Bài 16: Hàm số bậc hai
Định nghĩa hàm số bậc hai, bảng giá trị, đồ thị parabol, toạ độ đỉnh, trục đối xứng, sự đồng biến nghịch biến và các mô hình thực tế sử dụng hàm số bậc hai.
- Hàm số bậc hai
- Bảng giá trị
- Parabol
- Đỉnh
- Trục đối xứng
- Nhận biết hàm số bậc hai.
- Thiết lập bảng giá trị của hàm số bậc hai.
- Vẽ parabol (parabola) là đồ thị của hàm số bậc hai.
- Nhận biết các yếu tố cơ bản của đường parabol như đỉnh, trục đối xứng.
- Nhận biết và giải thích các tính chất của hàm số bậc hai thông qua đồ thị.
- Vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị vào giải quyết bài toán thực tiễn.
Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài $20\text{ m}$. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau.
1 Khái niệm hàm số bậc hai
Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi $x\text{ mét}$ ($0 < x < 10$) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường (H.6.8). Hãy tính theo $x$:
- a) Độ dài cạnh $PQ$ của mảnh đất.
- b) Diện tích $S(x)$ của mảnh đất được rào chắn.
Xem lời giải HĐ1
a) Vì tấm lưới có tổng chiều dài $20\text{ m}$ rào ba mặt gồm hai cạnh vuông góc với bờ tường (mỗi cạnh dài $x\text{ m}$) và cạnh $PQ$ song song bờ tường, nên độ dài cạnh $PQ$ là: $$PQ = 20 - 2x\text{ (m)}.$$
b) Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là: $$S(x) = x \cdot PQ = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x\text{ (m}^2\text{)}.$$
Ở đây ta tính được $S(x) = -2x^2 + 20x$. Đây là một hàm số cho bởi công thức và gọi là một hàm số bậc hai của biến số $x$.
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $$y = ax^2 + bx + c,$$ trong đó $x$ là biến số, $a, b, c$ là các hằng số và $a \ne 0$.
Tập xác định của hàm số bậc hai là $\mathbb{R}$.
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
Xem đáp án câu hỏi
Đáp án: C
Giải thích: Hàm số $y = -3x^2 + 1$ có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a = -3 \ne 0, b = 0, c = 1$ nên là hàm số bậc hai. Các hàm số ở phương án A (bậc bốn trùng phương), B và D (hàm phân thức) không phải là hàm số bậc hai.
Xét hàm số bậc hai $y = -2x^2 + 20x$. Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số:
| $x$ | $0$ | $2$ | $4$ | $5$ | $6$ | $8$ | $10$ |
| $y$ | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Thay các giá trị của $x$ vào công thức hàm số, ta được:
| $x$ | $0$ | $2$ | $4$ | $5$ | $6$ | $8$ | $10$ |
| $y$ | $0$ | $32$ | $48$ | $50$ | $48$ | $32$ | $0$ |
Cho hàm số $y = (x - 1)(2 - 3x)$.
a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số $a, b, c$ của nó.
b) Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | ? | ? | ? | ? |
Xem lời giải Luyện tập 1
a) Khai triển biểu thức hàm số: $$y = (x - 1)(2 - 3x) = 2x - 3x^2 - 2 + 3x = -3x^2 + 5x - 2.$$ Đây là hàm số bậc hai với các hệ số: $a = -3, b = 5, c = -2$.
b) Thay các giá trị $x$ vào công thức hàm số:
- Với $x = -2$: $y = (-2 - 1)(2 - 3(-2)) = (-3) \cdot 8 = -24$.
- Với $x = -1$: $y = (-1 - 1)(2 - 3(-1)) = (-2) \cdot 5 = -10$.
- Với $x = 0$: $y = (0 - 1)(2 - 0) = (-1) \cdot 2 = -2$.
- Với $x = 1$: $y = (1 - 1)(2 - 3 \cdot 1) = 0 \cdot (-1) = 0$.
Bảng giá trị hoàn chỉnh:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $-24$ | $-10$ | $-2$ | $0$ |
Một viên bi rơi tự do từ độ cao $19,6\text{ m}$ xuống mặt đất. Độ cao $h$ (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức: $$h = 19,6 - 4,9t^2; \quad h, t \ge 0.$$
- a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất?
- b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số $h$.
Xem lời giải Vận dụng 1
a) Khi viên bi chạm đất thì độ cao $h = 0$. Ta có phương trình: $$19,6 - 4,9t^2 = 0 \iff 4,9t^2 = 19,6 \iff t^2 = 4 \implies t = 2\text{ (giây) (do } t \ge 0\text{)}.$$ Vậy sau $2\text{ giây}$ kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất.
b)
- Vì thời gian $t$ tính từ khi bắt đầu rơi ($t = 0$) đến khi chạm đất ($t = 2$), nên tập xác định của hàm số $h$ là $D = [0; 2]$.
- Tại $t = 0$ thì $h = 19,6\text{ m}$, tại $t = 2$ thì $h = 0\text{ m}$. Khi $t$ tăng từ $0$ đến $2$, độ cao $h$ giảm liên tục từ $19,6$ xuống $0$. Do đó, tập giá trị của hàm số $h$ là $T = [0; 19,6]$.
2 Đồ thị của hàm số bậc hai
Ở lớp 9, ta đã biết dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) (H.6.9). Trong mục này ta sẽ tìm hiểu đồ thị của hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$).
Xét hàm số $y = S(x) = -2x^2 + 20x$ ($0 < x < 10$).
a) Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, biểu diễn toạ độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số $y = -2x^2 + 20x$ trên khoảng $(0; 10)$ như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số $y = -2x^2 + 20x$ có giống với đồ thị của hàm số $y = -2x^2$ hay không?
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số $y = -2x^2 + 20x$ trong Hình 6.10, tìm toạ độ điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi: $$y = -2x^2 + 20x = -2(x^2 - 10x) = -2(x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + 25) + 50 = -2(x - 5)^2 + 50.$$ Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.
Xem lời giải HĐ2
a) Dạng đồ thị của hàm số $y = -2x^2 + 20x$ giống với đồ thị của hàm số $y = -2x^2$ (đều là đường cong parabol có bề lõm quay xuống dưới).
b) Quan sát Hình 6.10, điểm cao nhất của đồ thị có toạ độ là $(5; 50)$.
c) Do $-2(x - 5)^2 \le 0$ với mọi $x$, nên $y = -2(x - 5)^2 + 50 \le 50$. Dấu bằng xảy ra khi $x = 5$. Vậy diện tích lớn nhất rào được là $50\text{ m}^2$. Để đạt diện tích lớn nhất thì hai cột góc hàng rào phải cắm cách bờ tường $5\text{ m}$ (khi đó cạnh $PQ = 20 - 2 \cdot 5 = 10\text{ m}$).
Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai như sau:
Từ các đồ thị hàm số trên, hãy nêu nội dung thay vào ô có dấu "?" trong bảng sau cho thích hợp:
| Hàm số | Hệ số $a$ | Bề lõm của đồ thị (Quay lên / Quay xuống) |
Toạ độ điểm cao nhất / điểm thấp nhất |
Trục đối xứng |
|---|---|---|---|---|
| $y = x^2 + 2x + 2$ | $1$ | Quay lên | $(-1; 1)$ (thấp nhất) | $x = -1$ |
| $y = -2x^2 - 3x + 1$ | ? | ? | ? | ? |
Xem kết quả điền bảng HĐ3
Nội dung thay vào các ô có dấu "?" đối với hàm số $y = -2x^2 - 3x + 1$:
- Hệ số $a$: $-2$ (do $a < 0$).
- Bề lõm của đồ thị: Quay xuống.
- Toạ độ điểm cao nhất: $\left(-\dfrac{3}{4}; \dfrac{17}{8}\right)$.
- Trục đối xứng: $x = -\dfrac{3}{4}$.
Tổng quát, ta có thể viết hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) dưới dạng:
Ta thấy điểm $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ thuộc đồ thị hàm số bậc hai và là một điểm đặc biệt, nó đóng vai trò như điểm $O(0; 0)$ của đồ thị hàm số $y = ax^2$. Cụ thể:
- Nếu $a > 0$ thì $y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a} \ge -\dfrac{\Delta}{4a}$ với mọi $x$. Như vậy điểm $I$ là điểm thấp nhất trên đồ thị.
- Nếu $a < 0$ thì $y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a} \le -\dfrac{\Delta}{4a}$ với mọi $x$. Như vậy điểm $I$ là điểm cao nhất trên đồ thị.
Gọi $(P_0)$ là parabol $y = ax^2$. Nếu ta "dịch chuyển" $(P_0)$ theo vectơ $\vec{OI}$ thì ta sẽ thu được đồ thị $(P)$ của hàm số $y = ax^2 + bx + c$ có dạng như Hình 6.11.
- Đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) là một đường parabol có đỉnh là điểm $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, có trục đối xứng là đường thẳng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
- Parabol này quay bề lõm lên trên nếu $a > 0$, xuống dưới nếu $a < 0$.
- Xác định toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$;
- Xác định trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$;
- Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol;
- Vẽ parabol.
a) Vẽ parabol $y = -2x^2 - 2x + 4$.
b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của hàm số $y = -2x^2 - 2x + 4$.
a) Ta có $a = -2 < 0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
- Đỉnh $I\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{9}{2}\right)$.
- Trục đối xứng $x = -\dfrac{1}{2}$.
- Giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là $A(0; 4)$.
- Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $-2x^2 - 2x + 4 = 0$, tức là $x = 1$ và $x = -2$ (H.6.12).
- Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng với $A$ qua trục đối xứng $x = -\dfrac{1}{2}$ là $B(-1; 4)$.
b) Từ đồ thị ta thấy:
- Hàm số $y = -2x^2 - 2x + 4$ đồng biến trên $\left(-\infty; -\dfrac{1}{2}\right)$, nghịch biến trên $\left(-\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$;
- Giá trị lớn nhất của hàm số là $y = \dfrac{9}{2}$, khi $x = -\dfrac{1}{2}$.
Vẽ parabol $y = 3x^2 - 10x + 7$. Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x^2 - 10x + 7$.
Xem lời giải Luyện tập 2
1. Các bước vẽ parabol $y = 3x^2 - 10x + 7$:
- Hệ số $a = 3 > 0, b = -10, c = 7 \implies \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$.
- Toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right) = \left(\dfrac{10}{2 \cdot 3}; -\dfrac{16}{4 \cdot 3}\right) = \left(\dfrac{5}{3}; -\dfrac{4}{3}\right)$.
- Trục đối xứng là đường thẳng $x = \dfrac{5}{3}$.
- Giao điểm với trục tung $Oy$: cho $x = 0 \implies y = 7$, tức điểm $(0; 7)$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$: giải $3x^2 - 10x + 7 = 0 \iff (x - 1)(3x - 7) = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = \dfrac{7}{3}$, tức các điểm $(1; 0)$ và $\left(\dfrac{7}{3}; 0\right)$.
- Điểm đối xứng với $(0; 7)$ qua trục $x = \dfrac{5}{3}$ là $\left(\dfrac{10}{3}; 7\right)$.
- Vì $a = 3 > 0$ nên parabol có bề lõm quay lên trên. Nối các điểm trên theo đường cong hình chữ U ta được đồ thị parabol.
2. Khoảng đồng biến, nghịch biến và GTNN:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; \dfrac{5}{3}\right)$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\dfrac{5}{3}; +\infty\right)$.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y = -\dfrac{4}{3}$, đạt được tại $x = \dfrac{5}{3}$.
| Với $a > 0$ | Với $a < 0$ |
|---|---|
| Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ | Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ |
| Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$ | Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$ |
| $-\dfrac{\Delta}{4a}$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ là giá trị lớn nhất của hàm số |
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng $27\text{ m}$, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp $2,26\text{ m}$ là $20\text{ m}$.
Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Xem lời giải chi tiết Vận dụng 2
Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như hướng dẫn:
- Gốc toạ độ $O(0; 0)$ tại chân thứ nhất của trụ tháp.
- Chân thứ hai nằm trên tia $Ox$ cách gốc $27\text{ m}$ nên có toạ độ $B(27; 0)$.
- Vì parabol đi qua gốc $O(0; 0)$ nên phương trình có dạng: $y = ax^2 + bx$ (với $c = 0$).
- Đồ thị đi qua $B(27; 0) \implies a \cdot 27^2 + b \cdot 27 = 0 \iff 27a + b = 0 \iff b = -27a$.
- Điểm trên mặt đất cách chân tháp $2,26\text{ m}$ có chiều cao $20\text{ m}$, tức đồ thị đi qua điểm $M(2,26; 20)$. Thay vào phương trình: $$20 = a(2,26)^2 + b(2,26) = a(2,26)^2 - 27a(2,26) = a \cdot 2,26 \cdot (2,26 - 27) = -55,9124a$$ $$\implies a = -\frac{20}{55,9124} \approx -0,3577 \implies b = -27a \approx 9,6579.$$
- Đỉnh của parabol có hoành độ là tâm đối xứng giữa hai chân tháp: $x_I = \dfrac{27}{2} = 13,5\text{ m}$.
- Chiều cao của đỉnh trụ tháp (so với mặt đất) là tung độ đỉnh $y_I$: $$y_I = a(13,5)^2 + b(13,5) = a(13,5)(13,5 - 27) = -182,25a = -182,25 \cdot \left(-\frac{20}{55,9124}\right) = \frac{3645}{55,9124} \approx 65,19\text{ m} \approx 65,2\text{ m}.$$
Kết luận: Độ cao của đỉnh trụ tháp cầu vượt so với mặt đất ước lượng khoảng $65,2\text{ m}$ (hoặc khoảng $65\text{ m}$).
Hàm số bậc hai được sử dụng trong nhiều mô hình thực tế. Dưới đây ta xét một số mô hình đơn giản thường gặp.
Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều
Phương trình toạ độ: $$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2},$$ trong đó $x_0$ là toạ độ ban đầu của vật, $v_0$ là vận tốc ban đầu của vật và $a$ là gia tốc của vật ($a$ cùng dấu với $v_0$ nếu vật chuyển động nhanh dần đều và ngược dấu với $v_0$ nếu vật chuyển động chậm dần đều). Như vậy toạ độ $x(t)$ của vật là một hàm số bậc hai của thời gian $t$.
Chỉ chịu ảnh hưởng của trọng lực với gia tốc trọng trường $g \approx 9,8\text{ m/s}^2$: $$y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2,$$ trong đó $y_0\text{ (m)}$ là độ cao ban đầu, $v_0\text{ (m/s)}$ là vận tốc ban đầu.
Nếu vật rơi tự do từ độ cao ban đầu $y_0\text{ (m)}$ không vận tốc đầu thì độ cao $y\text{ (m)}$ tại thời điểm $t\text{ (s)}$ là: $$y(t) = y_0 - \frac{1}{2}gt^2.$$
Phương trình chuyển động của vật ném xiên
Một vật được ném từ độ cao $h\text{ (mét)}$ so với mặt đất, với vận tốc ban đầu $v_0\text{ (m/s)}$ hợp với phương ngang một góc $\alpha$. Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình: $$y = \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha + h,$$ ở đó $x\text{ (mét)}$ là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tại điểm ném, $y\text{ (mét)}$ là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, $g$ là gia tốc trọng trường. Như vậy quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên là một parabol.
Tương tự, đường đi của quả bóng khi được cầu thủ sút đá lên không trung, quỹ đạo của viên đạn pháo khi bắn ra khỏi nòng pháo, tia lửa hàn, hạt nước bắn lên từ đài phun nước,... đều có dạng đường parabol (H.6.16).
Doanh thu bán hàng và phương trình nhu cầu
Trong kinh tế, doanh thu bán hàng là số tiền nhận được khi bán một mặt hàng. Doanh thu $R$ bằng đơn giá $x$ của mặt hàng (tức là giá bán của một sản phẩm) nhân với số lượng $n$ sản phẩm đã bán được, tức là: $$R = x \cdot n.$$ Định luật nhu cầu khẳng định rằng giữa $x$ và $n$ có mối liên hệ với nhau: Khi cái này tăng thì cái kia sẽ giảm. Phương trình liên hệ giữa $x$ và $n$ gọi là phương trình nhu cầu.
Nếu phương trình nhu cầu là liên hệ bậc nhất, tức là $n = a - bx$ ($a, b$ là những hằng số dương) thì doanh thu bán hàng sẽ là hàm số bậc hai của đơn giá: $$R(x) = xn = x(a - bx) = ax - bx^2.$$ Khi đó người ta thường quan tâm đến việc tìm giá bán $x$ để doanh thu đạt cực đại, hoặc tìm giá bán $x$ để doanh thu vượt một mức nào đó.