- Ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng hay không?
- Tìm điểm $D(x; y)$ để $ABCD$ là một hình thoi.
- Ta có: $$\overrightarrow{AB} = (3 - 1;\; 2 - (-2)) = (2; 4), \quad \overrightarrow{BC} = (7 - 3;\; 4 - 2) = (4; 2).$$ Các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$ lần lượt là: $$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}; \quad BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}.$$ Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
- Hai vectơ $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$ và $\overrightarrow{BC} = (4; 2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4} \neq \frac{4}{2}$). Do đó các điểm $A, B, C$ không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
- Các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng và $BA = BC$ nên $ABCD$ là một hình thoi khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (Hình 4.36).
Do $\overrightarrow{AD} = (x - 1;\; y + 2)$ và $\overrightarrow{BC} = (4; 2)$ nên: $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \begin{cases} x - 1 = 4 \\ y + 2 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 0 \end{cases}$$ Vậy điểm cần tìm là $D(5; 0)$.Hình 4.36. Hình thoi $ABCD$ với $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$
Luyện tập 2 (SGK trang 63)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2; 1), B(3; 3)$.
- Các điểm $O, A, B$ có thẳng hàng hay không?
- Tìm điểm $M(x; y)$ để $OABM$ là một hình bình hành.
- Ta có $\overrightarrow{OA} = (2; 1)$ và $\overrightarrow{OB} = (3; 3)$.
Vì $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ không cùng phương. Do đó ba điểm $O, A, B$ không thẳng hàng. - Tứ giác $OABM$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB}$ (hoặc $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MB}$).
Ta có $\overrightarrow{AB} = (3 - 2;\; 3 - 1) = (1; 2)$.
Mặt khác $\overrightarrow{OM} = (x - 0;\; y - 0) = (x; y)$.
Do đó: $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$$ Vậy điểm cần tìm là $M(1; 2)$.
Ví dụ 4 (SGK trang 63 - 64)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng: $A(1; 3), B(-2; 6), C(5; 1)$.
- Tìm toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$.
- Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
- (H.4.37) Điểm $I(x; y)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ (*).
Mặt khác $\overrightarrow{IA} = (1 - x;\; 3 - y)$, $\overrightarrow{IB} = (-2 - x;\; 6 - y)$, do đó: $$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = (-1 - 2x;\; 9 - 2y).$$ Do đó, (*) tương đương với: $$\begin{cases} -1 - 2x = 0 \\ 9 - 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{1}{2} \\ y = \frac{9}{2} \end{cases}$$ Vậy $I\left(-\frac{1}{2};\; \frac{9}{2}\right)$.Hình 4.37. Trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$
- Điểm $G(x; y)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ (**).
Mặt khác: $$\overrightarrow{GA} = (1 - x;\; 3 - y), \quad \overrightarrow{GB} = (-2 - x;\; 6 - y), \quad \overrightarrow{GC} = (5 - x;\; 1 - y),$$ suy ra: $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (4 - 3x;\; 10 - 3y).$$ Do đó, (**) tương đương với: $$\begin{cases} 4 - 3x = 0 \\ 10 - 3y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y = \frac{10}{3} \end{cases}$$ Vậy $G\left(\frac{4}{3};\; \frac{10}{3}\right)$.
Chú ý: Công thức toạ độ trung điểm và trọng tâm (SGK trang 64)
Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có toạ độ là: $$M\left(\frac{x_A + x_B}{2};\; \frac{y_A + y_B}{2}\right).$$
Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ là: $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3};\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right).$$
Xác định vị trí tâm bão tại thời điểm 9 giờ (SGK trang 64)
Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí $M$ của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.
Gợi ý SGK:
Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ $A(13,8;\; 108,3)$ tới $B(14,1;\; 106,3)$. Gọi toạ độ của $M$ là $(x; y)$. Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ rồi thể hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để tìm $x; y$.
Vì tâm bão di chuyển thẳng đều từ $A$ đến $B$ trong 12 giờ nên sau 9 giờ, độ dài quãng đường tâm bão đã đi được bằng $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ quãng đường từ $A$ đến $B$.
Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và có mối liên hệ:
$$\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.$$
Ta có: $$\overrightarrow{AB} = (14,1 - 13,8;\; 106,3 - 108,3) = (0,3;\; -2).$$ Suy ra: $$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} = \left(\frac{3}{4} \cdot 0,3;\; \frac{3}{4} \cdot (-2)\right) = (0,225;\; -1,5).$$
Mặt khác: $\overrightarrow{AM} = (x - 13,8;\; y - 108,3)$.
Từ đó ta có hệ phương trình:
$$\begin{cases} x - 13,8 = 0,225 \\ y - 108,3 = -1,5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 14,025 \\ y = 106,8 \end{cases}$$
Vậy tại thời điểm 9 giờ, tâm bão có toạ độ là $M(14,025;\; 106,8)$ (tức là khoảng $14,025^\circ$ vĩ bắc và $106,8^\circ$ kinh đông).
Chú ý về phép chiếu bản đồ (SGK trang 64)
Để thể hiện một phần Trái Đất trên một bản đồ phẳng người ta dùng một phép chiếu bản đồ, với độ sai khác nhất định giữa bản vẽ và thực địa (thường được quy định với từng loại bản đồ). Về nguyên tắc, phạm vi thể hiện càng hẹp thì càng chính xác. Trong vận dụng này, ta chỉ tính toán trong phạm vi một đoạn đường đi ngắn của tâm bão.