Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

a) Thay toạ độ điểm $M(1; 2)$ vào phương trình của $\Delta_1$ và $\Delta_2$:

• Với $\Delta_1$: $1 - 2\cdot 2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$ (thoả mãn). Do đó $M \in \Delta_1$.
• Với $\Delta_2$: $3\cdot 1 - 2 - 1 = 3 - 3 = 0$ (thoả mãn). Do đó $M \in \Delta_2$.

Vậy điểm $M(1; 2)$ thuộc cả hai đường thẳng nói trên.

b) Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x - 2y = -3 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1 \\ y = 2. \end{cases}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$.

c) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chính là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình tương ứng của $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

Bốn góc tạo thành gồm hai cặp góc đối đỉnh và các cặp góc kề bù:

• Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
• Hai góc kề bù thì có tổng số đo bằng $180^\circ$.

Do đó, nếu gọi một góc nhọn (hoặc góc vuông) có số đo là $\alpha$ ($0^\circ < \alpha \le 90^\circ$) thì bốn góc tạo thành sẽ có các số đo là $\alpha$, $180^\circ - \alpha$, $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$.

a) Từ Hình 7.7, ta nhận thấy:

• Nếu góc giữa hai vectơ $(\vec{n}_1, \vec{n}_2) \le 90^\circ$ thì $\varphi = (\vec{n}_1, \vec{n}_2)$.
• Nếu góc giữa hai vectơ $(\vec{n}_1, \vec{n}_2) > 90^\circ$ thì $\varphi = 180^\circ - (\vec{n}_1, \vec{n}_2)$.

b) Do $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ nên $\cos\varphi \ge 0$.

Mặt khác, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Do đó trong mọi trường hợp ta luôn có:

$$\cos\varphi = \left|\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)\right|.$$

a) Do $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\Delta$ nên đường thẳng $HM \perp \Delta$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ cũng vuông góc với $\Delta$, do đó giá của vectơ $\vec{n}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $HM$, nghĩa là hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{HM}$ cùng phương.

Vì vậy góc giữa chúng bằng $0^\circ$ hoặc $180^\circ$, suy ra $|\cos(\vec{n}, \overrightarrow{HM})| = 1$. Ta có:

$$|\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM}| = |\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{HM}|\cdot|\cos(\vec{n}, \overrightarrow{HM})| = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot HM \cdot 1 = \sqrt{a^2 + b^2}\cdot HM.$$

b) Ta có $\overrightarrow{HM} = (x_0 - x_1; y_0 - y_1)$. Khi đó:

$$\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) = ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1).$$

Vì $H(x_1; y_1) \in \Delta$ nên toạ độ $H$ thoả mãn phương trình của $\Delta$:

$$ax_1 + by_1 + c = 0 \implies -(ax_1 + by_1) = c.$$

Thay vào biểu thức trên ta được:

$$\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM} = ax_0 + by_0 + c.$$

c) Từ kết quả câu a) và câu b):

$$\sqrt{a^2 + b^2}\cdot HM = |\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM}| = |ax_0 + by_0 + c|.$$

Vì $a^2 + b^2 > 0 \implies \sqrt{a^2 + b^2} > 0$, chia hai vế cho $\sqrt{a^2 + b^2}$ ta được:

$$HM = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Trên lưới toạ độ Hình 7.10, mỗi cạnh của ô vuông đơn vị có độ dài bằng $1$.

Đo trực tiếp bằng thước đo độ dài đoạn thẳng vuông góc $MH$ nối từ $M(2; 4)$ đến đường thẳng $\Delta$, ta đo được $MH = 2$ đơn vị độ dài.

Về mặt toạ độ, hình chiếu vuông góc $H$ của $M(2; 4)$ lên đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 12 = 0$ có toạ độ xác định bởi:

$$\overrightarrow{MH} = k\vec{n} = (3k; 4k) \implies H(2 + 3k; 4 + 4k).$$

Do $H \in \Delta \implies 3(2 + 3k) + 4(4 + 4k) - 12 = 0 \iff 25k + 10 = 0 \iff k = -0{,}4$.

Suy ra $H(0{,}8; 2{,}4)$, và khoảng cách là độ dài đoạn thẳng:

$$MH = \sqrt{(0{,}8 - 2)^2 + (2{,}4 - 4)^2} = \sqrt{(-1{,}2)^2 + (-1{,}6)^2} = \sqrt{1{,}44 + 2{,}56} = \sqrt{4} = 2.$$

Như vậy kết quả đo đạc trực quan trên hình vẽ hoàn toàn trùng khớp với kết quả đại số trong Ví dụ 4.