Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Số trung bình, trung vị (Me), các tứ phân vị (Q1, Q2, Q3) và mốt (Mo) của mẫu số liệu không ghép nhóm.
- Số trung bình
- Trung vị
- Tứ phân vị
- Mốt
- Lựa chọn và tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của một mẫu số liệu: số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt.
- Giải thích ý nghĩa, vai trò của các số đặc trưng trong mẫu số liệu thực tiễn.
- Rút ra kết luận từ ý nghĩa của các số đặc trưng đo xu thế trung tâm.
Hai phương pháp học tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điểm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.
Quan sát hai mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không? Để làm được điều đó, người ta thường tính toán các số đặc trưng cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh.
Bài học này sẽ giới thiệu về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, tức là các số cho ta biết thông tin về vị trí trung tâm của mẫu số liệu và được dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.
1 Số trung bình và trung vị
a. Số trung bình
Từ mẫu số liệu về điểm số của hai lớp A, B trên, em hãy:
Điểm trung bình của Lớp A:
Tổng điểm của 25 học sinh lớp A là:
$$2+7+6+3+9+8+6+7+9+2+5+7+5+9+8+8+7+4+3+5+5+4+5+7+7 = 148$$
Điểm trung bình của lớp A là: $$\overline{x}_A = \frac{148}{25} = 5,92$$
Điểm trung bình của Lớp B:
Tổng điểm của 25 học sinh lớp B là:
$$6+7+6+4+7+9+3+8+7+5+5+6+8+7+4+5+3+10+7+9+6+7+6+7+5 = 157$$
Điểm trung bình của lớp B là: $$\overline{x}_B = \frac{157}{25} = 6,28$$
Vì điểm khảo sát trung bình của lớp B (6,28) cao hơn điểm khảo sát trung bình của lớp A (5,92) nên có thể nhận xét rằng phương pháp học tập áp dụng cho lớp B hiệu quả hơn.
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), kí hiệu là \(\overline{x}\), được tính bằng công thức:
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:
$$\overline{x} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n},$$
trong đó \(m_k\) là tần số của giá trị \(x_k\) và \(n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k\).
Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng bên. Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?
| Số cuốn sách | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Số bạn | 3 | 5 | 15 | 10 | 7 |
Giải
Số bạn trong lớp là \(n = 3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40\) (bạn).
Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là:
$$\frac{3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 15\cdot 3 + 10\cdot 4 + 7\cdot 5}{40} = 3,325\text{ (cuốn)}.$$
Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):
| Thời gian | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Số bạn | 5 | 7 | 10 | 8 | 6 |
Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.
Tổng số bạn trong lớp là: \(n = 5 + 7 + 10 + 8 + 6 = 36\) (bạn).
Thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp là:
$$\overline{x} = \frac{12\cdot 5 + 13\cdot 7 + 14\cdot 10 + 15\cdot 8 + 16\cdot 6}{36} = \frac{60 + 91 + 140 + 120 + 96}{36} = \frac{507}{36} = 14,0833\ldots \approx 14,08\text{ (giây)}.$$
b. Trung vị
Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập hằng tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của mỗi nhân viên là 4 triệu đồng.
a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.
b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty không?
a) Công ty có tổng cộng \(1 + 5 = 6\) người. Thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty là:
$$\overline{x} = \frac{20 + 5 \times 4}{6} = \frac{40}{6} \approx 6,67\text{ (triệu đồng)}.$$
b) Thu nhập trung bình 6,67 triệu đồng không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty, vì thực tế cả 5 nhân viên đều nhận mức lương 4 triệu đồng (thấp hơn nhiều so với 6,67 triệu đồng). Mức lương rất cao của giám đốc (20 triệu đồng) đã kéo số trung bình lên cao.
Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.
Để tìm trung vị (kí hiệu là \(M_e\)) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
- Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
- Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu về lương của giám đốc và nhân viên công ty được cho trong HĐ3.
Giải
Để tìm trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau:
• Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:
• Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4. Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 4.
Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3. Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá trị bất thường. Nếu ta thay lương của giám đốc là 30; 40; 50;... (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.
Ý nghĩa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Vì vậy, khi mẫu số liệu có giá trị bất thường người ta thường dùng trung vị đại diện cho các số liệu thống kê.
Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
• Số trung bình của mẫu số liệu là:
$$\overline{x} = \frac{31 + 48 + 51 + 52 + 53 + 53 + 112}{7} = \frac{400}{7} \approx 57,14\text{ (feet)}.$$
• Vì \(n = 7\) là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (giá trị thứ tư): \(M_e = 52\text{ (feet)}\).
• Trong hai số đó, trung vị \(M_e = 52\) phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi vì mẫu số liệu có giá trị 112 là giá trị bất thường (lớn vượt trội so với các con cá voi còn lại quanh khoảng 48 – 53 feet), làm cho số trung bình bị kéo lệch lên cao.
2 Tứ phân vị
Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:
Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh).
Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.
• Sắp xếp điểm số theo thứ tự không giảm:
Chia 12 thí sinh thành 4 nhóm bằng nhau (mỗi nhóm 3 thí sinh):
- Nhóm trao Giải Tư (3 bạn thấp điểm nhất): 58; 69; 69.
- Nhóm trao Giải Ba (3 bạn tiếp theo): 74; 75; 75.
- Nhóm trao Giải Nhì (3 bạn tiếp theo): 77; 81; 87.
- Nhóm trao Giải Nhất (3 bạn cao điểm nhất): 88; 92; 97.
Các điểm ngưỡng phân loại là:
- Ngưỡng giữa Giải Tư và Giải Ba: \(\frac{69 + 74}{2} = 71,5\).
- Ngưỡng giữa Giải Ba và Giải Nhì: \(\frac{75 + 77}{2} = 76\).
- Ngưỡng giữa Giải Nhì và Giải Nhất: \(\frac{87 + 88}{2} = 87,5\).
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có \(n\) giá trị, ta làm như sau:
- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
- Tìm trung vị. Giá trị này là \(Q_2\).
- Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ). Giá trị này là \(Q_1\).
- Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ). Giá trị này là \(Q_3\).
\(Q_1, Q_2, Q_3\) được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.
Chú ý. \(Q_1\) được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, \(Q_3\) được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.
Ý nghĩa. Các điểm \(Q_1, Q_2, Q_3\) chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị (H.5.3b).
Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, \(1\text{ mg} = 0,001\text{ g}\)) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:
Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gì?
Giải
• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
• Vì \(n = 20\) là số chẵn nên \(Q_2\) là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
$$Q_2 = (180 + 180) : 2 = 180.$$
• Ta tìm \(Q_1\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \(Q_2\):
và tìm được: $$Q_1 = (130 + 140) : 2 = 135.$$
• Ta tìm \(Q_3\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \(Q_2\):
và tìm được: $$Q_3 = (200 + 210) : 2 = 205.$$
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ \(Q_1\) đến \(Q_2\) là 45 trong khi khoảng cách từ \(Q_2\) đến \(Q_3\) là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của \(Q_2\) và mật độ thấp ở bên trái của \(Q_2\) (H.5.4).
Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:
| Số lần | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Số học sinh | 2 | 4 | 6 | 12 | 8 | 3 |
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Tổng số học sinh là: \(n = 2 + 4 + 6 + 12 + 8 + 3 = 35\).
Mẫu số liệu gồm 35 giá trị đã xếp theo thứ tự không giảm:
- Vì \(n = 35\) là số lẻ nên trung vị \(Q_2\) là giá trị thứ 18. Tần số tích lũy: đến giá trị 0 là 2; đến giá trị 1 là 6; đến giá trị 2 là 12; đến giá trị 3 là 24. Do giá trị thứ 18 rơi vào khoảng giá trị 3 nên \(Q_2 = 3\).
- Nửa số liệu bên trái \(Q_2\) gồm 17 giá trị (từ thứ 1 đến thứ 17). Trung vị của nửa này là giá trị thứ 9. Do giá trị thứ 9 rơi vào nhóm giá trị 2 (vì tích lũy đến 1 là 6, đến 2 là 12) nên \(Q_1 = 2\).
- Nửa số liệu bên phải \(Q_2\) gồm 17 giá trị (từ thứ 19 đến thứ 35). Trung vị của nửa này là giá trị thứ \(18 + 9 = 27\) của toàn bộ dãy số liệu. Tần số tích lũy đến giá trị 3 là 24, đến giá trị 4 là \(24 + 8 = 32\). Do giá trị thứ 27 rơi vào nhóm giá trị 4 nên \(Q_3 = 4\).
Vậy \(Q_1 = 2;\; Q_2 = 3;\; Q_3 = 4\).
3 Mốt
Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:
a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?
b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?
a) Thống kê tần số cỡ giày của 15 khách hàng: cỡ 38 có 3 người; cỡ 39 có 9 người; cỡ 40 có 2 người; cỡ 41 có 1 người.
Cỡ giày trung bình là:
$$\overline{x} = \frac{38\cdot 3 + 39\cdot 9 + 40\cdot 2 + 41\cdot 1}{15} = \frac{114 + 351 + 80 + 41}{15} = \frac{586}{15} \approx 39,07.$$
Số trung bình 39,07 không có nhiều ý nghĩa với cửa hàng vì không có hãng nào sản xuất cỡ giày 39,07.
b) Cỡ giày 39 xuất hiện với số lượng nhiều nhất (có 9 khách hàng đi cỡ 39). Do đó, cửa hàng nên nhập cỡ giày 39 với số lượng nhiều nhất.
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:
Tìm mốt cho mẫu số liệu này.
Giải
Vì số học sinh truy cập Internet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là 1.
-
Mốt có thể không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu:
8 7 10 9 7 5 7 8 8các số 7; 8 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (3 lần) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 7 và 8.
- Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.
-
Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ báo Tuổi trẻ đã thực hiện thăm dò ý kiến của bạn đọc với câu hỏi “Theo bạn, VFF nên chọn huấn luyện viên ngoại hay nội dẫn dắt đội tuyển bóng đá nam Việt Nam?”.
Tại thời điểm 21 giờ ngày 27-4-2021 kết quả bình chọn như sau:Trong mẫu dữ liệu này, lựa chọn “huấn luyện viên ngoại” có nhiều người bình chọn nhất, được gọi là mốt.Lựa chọn Huấn luyện viên nội Huấn luyện viên ngoại Ý kiến khác Số lượt bình chọn 1 897 3 781 747
Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điểm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
1. Mẫu số liệu của Lớp A (\(n = 25\)):
• Sắp xếp dãy điểm theo thứ tự không giảm:
- Số trung bình: \(\overline{x}_A = 5,92\).
- Trung vị \(Q_2\): Vì \(n = 25\) lẻ nên trung vị là số thứ 13, tức là \(M_e = Q_2 = 7\).
- Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): Trung vị của 12 số bên trái (từ thứ 1 đến thứ 12) là trung bình cộng của số thứ 6 (bằng 4) và thứ 7 (bằng 5): \(Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4,5\).
- Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\): Trung vị của 12 số bên phải (từ thứ 14 đến thứ 25) là trung bình cộng của số thứ 19 (bằng 8) và thứ 20 (bằng 8): \(Q_3 = \frac{8 + 8}{2} = 8\).
- Mốt: Điểm 7 xuất hiện nhiều nhất (6 lần) nên \(M_0 = 7\).
2. Mẫu số liệu của Lớp B (\(n = 25\)):
• Sắp xếp dãy điểm theo thứ tự không giảm:
- Số trung bình: \(\overline{x}_B = 6,28\).
- Trung vị \(Q_2\): Số thứ 13 là 7, tức là \(M_e = Q_2 = 7\).
- Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): Trung bình cộng của số thứ 6 (bằng 5) và thứ 7 (bằng 5): \(Q_1 = 5\).
- Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\): Trung bình cộng của số thứ 19 (bằng 8) và thứ 20 (bằng 8): \(Q_3 = 8\).
- Mốt: Điểm 7 xuất hiện nhiều nhất (6 lần) nên \(M_0 = 7\).
3. So sánh và kết luận:
Cả hai lớp đều có trung vị \(M_e = 7\), mốt \(M_0 = 7\) và tứ phân vị trên \(Q_3 = 8\). Tuy nhiên, lớp B có số trung bình (\(\overline{x}_B = 6,28 > \overline{x}_A = 5,92\)) và tứ phân vị dưới (\(Q_{1,B} = 5 > Q_{1,A} = 4,5\)) đều cao hơn lớp A. Điểm số của lớp B không có bạn nào dưới 3 điểm và có bạn đạt điểm 10. Điều này khẳng định rằng phương pháp học tập áp dụng cho lớp B mang lại kết quả tốt và đồng đều hơn lớp A.
John Graunt (1620 – 1674) là một nhà buôn người Anh. Ông được xem là người đầu tiên đưa ra suy luận về tổng thể dựa trên thông tin của một phần (mẫu).
Năm 1662, khi điều tra nhân khẩu, ông nhận ra rằng trung bình mỗi năm trong 11 gia đình có 3 người mất. Với giả thiết tỉ lệ này không đổi trong toàn bộ dân cư London và biết rằng trung bình trong một năm ở London có 13 000 người mất, ông đã ước lượng được số hộ gia đình ở London khoảng 48 000. Và với giả thiết trung bình mỗi gia đình có 8 người, ông ước lượng được dân số của London khoảng 384 000 người.
