Toán Lớp 10 Chương VII: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 4786 lượt xem

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Phương trình chính tắc và phương trình tổng quát của đường tròn, điều kiện xác định tâm và bán kính, phương trình tiếp tuyến của đường tròn và ứng dụng thực tiễn.

Thuật ngữ

Đường tròn
Tâm
Bán kính
Phương trình đường tròn
Phương trình tiếp tuyến

Kiến thức, kĩ năng

Lập phương trình đường tròn khi biết toạ độ tâm và bán kính hoặc biết toạ độ ba điểm thuộc đường tròn.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm.
Vận dụng kiến thức về phương trình đường tròn để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Đặt vấn đề

Cũng như đối với đường thẳng, việc đại số hoá đường tròn gồm hai bước:

Thiết lập đối tượng đại số tương ứng với đường tròn, gọi là phương trình của đường tròn.
Chuyển các yếu tố liên quan tới đường tròn từ hình học sang đại số.

1 Phương trình đường tròn

Đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R\) là tập hợp những điểm \(M\) thoả mãn điều kiện \(IM = R\). Do đó, để lập phương trình đường tròn đó, ta cần chuyển điều kiện hình học \(IM = R\) thành một điều kiện đại số.

HĐ1 Điều kiện đại số để một điểm thuộc đường tròn

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\), tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) (H.7.13). Khi đó, một điểm \(M(x; y)\) thuộc đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện đại số nào?

Xem lời giải HĐ1

Khoảng cách giữa hai điểm \(I(a; b)\) và \(M(x; y)\) được tính bởi công thức:

\[IM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\]

Điểm \(M(x; y)\) thuộc đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi \(IM = R\), tức là:

\[\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = R \iff (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\]

Điểm \(M(x; y)\) thuộc đường tròn \((C)\), tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) khi và chỉ khi

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \qquad (1)\]

Ta gọi \((1)\) là phương trình của đường tròn \((C)\).

Ví dụ 1 Xác định tâm, bán kính và lập phương trình đường tròn

Tìm tâm và bán kính của đường tròn \((C)\) có phương trình: \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\).
Viết phương trình đường tròn \((C')\) có tâm \(J(2; -1)\) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn \((C)\).

Giải

Ta viết phương trình của \((C)\) ở dạng \((x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2\).

Vậy \((C)\) có tâm \(I(2; -3)\) và bán kính \(R = 4\).

Đường tròn \((C')\) có tâm \(J(2; -1)\) và có bán kính \(R' = 2R = 8\), nên có phương trình:

\[(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 64.\]

Luyện tập 1 Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Tìm tâm và bán kính của đường tròn \((C): (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 7\).

Xem lời giải Luyện tập 1

Ta viết lại phương trình của \((C)\) dưới dạng chính tắc:

\[(x - (-2))^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{7})^2\]

Do đó, đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-2; 4)\) và bán kính \(R = \sqrt{7}\).

Nhận xét. Phương trình \((1)\) tương đương với:

\[x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - R^2) = 0.\]

Ví dụ 2 Tập hợp điểm thoả mãn phương trình bậc hai hai ẩn

Cho \(a, b, c\) là các hằng số. Tìm tập hợp những điểm \(M(x; y)\) thoả mãn phương trình:

\[x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \qquad (2)\]

Giải

Phương trình \((2)\) tương đương với:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + c - a^2 - b^2 = 0 \iff (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + b^2 - c.\]

Xét \(I(a; b)\), khi đó \(IM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\) và phương trình trên trở thành:

\[IM^2 = a^2 + b^2 - c \qquad (3)\]

Từ đó, ta xét các trường hợp sau:

Nếu \(a^2 + b^2 - c > 0\) thì tập hợp những điểm \(M\) thoả mãn \((2)\) là đường tròn tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\).
Nếu \(a^2 + b^2 - c = 0\) thì \((3) \iff IM = 0\). Do đó, tập hợp những điểm \(M\) thoả mãn \((2)\) chỉ gồm một điểm là \(I(a; b)\).
Nếu \(a^2 + b^2 - c < 0\) thì tập hợp những điểm \(M\) là tập rỗng.

Nhận xét. Phương trình \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi \(a^2 + b^2 - c > 0\). Khi đó, \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\).

Luyện tập 2 Nhận dạng phương trình đường tròn

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \(x^2 - y^2 - 2x + 4y - 1 = 0\);
b) \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 = 0\);
c) \(x^2 + y^2 + 6x - 4y + 2 = 0\).

Xem lời giải Luyện tập 2

a) Phương trình \(x^2 - y^2 - 2x + 4y - 1 = 0\) có hệ số của \(x^2\) là \(1\), hệ số của \(y^2\) là \(-1\) (khác nhau). Do đó, phương trình này không phải là phương trình của một đường tròn.

b) Phương trình \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 = 0\) có \(a = 1, b = -2, c = 6\).
Ta có: \(a^2 + b^2 - c = 1^2 + (-2)^2 - 6 = 1 + 4 - 6 = -1 < 0\).
Do đó, phương trình này không phải là phương trình của một đường tròn.

c) Phương trình \(x^2 + y^2 + 6x - 4y + 2 = 0\) có \(a = -3, b = 2, c = 2\).
Ta có: \(a^2 + b^2 - c = (-3)^2 + 2^2 - 2 = 9 + 4 - 2 = 11 > 0\).
Do đó, đây là phương trình của một đường tròn có tâm \(I(-3; 2)\) và bán kính \(R = \sqrt{11}\).

Ví dụ 3 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Viết phương trình đường tròn \((C)\) đi qua ba điểm \(A(2; 0), B(0; 4), C(-7; 3)\).

Giải

Các đoạn thẳng \(AB, AC\) tương ứng có trung điểm là \(M(1; 2), N\left(-\frac{5}{2}; \frac{3}{2}\right)\).

Đường thẳng trung trực \(\Delta_1\) của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(M(1; 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{AB}(-2; 4)\).

Vì \(\vec{AB}(-2; 4)\) cùng phương với \(\vec{n}_1(1; -2)\) nên \(\Delta_1\) cũng nhận \(\vec{n}_1(1; -2)\) là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của \(\Delta_1\) là:

\[1(x - 1) - 2(y - 2) = 0 \iff x - 2y + 3 = 0.\]

Đường thẳng trung trực \(\Delta_2\) của đoạn thẳng \(AC\) đi qua \(N\left(-\frac{5}{2}; \frac{3}{2}\right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{AC}(-9; 3)\).

Vì \(\vec{AC}(-9; 3)\) cùng phương với \(\vec{n}_2(3; -1)\) nên \(\Delta_2\) cũng nhận \(\vec{n}_2(3; -1)\) là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của \(\Delta_2\) là:

\[3\left(x + \frac{5}{2}\right) - 1\left(y - \frac{3}{2}\right) = 0 \iff 3x - y + 9 = 0.\]

Tâm \(I\) của đường tròn \((C)\) cách đều ba điểm \(A, B, C\) nên \(I\) là giao điểm của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\).

Vậy toạ độ của \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y + 9 = 0 \end{cases}\]

Suy ra \(I(-3; 0)\). Đường tròn \((C)\) có bán kính là \(IA = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = 5\). Vậy phương trình của \((C)\) là:

\[(x + 3)^2 + y^2 = 25.\]

Luyện tập 3 Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Viết phương trình đường tròn \((C)\) đi qua ba điểm \(M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8)\).

Xem lời giải Luyện tập 3

Giả sử phương trình đường tròn \((C)\) có dạng: \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) (với \(a^2 + b^2 - c > 0\)).

Do \((C)\) đi qua ba điểm \(M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8)\) nên ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases} 4^2 + (-5)^2 - 8a + 10b + c = 0 \\ 2^2 + (-1)^2 - 4a + 2b + c = 0 \\ 3^2 + (-8)^2 - 6a + 16b + c = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} -8a + 10b + c = -41 \\ -4a + 2b + c = -5 \\ -6a + 16b + c = -73 \end{cases}\]

Giải hệ phương trình ba ẩn trên, ta được:

\[a = 7, \quad b = -3, \quad c = 21.\]

Kiểm tra điều kiện: \(a^2 + b^2 - c = 7^2 + (-3)^2 - 21 = 49 + 9 - 21 = 37 > 0\) (thoả mãn).

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là:

\[x^2 + y^2 - 14x + 6y + 21 = 0 \quad \text{hay} \quad (x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 37.\]

VẬN DỤNG 1 Thiết kế bể sục trong hồ bơi tối ưu diện tích

Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là \(32\text{ m}\) mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy \(\pi = 3,14\), độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Xem hướng dẫn & lời giải chi tiết Vận dụng 1

Hướng dẫn & Lời giải:

- Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là \(x, y\text{ (m)}\) (\(x > 0, y > 0\)).

Chu vi bể hình tròn là \(2\pi x\). Chu vi mỗi bể sục nửa hình tròn gồm nửa chu vi đường tròn và đường kính: \(\pi y + 2y = (\pi + 2)y\).

Khi đó, tổng chu vi ba bể là \(32\text{ m}\) khi và chỉ khi:

\[2\pi x + 2(\pi + 2)y = 32 \iff 2 \cdot 3,14 x + 2(3,14 + 2)y = 32 \iff 1,57x + 2,57y - 8 = 0.\]

- Gọi tổng diện tích của ba bể sục là \(S\text{ (m}^2\text{)}\). Diện tích một bể hình tròn là \(\pi x^2\), diện tích hai bể nửa hình tròn là \(2 \cdot \frac{1}{2}\pi y^2 = \pi y^2\). Khi đó:

\[x^2 + y^2 = \frac{S}{3,14}.\]

- Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xét đường tròn \((C): x^2 + y^2 = \frac{S}{3,14}\) có tâm \(O(0; 0)\), bán kính \(R = \sqrt{\frac{S}{3,14}}\), và đường thẳng \(\Delta: 1,57x + 2,57y - 8 = 0\).

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \((C)\) và \(\Delta\) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương (H.7.15b).

- Do đó, \(R\) nhỏ nhất khi \((C)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) tại điểm \(H\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, tức là:

\[R_{\min} = d(O, \Delta) = \frac{|1,57 \cdot 0 + 2,57 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{1,57^2 + 2,57^2}} = \frac{8}{\sqrt{2,4649 + 6,6049}} = \frac{8}{\sqrt{9,0698}} \approx 2,66\text{ m}.\]

Khi đó, toạ độ tiếp điểm \(H(x; y)\) thoả mãn \(\vec{OH}\) cùng hướng với VTPT \(\vec{n}(1,57; 2,57)\) của \(\Delta\), nên:

\[\begin{cases} x = 1,57k \\ y = 2,57k \end{cases} \implies 1,57(1,57k) + 2,57(2,57k) - 8 = 0 \iff 9,0698k = 8 \iff k \approx 0,882.\]

Suy ra:

\[x \approx 1,57 \cdot 0,882 \approx 1,38\text{ m}, \qquad y \approx 2,57 \cdot 0,882 \approx 2,27\text{ m}.\]

Vậy bán kính bể hình tròn xấp xỉ \(1,38\text{ m}\) và bán kính mỗi bể nửa hình tròn xấp xỉ \(2,27\text{ m}\).

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

HĐ2 Tiếp tuyến của đường tròn và vectơ pháp tuyến

Cho đường tròn \((C): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) và điểm \(M(4; -2)\).
a) Chứng minh điểm \(M(4; -2)\) thuộc đường tròn \((C)\).
b) Xác định tâm và bán kính của \((C)\).
c) Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) (H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng \(\Delta\).

Xem lời giải HĐ2

a) Thay toạ độ điểm \(M(4; -2)\) vào vế trái của phương trình \((C)\):

\[(4 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25.\]

Vậy điểm \(M(4; -2)\) thuộc đường tròn \((C)\).

b) Từ phương trình \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2\), ta có đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1; 2)\) và bán kính \(R = 5\).

c) Tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với bán kính \(IM\), do đó \(\Delta\) nhận \(\vec{MI}\) làm một vectơ pháp tuyến:

\[\vec{MI} = (1 - 4; 2 - (-2)) = (-3; 4).\]

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(4; -2)\) và nhận \(\vec{MI}(-3; 4)\) làm VTPT là:

\[-3(x - 4) + 4(y - (-2)) = 0 \iff -3x + 12 + 4y + 8 = 0 \iff 3x - 4y - 20 = 0.\]

Cho điểm \(M(x_0; y_0)\) thuộc đường tròn \((C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\) (tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\)).

Khi đó, tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại \(M(x_0; y_0)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{MI} = (a - x_0; b - y_0)\) và phương trình:

\[(a - x_0)(x - x_0) + (b - y_0)(y - y_0) = 0.\]

Ví dụ 4 Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5\). Điểm \(M(0; 1)\) có thuộc đường tròn \((C)\) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\) của \((C)\).

Giải

Do \((0 + 1)^2 + (1 - 3)^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5\), nên điểm \(M\) thuộc \((C)\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-1; 3)\). Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M(0; 1)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{MI} = (-1 - 0; 3 - 1) = (-1; 2)\), nên có phương trình:

\[-1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \iff -x + 2y - 2 = 0 \iff x - 2y + 2 = 0.\]

Luyện tập 4 Viết phương trình tiếp tuyến khi phương trình ở dạng khai triển

Cho đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại điểm \(N(1; 0)\).

Xem lời giải Luyện tập 4

Thay toạ độ \(N(1; 0)\) vào vế trái phương trình của \((C)\):

\[1^2 + 0^2 - 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0.\]

Do đó, điểm \(N(1; 0)\) thuộc đường tròn \((C)\).

Phương trình \((C)\) có \(a = 1, b = -2\), do đó tâm của đường tròn là \(I(1; -2)\).

Tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại \(N(1; 0)\) có vectơ pháp tuyến:

\[\vec{NI} = (1 - 1; -2 - 0) = (0; -2), \quad \text{chọn } \vec{n}(0; 1).\]

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) là:

\[0(x - 1) + 1(y - 0) = 0 \iff y = 0.\]

VẬN DỤNG 2 Vật chuyển động văng khỏi quỹ đạo tròn theo hướng tiếp tuyến

Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình \(x^2 + y^2 = 25\). Khi tới vị trí \(M(3; 4)\) thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào?

Xem lời giải Vận dụng 2

Đường tròn \((C): x^2 + y^2 = 25\) có tâm là gốc toạ độ \(O(0; 0)\) và bán kính \(R = 5\).

Vì \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) nên vị trí \(M(3; 4)\) thuộc đường tròn.

Khi vật bị văng tại \(M(3; 4)\), nó chuyển động theo hướng tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\).

Tiếp tuyến này đi qua điểm \(M(3; 4)\) và nhận vectơ \(\vec{MO} = (0 - 3; 0 - 4) = (-3; -4)\) làm vectơ pháp tuyến, hay chọn vectơ pháp tuyến \(\vec{n}(3; 4)\).

Phương trình của đường thẳng tiếp tuyến đó là:

\[3(x - 3) + 4(y - 4) = 0 \iff 3x - 9 + 4y - 16 = 0 \iff 3x + 4y - 25 = 0.\]

Vậy trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng có phương trình \(3x + 4y - 25 = 0\).

Làm bài tập củng cố của bài này →