Lý thuyết Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Khái niệm tập hợp, phần tử, tập con, hai tập hợp bằng nhau, tập hợp rỗng. Mối quan hệ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, các tập con thường dùng của R (khoảng, đoạn, nửa khoảng). Các phép toán giao, hợp, hiệu, phần bù và công thức số phần tử n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 12 - 19)
THUẬT NGỮ CỐT LÕI
- Tập hợp, phần tử
- Tập hợp con, hai tập hợp bằng nhau, tập hợp rỗng
- Giao, hợp, hiệu của hai tập hợp
- Phần bù của một tập con
- Biểu đồ Ven, khoảng, đoạn, nửa khoảng
KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT
- Nhận biết các khái niệm cơ bản về tập hợp và các tập hợp số $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$.
- Nhận biết và biểu diễn được các tập con thường dùng của $\mathbb{R}$ (khoảng, đoạn, nửa khoảng) trên trục số.
- Thực hiện thành thạo các phép toán trên tập hợp: hợp, giao, hiệu và phần bù.
- Sử dụng biểu đồ Ven và sơ đồ trục số để mô tả và giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.
TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (TRANG 12)
Câu lạc bộ Lịch sử có 12 thành viên (không có hai bạn nào trùng tên), tổ chức hai chuyên đề trên một phần mềm họp trực tuyến. Tên các thành viên tham gia mỗi chuyên đề được hiển thị trên màn hình:
Gồm 7 bạn: Nam, Hương, Chi, Tú, Bình, Ngân, Khánh.
Gồm 6 bạn: Khánh, Hân, Hiền, Nam, Lam, Bình.
Bài học này sẽ giúp em trả lời chính xác câu hỏi trên bằng các khái niệm cơ bản về tập hợp và các phép toán trên tập hợp.
Hình 1.1: Danh sách tham gia các chuyên đề của CLB Lịch sử
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP
aTập hợp và phần tử
Ở lớp 6, ta đã làm quen với khái niệm tập hợp và các kí hiệu: thuộc ($\in$), không thuộc ($\notin$).
Gọi $A$ là tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1, $B$ là tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 2 trong tình huống mở đầu.
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp $A$ và tập hợp $B$.
b) Bạn Khánh có thuộc tập hợp $A$ không? Có thuộc tập hợp $B$ không?
a) $A = \{\text{Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}\}$;
$B = \{\text{Khánh; Hân; Hiền; Nam; Lam; Bình}\}$.
b) Bạn Khánh thuộc cả hai tập hợp: $\text{Khánh} \in A$ và $\text{Khánh} \in B$.
Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) $4 \in \mathbb{N}$; b) $\dfrac{3}{2} \in \mathbb{N}$.
a) Đúng, vì 4 là số tự nhiên.
b) Sai, vì $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$ là số hữu tỉ không nguyên nên $\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}$.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM: TẬP HỢP VÀ CÁCH MÔ TẢ
- Một tập hợp (gọi tắt là tập) bao gồm các đối tượng nhất định. Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp.
- $x$ là phần tử của tập hợp $A$, kí hiệu là $x \in A$ (đọc là "$x$ thuộc $A$").
- $x$ không phải là phần tử của tập hợp $A$, kí hiệu là $x \notin A$ (đọc là "$x$ không thuộc $A$").
- Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách:
- Liệt kê các phần tử của tập hợp (các phần tử được viết trong cặp dấu $\{ \}$, cách nhau bởi dấu chấm phẩy $;$, mỗi phần tử liệt kê một lần);
- Nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
a) Gọi $E$ là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10. Liệt kê các phần tử của $E$ và cho biết $n(E)$.
b) Nêu tính chất đặc trưng của $P = \{1; 4; 9; 16; 25\}$.
c) Tìm tập nghiệm thực của phương trình $x^2 + 1 = 0$.
a) $E = \{0; 2; 4; 6; 8\}$. Tập hợp $E$ có 5 phần tử, tức là $n(E) = 5$.
b) Các phần tử của $P$ là bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến 5. Ta viết:
$P = \{n^2 \mid n \in \mathbb{N}^*, n \le 5\}$.
c) Vì $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm là $\emptyset$.
a) Gọi $T$ là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $T$.
b) Viết tập hợp các nghiệm thực của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$.
a) Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là: 2, 3, 5, 7. Do đó:
$T = \{2; 3; 5; 7\}$, ta có $n(T) = 4$.
b) Phương trình bậc hai $x^2 - x + 1 = 0$ có biệt thức $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.
Do $\Delta < 0$ nên phương trình không có nghiệm thực. Vậy tập hợp các nghiệm thực của phương trình là tập rỗng $\emptyset$.
bTập hợp con
Trong tình huống mở đầu, gọi $C$ là tập hợp các bạn tham gia cả hai chuyên đề: $C = \{\text{Nam; Bình; Khánh}\}$. Có nhận xét gì về các phần tử của $C$ đối với tập hợp $A$?
ĐỊNH NGHĨA TẬP HỢP CON
- Nếu mọi phần tử của tập hợp $T$ đều là phần tử của tập hợp $S$ thì ta nói $T$ là một tập hợp con (gọi tắt là tập con) của $S$, kí hiệu là $T \subset S$ (đọc là "$T$ chứa trong $S$" hoặc "$T$ là tập con của $S$").
- Theo định nghĩa: $$\forall x, \, (x \in T \Rightarrow x \in S) \iff T \subset S$$
- Thay cho $T \subset S$, ta cũng có thể viết $S \supset T$ (đọc là "$S$ chứa $T$").
- Nếu $T$ không phải là tập con của $S$, ta kí hiệu là $T \not\subset S$.
Cho hai tập hợp $A = \{1; 2\}$ và $B = \{1; 2; 3; 4\}$.
Vì $1 \in A \Rightarrow 1 \in B$ và $2 \in A \Rightarrow 2 \in B$ nên mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$. Do đó $A \subset B$.
cHai tập hợp bằng nhau
Cho hai tập hợp: $A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ chia hết cho } 6\}$ và $B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ chia hết cho } 2 \text{ và } 3\}$. Hãy so sánh tập hợp $A$ và tập hợp $B$.
HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU
Hai tập hợp $S$ và $T$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $S = T$, nếu $S \subset T$ và $T \subset S$.
Nói cách khác: $$S = T \iff (\forall x, \, x \in S \Leftrightarrow x \in T)$$
Cho $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 = 0\}$ và $B = \{1; 3\}$. Giải thích vì sao $A = B$.
Do đó $A = \{1; 3\}$. Vì các phần tử của $A$ trùng hoàn toàn với các phần tử của $B$ nên $A = B$.
Hai tập hợp sau có bằng nhau không?
$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 2\}$ và $B = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$.
Do đó liệt kê tập hợp $A$ ta được: $A = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$.
Mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ và ngược lại. Vậy $A = B$.
2. CÁC TẬP HỢP SỐ
aMối quan hệ giữa các tập hợp số
Ta đã biết các tập hợp số quen thuộc: $\mathbb{N}$ (tập hợp số tự nhiên), $\mathbb{Z}$ (tập hợp số nguyên), $\mathbb{Q}$ (tập hợp số hữu tỉ), và $\mathbb{R}$ (tập hợp số thực).
Cho các số: $-3; \, 0; \, \dfrac{1}{2}; \, \sqrt{2}; \, 5$. Mỗi số đó thuộc những tập hợp nào trong các tập hợp $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$?
| Số | Tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ | Tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ | Tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ | Tập hợp số thực $\mathbb{R}$ |
|---|---|---|---|---|
| -3 | $\notin$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
| 0 | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
| 1/2 | $\notin$ | $\notin$ | $\in$ | $\in$ |
| $\sqrt{2}$ | $\notin$ | $\notin$ | $\notin$ | $\in$ |
| 5 | $\in$ | $\in$ | $\in$ | $\in$ |
MỐI QUAN HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP SỐ
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
- Mọi số tự nhiên đều là số nguyên: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
- Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ (vì số nguyên $a = \frac{a}{1}$).
- Mọi số hữu tỉ và số vô tỉ đều là số thực: $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$; b) $-\dfrac{3}{5} \in \mathbb{R}$; c) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$.
a) Sai, vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ chứ không phải số hữu tỉ ($\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$).
b) Đúng, vì $-\dfrac{3}{5}$ là số hữu tỉ nên nó cũng là một số thực.
c) Đúng, vì mọi số tự nhiên đều là số hữu tỉ ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).
Điền kí hiệu thích hợp ($\in, \notin, \subset$) vào ô trống:
a) $-3 \;\square\; \mathbb{N}$; b) $-3 \;\square\; \mathbb{Z}$;
c) $-3 \;\square\; \mathbb{Q}$; d) $\mathbb{Z} \;\square\; \mathbb{Q}$.
a) $-3 \notin \mathbb{N}$ (vì $-3$ là số nguyên âm, không thuộc tập số tự nhiên);
b) $-3 \in \mathbb{Z}$ (vì $-3$ là số nguyên);
c) $-3 \in \mathbb{Q}$ (vì $-3 = \dfrac{-3}{1}$ là số hữu tỉ);
d) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ (mọi số nguyên đều là số hữu tỉ).
bCác tập con thường dùng của $\mathbb{R}$
Cho hai tập hợp $C = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}$ và $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng, theo định nghĩa $C$ và $D$ đều gồm các số thực nên $C \subset \mathbb{R}$ và $D \subset \mathbb{R}$.
b) Sai, ví dụ với $x = 3$ thì $3 \in C$ nhưng $3 \notin D$ (vì $3 > 3$ là sai).
c) Đúng, vì $3 \ge 3$ (đúng) và $3 > 3$ (sai).
d) Sai, vì $3 \in C$ mà $3 \notin D$ nên hai tập hợp này không bằng nhau ($C \ne D$).
| Tên gọi | Kí hiệu | Tập hợp | Biểu diễn trên trục số |
|---|---|---|---|
| Khoảng | $(a; b)$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ | |
| $(a; +\infty)$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$ | ||
| $(-\infty; b)$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}$ | ||
| $(-\infty; +\infty)$ | $\mathbb{R}$ | ||
| Đoạn | $[a; b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ | |
| Nửa khoảng | $[a; b)$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$ | |
| $(a; b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$ | ||
| $[a; +\infty)$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}$ | ||
| $(-\infty; b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le b\}$ |
Viết các tập hợp sau dưới dạng các khoảng, đoạn, nửa khoảng trong $\mathbb{R}$ rồi biểu diễn trên trục số:
• $C = \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x \le 7\}$
• $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$
• $C = [2; 7]$. Biểu diễn trên trục số:
• $D = (-\infty; 2)$. Biểu diễn trên trục số:
Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở cột bên phải:
| Cột bên trái | Cột bên phải |
|---|---|
| 1) $x \in [2; 5]$ | a) $2 < x \le 5$ |
| 2) $x \in (2; 5]$ | b) $x \ge 7$ |
| 3) $x \in [7; +\infty)$ | c) $7 < x < 10$ |
| 4) $x \in (7; 10)$ | d) $2 \le x \le 5$ |
| e) $2 \le x < 5$ |
1) ghép với d): $x \in [2; 5] \iff 2 \le x \le 5$.
2) ghép với a): $x \in (2; 5] \iff 2 < x \le 5$.
3) ghép với b): $x \in [7; +\infty) \iff x \ge 7$.
4) ghép với c): $x \in (7; 10) \iff 7 < x < 10$.
3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
aGiao của hai tập hợp
Viết tập hợp $X$ gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu. Tập hợp $X$ có phải là tập con của tập hợp $A$ không? Tập hợp $X$ có phải là tập con của tập hợp $B$ không? (với $A, B$ là các tập hợp trong HĐ1).
Vì mọi phần tử của $X$ đều thuộc $A$ và đều thuộc $B$ nên $X \subset A$ và $X \subset B$.
ĐỊNH NGHĨA GIAO CỦA HAI TẬP HỢP
Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $S$ và $T$ gọi là giao của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cap T$.
$$S \cap T = \{x \mid x \in S \text{ và } x \in T\}$$
Như vậy: $x \in S \cap T \iff (x \in S \text{ và } x \in T)$.
a) Cho $C = \{4; 7; 27\}$ và $D = \{2; 4; 9; 27; 36\}$. Hãy xác định tập hợp $C \cap D$.
b) Cho hai tập hợp $E = [1; +\infty)$ và $F = (-\infty; 3]$. Hãy xác định tập hợp $E \cap F$.
a) Giao của hai tập hợp $C$ và $D$ gồm các phần tử chung của cả hai tập hợp: $C \cap D = \{4; 27\}$.
b) Giao của $E$ và $F$ là tập các số thực $x$ thỏa mãn $x \ge 1$ và $x \le 3$, tức $1 \le x \le 3$. Do đó:
$E \cap F = [1; +\infty) \cap (-\infty; 3] = [1; 3]$.
Cho các tập hợp $C = [1; 5]$, $D = [-2; 3]$. Hãy xác định tập hợp $C \cap D$.
$x \in C \iff 1 \le x \le 5$.
$x \in D \iff -2 \le x \le 3$.
Để $x \in C \cap D$ thì $x$ phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện: $$\begin{cases} 1 \le x \le 5 \\ -2 \le x \le 3 \end{cases} \iff 1 \le x \le 3$$ Vậy $C \cap D = [1; 3]$.
bHợp của hai tập hợp
Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2.
ĐỊNH NGHĨA HỢP CỦA HAI TẬP HỢP
Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp $S$ hoặc thuộc tập hợp $T$ gọi là hợp của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cup T$.
$$S \cup T = \{x \mid x \in S \text{ hoặc } x \in T\}$$
Như vậy: $x \in S \cup T \iff (x \in S \text{ hoặc } x \in T)$.
a) $C = \{2; 3; 4; 7\}$ và $D = \{-1; 2; 3; 4; 6\}$.
$\Rightarrow C \cup D = \{-1; 2; 3; 4; 6; 7\}$.
b) $E = (-1; 2]$ và $F = [0; 3]$.
$\Rightarrow E \cup F = (-1; 3]$.
Giải bài toán tình huống mở đầu:
Gọi $A, B$ lần lượt là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 1 và 2. Ta có $A \cup B$ gồm 10 bạn (Nam, Hương, Chi, Tú, Bình, Ngân, Khánh, Hân, Hiền, Lam).
Số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là:
$$12 - 10 = 2 \text{ (thành viên).}$$
Biểu diễn $A \cup B$ bằng biểu đồ Ven với $A, B$ trong HĐ1:
cHiệu của hai tập hợp và phần bù
Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2.
HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP VÀ PHẦN BÙ
• Hiệu của hai tập hợp $S$ và $T$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $S$ nhưng không thuộc $T$, kí hiệu là $S \setminus T$.
$$S \setminus T = \{x \mid x \in S \text{ và } x \notin T\}$$
• Nếu $T \subset S$ thì $S \setminus T$ được gọi là phần bù của $T$ trong $S$, kí hiệu là $C_S T$.
Cho các tập hợp: $D = \{-2; 3; 5; 6\}$;
$E = \{x \mid x \text{ là số nguyên tố nhỏ hơn } 10\}$;
$X = \{x \mid x \text{ là số nguyên dương nhỏ hơn } 10\}$.
a) Tìm $D \setminus E$ và $E \setminus D$.
b) $E$ có là tập con của $X$ không? Hãy tìm phần bù của $E$ trong $X$ (nếu có).
a) Ta có $E = \{2; 3; 5; 7\}$.
• $D \setminus E = \{-2; 6\}$.
• $E \setminus D = \{2; 7\}$.
b) $X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$.
Vì mọi phần tử của $E$ đều thuộc $X$ nên $E \subset X$.
Phần bù của $E$ trong $X$ là: $C_X E = X \setminus E = \{1; 4; 6; 8; 9\}$.
Tìm phần bù của các tập hợp sau trong $\mathbb{R}$:
a) $(-\infty; -2)$; b) $[-5; +\infty)$.
a) Phần bù của $(-\infty; -2)$ trong $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực không thuộc khoảng $(-\infty; -2)$, tức là các số thực $x \ge -2$: $$C_\mathbb{R}(-\infty; -2) = \mathbb{R} \setminus (-\infty; -2) = [-2; +\infty).$$ b) Phần bù của $[-5; +\infty)$ trong $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực không thuộc nửa khoảng $[-5; +\infty)$, tức là các số thực $x < -5$: $$C_\mathbb{R}[-5; +\infty) = \mathbb{R} \setminus [-5; +\infty) = (-\infty; -5).$$
VẬN DỤNG (SGK TRANG 18): BÀI TOÁN THỂ THAO LỚP 10A
Lớp 10A có 24 bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có 16 bạn thi đấu bóng đá và 11 bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?
Gọi $A$ là tập hợp các bạn tham gia thi đấu bóng đá $\Rightarrow n(A) = 16$.
Gọi $B$ là tập hợp các bạn tham gia thi đấu cầu lông $\Rightarrow n(B) = 11$.
Tập hợp các bạn tham gia cả hai môn là $A \cap B$, có số phần tử là $x = n(A \cap B)$.
Tập hợp các bạn tham gia ít nhất một môn là $A \cup B$, có $n(A \cup B) = 24$.
Thay số vào ta được: $24 = 16 + 11 - x \iff 24 = 27 - x \iff x = 3$.
Vậy có 3 bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả hai môn bóng đá và cầu lông.
TỔNG KẾT KIẾN THỨC BÀI 2
Thuộc cả $S$ VÀ $T$
$x \in S \text{ và } x \in T$
Thuộc $S$ HOẶC $T$
$x \in S \text{ hoặc } x \in T$
Thuộc $S$ nhưng KHÔNG thuộc $T$
$x \in S \text{ và } x \notin T$
Khi $T \subset S$, là phần hiệu $S \setminus T$.