Toán Lớp 10 Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng 4276 lượt xem

Lý thuyết Bài 15: Hàm số

Khái niệm hàm số, tập xác định, tập giá trị, đồ thị của hàm số, sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mô hình hoá bằng hàm số.

Thuật ngữ

Tập xác định
Tập giá trị
Đồ thị của hàm số
Hàm số đồng biến
Hàm số nghịch biến

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết những mô hình dẫn đến khái niệm hàm số.
Mô tả các khái niệm cơ bản về hàm số: định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, đồ thị của hàm số.
Mô tả dạng đồ thị của hàm số đồng biến, nghịch biến.
Vận dụng kiến thức của hàm số vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng hệ thống hoá các khái niệm cơ bản về hàm số và đồ thị của hàm số đã được học ở các lớp dưới; cách vẽ đồ thị của hàm số bậc hai; xét dấu của tam thức bậc hai và vận dụng để giải bất phương trình bậc hai, bài toán thực tiễn. Ta cũng xét các phương trình chứa căn thức đơn giản có thể quy về phương trình bậc hai.

Tình huống mở đầu: Hoá đơn tiền điện và mô hình hàm số

Quan sát hoá đơn tiền điện ở hình bên. Hãy cho biết tổng lượng điện tiêu thụ trong tháng và số tiền phải trả (chưa tính thuế giá trị gia tăng).

Có cách nào mô tả sự phụ thuộc của số tiền phải trả vào tổng lượng điện tiêu thụ hay không?

• Chỉ số cũ: $4\,334\text{ kW}$; Chỉ số mới: $4\,452\text{ kW}$.

• Lượng điện tiêu thụ (Số dùng): $4\,452 - 4\,334 = 118\text{ kW}$ (hay $\text{kWh}$).

• Tiền điện chưa tính thuế GTGT: $206\,852\text{ đồng}$.

• Tổng tiền thanh toán (kèm thuế GTGT 10%): $227\,537\text{ đồng}$.

Bài học này sẽ giúp chúng ta xây dựng khái niệm hàm số để mô tả chính xác sự phụ thuộc này.

1 Khái niệm hàm số

HĐ1. Nồng độ bụi PM 2.5 theo thời gian trong ngày

Bảng 6.1 cho biết nồng độ bụi PM 2.5 trong không khí theo thời gian trong ngày 25-3-2021 tại một trạm quan trắc ở Thủ đô Hà Nội:

Thời điểm (giờ)	0	4	8	12	16
Nồng độ bụi PM 2.5 ($\mu\text{g/m}^3$)	74,27	64,58	57,9	69,07	81,78

Bảng 6.1 (Theo moitruongthudo.vn)

a) Hãy cho biết nồng độ bụi PM 2.5 tại mỗi thời điểm 8 giờ, 12 giờ, 16 giờ.

b) Trong Bảng 6.1, mỗi thời điểm tương ứng với bao nhiêu giá trị của nồng độ bụi PM 2.5?

HĐ2. Quan sát biểu đồ mực nước biển trung bình tại Trường Sa

Quan sát Hình 6.1 và trả lời các câu hỏi:

a) Thời gian theo dõi mực nước biển ở Trường Sa được thể hiện trong hình từ năm nào đến năm nào?

b) Trong khoảng thời gian đó, năm nào mực nước biển trung bình tại Trường Sa cao nhất, thấp nhất?

Hình 6.1 Biểu đồ mực nước biển tại Trường Sa

HĐ3. Tính tiền điện theo bậc thang

Dưới đây là biểu giá bán lẻ điện sinh hoạt (Bảng 6.2) và thông tin về đơn vị đo điện năng tiêu thụ:

Mức điện tiêu thụ	Giá bán điện (đồng/kWh)
Bậc 1 (từ 0 đến 50 kWh)	1 678
Bậc 2 (từ trên 50 đến 100 kWh)	1 734
Bậc 3 (từ trên 100 đến 200 kWh)	2 014
Bậc 4 (từ trên 200 đến 300 kWh)	2 536
Bậc 5 (từ trên 300 đến 400 kWh)	2 834
Bậc 6 (từ trên 400 kWh trở lên)	2 927

Bảng 6.2 (Theo Tập đoàn Điện lực Việt Nam ngày 20-3-2019)

a) Dựa vào Bảng 6.2 về giá bán lẻ điện sinh hoạt, hãy tính số tiền phải trả ứng với mỗi lượng điện tiêu thụ ở Bảng 6.3:

Lượng điện tiêu thụ (kWh)	50	100	200
Số tiền (nghìn đồng)	?	?	?

Bảng 6.3

b) Gọi $x$ là lượng điện tiêu thụ (đơn vị kWh) và $y$ là số tiền phải trả tương ứng (đơn vị nghìn đồng). Hãy viết công thức mô tả sự phụ thuộc của $y$ vào $x$ khi $0 \le x \le 50$.

Trong HĐ1, nếu gọi $x$ là thời điểm và $y$ là nồng độ bụi PM 2.5 thì với mỗi giá trị của $x$, xác định được chỉ một giá trị tương ứng của $y$. Ta tìm thấy mối quan hệ phụ thuộc tương tự giữa các đại lượng trong HĐ2, HĐ3.

Giả sử có đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$, trong đó $x$ nhận giá trị thuộc tập hợp số $D$.

Nếu với mỗi giá trị của $x$ thuộc tập hợp số $D$ có một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thuộc tập số thực $\mathbb{R}$ thì ta có một hàm số.

Ta gọi $x$ là biến số và $y$ là hàm số của $x$.

Tập hợp $D$ gọi là tập xác định của hàm số.

Tập tất cả các giá trị $y$ nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

Ví dụ 1 Hàm số cho bằng bảng ở HĐ1

Trong HĐ1, nếu gọi $x$ là thời điểm, $y$ là nồng độ bụi PM 2.5 thì $x$ là biến số và $y$ là hàm số của $x$. Đó là hàm số được cho bằng bảng.

• Tập xác định của hàm số là: $D = \{0; 4; 8; 12; 16\}$.

• Tập giá trị của hàm số là: $\{74,27; 64,58; 57,9; 69,07; 81,78\}$.

Ví dụ 2 Hàm số mô tả quãng đường chuyển động thẳng đều

Viết hàm số mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $2\text{ m/s}$. Tìm tập xác định của hàm số đó. Tính quãng đường vật đi được sau $5\text{ s}$, $10\text{ s}$.

Giải

Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $v = 2\text{ m/s}$ thì quãng đường đi được $S$ (mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức $S = 2t$, trong đó $t$ là biến số, $S = S(t)$ là hàm số của $t$.

Tập xác định của hàm số là $D = [0; +\infty)$.

Quãng đường vật đi được sau $5\text{ s}$ là: $S_1 = S(5) = 2 \cdot 5 = 10\text{ (m)}$.

Quãng đường vật đi được sau $10\text{ s}$ là: $S_2 = S(10) = 2 \cdot 10 = 20\text{ (m)}$.

Chú ý. Khi cho hàm số bằng công thức $y = f(x)$ mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

Ví dụ 3 Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{2x - 4}$;

b) $y = \frac{1}{x - 1}$.

Giải

a) Biểu thức $\sqrt{2x - 4}$ có nghĩa khi $2x - 4 \ge 0$, tức là khi $x \ge 2$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = [2; +\infty)$.

b) Biểu thức $\frac{1}{x - 1}$ có nghĩa khi $x - 1 \ne 0$, tức là khi $x \ne 1$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Luyện tập 1 Xác định hàm số, tập xác định và tập giá trị

a) Hãy cho biết Bảng 6.4 có cho ta một hàm số hay không. Nếu có, tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.

Thời điểm (năm)	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Tuổi thọ trung bình của người Việt Nam (tuổi)	73,1	73,2	73,3	73,4	73,5	73,5

Bảng 6.4 (Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)

b) Trở lại HĐ2, ta có hàm số cho bằng biểu đồ. Hãy cho biết giá trị của hàm số tại $x = 2018$.

c) Cho hàm số $y = f(x) = -2x^2$. Tính $f(1)$; $f(2)$ và tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số này.

Nhận xét. Một hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng biểu đồ, bằng công thức hoặc mô tả bằng lời.

2 Đồ thị của hàm số

HĐ4. Quan sát đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x^2$

Quan sát Hình 6.2 và cho biết những điểm nào sau đây nằm trên đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{2}x^2$:

(0; 0), (2; 2), (-2; 2), (1; 2), (-1; 2).

Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ của những điểm nằm trên đồ thị.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x$ thuộc $D$.

Ví dụ 4 Vẽ đồ thị hàm số tiền điện bậc 1

Viết công thức của hàm số cho ở HĐ3b. Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị của hàm số này.

Giải

Công thức của hàm số cho ở HĐ3b là $y = 1,678x$ với $0 \le x \le 50$.

Tập xác định của hàm số này là $D = [0; 50]$.

Vì $0 \le x \le 50$ nên $0 \le y \le 1,678 \cdot 50 = 83,9$.

Vậy tập giá trị của hàm số là $[0; 83,9]$.

Đồ thị của hàm số $y = 1,678x$ trên $[0; 50]$ là một đoạn thẳng nối điểm gốc toạ độ $O(0; 0)$ và điểm $(50; 83,9)$ (Hình 6.3).

Luyện tập 2 Đọc và vẽ đồ thị hàm số

a) Dựa vào đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{2}x^2$ (H.6.2), tìm $x$ sao cho $y = 8$.

b) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = 2x + 1$ và $y = 2x^2$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

Vận dụng 1 Công thức và đồ thị tiền điện ở Bậc 2

Nếu lượng điện tiêu thụ từ trên 50 đến 100 kWh ($50 < x \le 100$) thì công thức liên hệ giữa $y$ và $x$ đã thiết lập ở HĐ3 không còn đúng nữa.

Theo bảng giá bán lẻ điện sinh hoạt (Bảng 6.2) thì số tiền phải trả là:

$y = 1,678 \cdot 50 + 1,734(x - 50) = 83,9 + 1,734(x - 50)$, hay $y = 1,734x - 2,8$ (nghìn đồng).

Vậy trên tập xác định $D = (50; 100]$, hàm số $y$ mô tả số tiền phải thanh toán có công thức là $y = 1,734x - 2,8$; tập giá trị của nó là $(83,9; 170,6]$.

Hãy vẽ đồ thị ở Hình 6.3 vào vở rồi vẽ tiếp đồ thị của hàm số $y = 1,734x - 2,8$ trên tập $D = (50; 100]$.

Tìm hiểu thêm: Hàm số cho bởi nhiều công thức biểu diễn tiền điện 6 bậc

Hàm số mô tả sự phụ thuộc của $y$ (số tiền phải trả) vào $x$ (lượng điện tiêu thụ) trên từng khoảng giá trị $x$ được cho bằng công thức như sau:

$$y = \begin{cases} 1,678x & \text{nếu } 0 \le x \le 50 \\ 1,734x - 2,8 & \text{nếu } 50 < x \le 100 \\ 2,014x - 30,8 & \text{nếu } 100 < x \le 200 \\ 2,536x - 135,2 & \text{nếu } 200 < x \le 300 \\ 2,834x - 224,6 & \text{nếu } 300 < x \le 400 \\ 2,927x - 261,8 & \text{nếu } x > 400. \end{cases}$$

Đồ thị của hàm số trên được vẽ như Hình 6.4, gồm các đoạn thẳng nối tiếp nhau có độ dốc tăng dần tương ứng với đơn giá điện tăng theo từng bậc.

3 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

HĐ5. Tính giá trị và nhận xét chiều biến thiên

Cho các hàm số $y = -x + 1$ và $y = x$. Tính giá trị $y$ theo giá trị $x$ để hoàn thành bảng sau:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = -x + 1$	?	?	?	?	?
$y = x$	?	?	?	?	?

Khi giá trị $x$ tăng, giá trị $y$ tương ứng của mỗi hàm số $y = -x + 1$ và $y = x$ tăng hay giảm?

HĐ6. Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x) = -x^2$ trên $\mathbb{R}$

Quan sát đồ thị của hàm số $y = f(x) = -x^2$ trên $\mathbb{R}$ (Hình 6.5) và trả lời các câu hỏi:

a) Giá trị của $f(x)$ tăng hay giảm khi $x$ tăng trên khoảng $(-\infty; 0)$?

b) Giá trị của $f(x)$ tăng hay giảm khi $x$ tăng trên khoảng $(0; +\infty)$?

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $(a; b)$, nếu:

$$\forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2).$$

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a; b)$, nếu:

$$\forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2).$$

Ví dụ 5 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = x^2$

Hàm số $y = x^2$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$?

Giải

Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ như Hình 6.6.

• Trên khoảng $(-\infty; 0)$, đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải và với $x_1, x_2 \in (-\infty; 0)$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.

Như vậy, hàm số $y = x^2$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.

• Trên khoảng $(0; +\infty)$, đồ thị "đi lên" từ trái sang phải và với $x_3, x_4 \in (0; +\infty)$, $x_3 < x_4$ thì $f(x_3) < f(x_4)$.

Như vậy, hàm số $y = x^2$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.

Hình 6.6 Đồ thị y = x^2 đồng biến nghịch biến

Chú ý.

• Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ là đường "đi lên" từ trái sang phải;

• Đồ thị của một hàm số nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ là đường "đi xuống" từ trái sang phải.

Luyện tập 3 Vẽ đồ thị và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến

Vẽ đồ thị của các hàm số $y = 3x + 1$ và $y = -2x^2$. Hãy cho biết:

a) Hàm số $y = 3x + 1$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = -2x^2$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$.

Vận dụng 2 Hàm số giá cước taxi bốn chỗ

Quan sát bảng giá cước taxi bốn chỗ trong Hình 6.7:

a) Tính số tiền phải trả khi di chuyển $25\text{ km}$.

b) Lập công thức tính số tiền cước taxi phải trả theo số kilômét di chuyển.

c) Vẽ đồ thị và cho biết hàm số đồng biến trên khoảng nào, nghịch biến trên khoảng nào.

Em có biết: Hàm số và mô hình hoá toán học

Nhiều tình huống trong thực tiễn đời sống hoặc trong khoa học liên quan đến việc tìm hiểu một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào một đại lượng khác như thế nào. Việc tìm hàm số mô tả sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng kia được gọi là mô hình hoá. Ta thường sử dụng những tính chất hình học hoặc tính chất đại số của đối tượng cần nghiên cứu để thiết lập mô hình. Dựa vào mô hình đã được thiết lập, ta có thể phân tích và dự đoán các tính chất của đối tượng hoặc của tình huống cần nghiên cứu.

Quá trình mô hình hoá bằng cách dùng hàm số thường bao gồm các bước sau:

Bước 1: Diễn tả mô hình bằng lời. Xác định đại lượng cần mô hình hoá và diễn tả bằng lời sự phụ thuộc của nó vào những đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn biến số. Xác định tất cả các đại lượng được dùng để diễn tả sự phụ thuộc bằng lời ở Bước 1. Dùng kí hiệu, chẳng hạn $x$, để chỉ một đại lượng thích hợp nào đó và biểu diễn các đại lượng khác theo $x$.

Bước 3: Thiết lập mô hình. Biểu diễn sự phụ thuộc ở Bước 1 như là một hàm số của biến số $x$ đã được chọn ở Bước 2.

Bước 4: Sử dụng mô hình. Sử dụng hàm số đã thiết lập ở Bước 3 để trả lời các câu hỏi của bài toán. Kiểm tra sự phù hợp của mô hình.

Ví dụ minh hoạ quy trình mô hình hoá: Mảnh vườn rào lưới thép gai của Bác An

Bác An dùng $20\text{ m}$ lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Thiết lập hàm số mô tả diện tích của mảnh vườn.

b) Bác An có thể rào thành mảnh vườn có diện tích bằng $21\text{ m}^2$ được không?

c) Chiều rộng của mảnh vườn phải như thế nào để diện tích của mảnh vườn lớn hơn $24\text{ m}^2$?

d) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác An có thể rào được.

Thực hiện từng bước mô hình hoá:

• Bước 1. Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật = chiều rộng $\times$ chiều dài.

• Bước 2. Gọi $x$ là chiều rộng của mảnh vườn chữ nhật. Nửa chu vi mảnh vườn là $20 : 2 = 10\text{ m}$. Do đó chiều dài là $10 - x\text{ (m)}$ ($0 < x < 10$).

• Bước 3. Thiết lập hàm số diện tích: $S(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x\text{ (m}^2\text{)}$.

• Bước 4. Trả lời câu hỏi b: Để diện tích bằng $21\text{ m}^2$, ta giải phương trình: $$-x^2 + 10x = 21 \iff x^2 - 10x + 21 = 0 \iff (x - 3)(x - 7) = 0 \implies x = 3 \text{ hoặc } x = 7.$$ Vì chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài nên ta chọn chiều rộng $x = 3\text{ m}$ và chiều dài $10 - 3 = 7\text{ m}$.
Vậy bác An hoàn toàn có thể rào thành mảnh vườn có diện tích bằng $21\text{ m}^2$ với kích thước $3\text{ m} \times 7\text{ m}$.

(Trong các bài sau, các em sẽ được học những kiến thức toán học cần thiết để sử dụng hàm số $S(x)$ trả lời cho các câu hỏi ở phần c và phần d).

Làm bài tập củng cố của bài này →

\(x\)	-2	-1	0	1	2
\(y = -x + 1\)	?	?	?	?	?
\(y = x\)	?	?	?	?	?