Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Hàm số lượng giác
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Định nghĩa 4 hàm số lượng giác, tính chẵn lẻ, chu kì tuần hoàn, đồ thị và tính chất biến thiên sin, cos, tan, cot kèm bài toán thực tế.
Bài 3: Hàm số lượng giác
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Định nghĩa 4 hàm số lượng giác, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, khảo sát chi tiết đồ thị và tính chất biến thiên của $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$, cùng bài toán thực tế nhịp thở hô hấp, sóng biển và dao động điều hòa.
- Hàm số lượng giác
- Hàm số chẵn, hàm số lẻ
- Hàm số tuần hoàn, chu kì
- Đồ thị hàm số hình sin
- Nhận biết khái niệm hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn và đặc trưng hình học của đồ thị.
- Nhận biết 4 hàm số lượng giác qua đường tròn lượng giác; lập bảng giá trị trên một chu kì.
- Vẽ đồ thị và phân tích tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm số.
- Giải quyết bài toán thực tiễn: nhịp thở sinh học, sóng biển, dao động điều hòa vật lí.
Giả sử vận tốc $v$ (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức:
trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.
1 Định nghĩa hàm số lượng giác
Hoàn thành bảng giá trị sau:
| $x$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ | $\cot x$ |
|---|---|---|---|---|
| $-\frac{\pi}{6}$ | ? | ? | ? | ? |
| $0$ | ? | ? | ? | ? |
| $\frac{\pi}{2}$ | ? | ? | ? | ? |
Xem lời giải HĐ1
• Tại $x = -\frac{\pi}{6}$: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$.
• Tại $x = 0$: $\sin 0 = 0$, $\cos 0 = 1$, $\tan 0 = 0$, $\cot 0$ không xác định.
• Tại $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, $\tan\frac{\pi}{2}$ không xác định, $\cot\frac{\pi}{2} = 0$.
Với mỗi số thực $x$, ta xác định được duy nhất một điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác $(OA, OM)$ bằng $x$. Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác $\sin x$ và $\cos x$ của $x$ lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm $M$.
Nếu $\cos x \ne 0$, ta định nghĩa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Nếu $\sin x \ne 0$, ta định nghĩa $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Biểu diễn điểm $M(\cos x; \sin x)$ trên đường tròn lượng giác
Định nghĩa bốn hàm số lượng giác & Tập xác định:
• Tập xác định: $\mathbb{R}$.
• Tập xác định: $\mathbb{R}$.
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
Biểu thức $\frac{1}{\cos x}$ có nghĩa khi $\cos x \ne 0$, tức là $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:
Hãy xác định điều kiện để biểu thức $\frac{1}{\sin x}$ có nghĩa và suy ra tập xác định $D$.
Xem lời giải Luyện tập 1
Biểu thức $\frac{1}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x \ne 0$, tức là $x \ne k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hai hàm số $f(x) = x^2$ và $g(x) = x^3$, với các đồ thị như hình dưới đây:
a) Tìm các tập xác định $D_f, D_g$ của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$.
b) Chứng tỏ rằng $f(-x) = f(x), \forall x \in D_f$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ đối với hệ trục tọa độ $Oxy$?
c) Chứng tỏ rằng $g(-x) = -g(x), \forall x \in D_g$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = g(x)$ đối với hệ trục tọa độ $Oxy$?
Xem lời giải HĐ2
a) $D_f = \mathbb{R}$ và $D_g = \mathbb{R}$.
b) $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Đồ thị hàm số $y = x^2$ nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.
c) $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$. Đồ thị hàm số $y = x^3$ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định là $D$:
-
Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = f(x)$.
• Tính chất hình học: Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng. -
Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = -f(x)$.
• Tính chất hình học: Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Do đó $\forall x \in D \implies -x \in D$.
• Ta có: $f(-x) = (-x) \sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)$.
Vậy $f(x) = x\sin x$ là một hàm số chẵn.
Kiểm tra tập đối xứng của miền xác định và tính $g(-x)$ so với $g(x)$.
Xem lời giải Luyện tập 2
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Do đó nếu $x \in D$ thì $-x \in D$.
• Ta có: $g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$.
Vậy $g(x) = \frac{1}{x}$ là một hàm số lẻ.
b) Hàm số tuần hoàn
So sánh các giá trị sau:
Xem lời giải HĐ3
• Dựa vào tính chất góc hơn kém $2\pi$ và $\pi$, ta có:
a) $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ b) $\cos(x + 2\pi) = \cos x$
c) $\tan(x + \pi) = \tan x$ d) $\cot(x + \pi) = \cot x$
Định nghĩa hàm số tuần hoàn:
Hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có:
Số $T$ dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Giải đáp: Với mọi số $T \ne 0$, ta đều có $f(x + T) = c = f(x)$, do đó hàm hằng $f(x) = c$ là một hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên, vì trong tập các số thực dương không có số dương nhỏ nhất, nên hàm hằng không có chu kì.
Chu kì của các hàm số lượng giác cơ bản & hàm hợp:
- Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.
- Hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi$.
📌 Công thức mở rộng chu kì:
• Các hàm số $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ và $y = A\cos(\omega x + \varphi)$ ($\omega \ne 0$) có chu kì là $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$.
• Các hàm số $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ và $y = A\cot(\omega x + \varphi)$ ($\omega \ne 0$) có chu kì là $T = \frac{\pi}{|\omega|}$.
Hàm số có TXĐ là $\mathbb{R}$. Với mọi số thực $x$, ta có $x - \pi \in \mathbb{R}, x + \pi \in \mathbb{R}$ và:
Do đó $y = \sin 2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì là $\pi$.
Xác định chu kì nhỏ nhất thỏa mãn $\tan[2(x + T)] = \tan(2x)$.
Xem lời giải Luyện tập 3
Ta có $\tan[2(x + \frac{\pi}{2})] = \tan(2x + \pi) = \tan 2x$.
Số dương nhỏ nhất làm nên tính chất này là $T = \frac{\pi}{2}$.
Vậy hàm số $y = \tan 2x$ tuần hoàn với chu kì là $T = \frac{\pi}{2}$.
3 Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \sin x$
a) Vì $\sin(-x) = -\sin x$ nên $y = \sin x$ là hàm số lẻ.
b) Bảng giá trị của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$:
| $x$ | $-\pi$ | $-\frac{3\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $0$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ |
Hình 1.14: Đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên $\mathbb{R}$ (đường hình sin)
Tính chất của hàm số $y = \sin x$:
- Tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là $[-1; 1]$.
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{3\pi}{2} + k2\pi\right) \; (k \in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ $O$ và gọi là một đường hình sin.
a) Nhận giá trị bằng 0: Từ đồ thị Hình 1.14 trên $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, ta có $y = 0$ khi $x = 0; x = \pi$.
b) Nhận giá trị dương: Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành, tức là khi $x \in (0; \pi)$.
Sử dụng tính bị chặn của hàm số sin: $-1 \le \sin x \le 1$.
Xem lời giải Luyện tập 4
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-1 \le \sin x \le 1$.
Nhân cả hai vế với 2 ta được: $-2 \le 2\sin x \le 2 \iff -2 \le y \le 2$.
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là: $T = [-2; 2]$.
a) Tìm thời gian của một chu kì hô hấp và số chu kì trong một phút:
Hàm số $v = 0{,}85 \sin\frac{\pi t}{3}$ có $\omega = \frac{\pi}{3}$.
Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ là: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6\text{ (giây)}$.
Trong 1 phút ($60\text{ giây}$), số chu kì hô hấp của người đó là: $\frac{60}{6} = 10\text{ (chu kì)}$.
b) Quá trình hít vào ($v > 0$) và thở ra ($v < 0$) trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây:
• $v > 0 \iff \sin\frac{\pi t}{3} > 0$. Với $t \in [0; 5]$, góc $\frac{\pi t}{3} \in \left[0; \frac{5\pi}{3}\right]$.
Góc này có sin dương khi $0 < \frac{\pi t}{3} < \pi \iff 0 < t < 3$. Vậy người đó hít vào trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giây.
• Người đó thở ra ($v < 0$) khi $\pi < \frac{\pi t}{3} \le \frac{5\pi}{3} \iff 3 < t \le 5$, tức là trong khoảng thời gian từ 3 đến 5 giây.
4 Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \cos x$
a) Vì $\cos(-x) = \cos x$ nên $y = \cos x$ là hàm số chẵn.
b) Bảng giá trị của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$:
| $x$ | $-\pi$ | $-\frac{3\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \cos x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ |
Hình 1.15: Đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên $\mathbb{R}$
Tính chất của hàm số $y = \cos x$:
- Tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là $[-1; 1]$.
- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
- Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi + k2\pi; k2\pi)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi; \pi + k2\pi) \; (k \in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung $Oy$.
a) Nhận giá trị bằng 0: Từ đồ thị Hình 1.15 trên $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, ta có $y = 0$ khi $x = -\frac{3\pi}{2}; x = -\frac{\pi}{2}; x = \frac{\pi}{2}$.
b) Nhận giá trị âm: Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành, tức là khi $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right)$.
Sử dụng bất đẳng thức $-1 \le \cos x \le 1$.
Xem lời giải Luyện tập 5
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-1 \le \cos x \le 1$.
Nhân cả ba vế với $-3$ (đổi chiều bất đẳng thức): $3 \ge -3\cos x \ge -3 \iff -3 \le y \le 3$.
Vậy tập giá trị của hàm số là: $T = [-3; 3]$.
Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình: $x(t) = -5\cos 4\pi t\text{ (cm)}$.
Biến đổi về dạng chuẩn: $x(t) = 5\cos(4\pi t + \pi)\text{ (cm)}$.
a) Biên độ và pha ban đầu: Biên độ dao động $A = 5\text{ cm}$, pha ban đầu $\varphi = \pi\text{ rad}$.
b) Pha tại thời điểm $t = 2\text{ s}$ và số dao động toàn phần:
• Pha của dao động tại $t = 2\text{ s}$ là: $4\pi(2) + \pi = 9\pi\text{ (rad)}$.
• Chu kì dao động: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\text{ (giây)}$.
• Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: $\frac{2}{T} = \frac{2}{0{,}5} = 4\text{ (dao động)}$.
5 Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \tan x$
a) Vì $\tan(-x) = -\tan x$ nên $y = \tan x$ là hàm số lẻ.
b) Bảng giá trị trên khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$:
| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
Hình 1.16: Đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}$
Tính chất của hàm số $y = \tan x$:
- Tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$.
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi$.
- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi\right) \; (k \in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.
a) Nhận giá trị bằng 0: $x = -\pi; x = 0; x = \pi$.
b) Nhận giá trị dương: $x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.
Xác định các giá trị $x \in \left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right] \setminus \left\{\pm\frac{\pi}{2}\right\}$ để $\tan x < 0$.
Xem lời giải Luyện tập 6
Ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành trên đoạn đang xét:
Hàm số nhận giá trị âm khi $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.
6 Đồ thị và tính chất của hàm số $y = \cot x$
a) Vì $\cot(-x) = -\cot x$ nên $y = \cot x$ là hàm số lẻ.
b) Bảng giá trị trên khoảng $(0; \pi)$:
| $x$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{6}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \cot x$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
Hình 1.17: Đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên $\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$
Tính chất của hàm số $y = \cot x$:
- Tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$.
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi$.
- Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi; \pi + k\pi) \; (k \in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.
a) Nhận giá trị bằng 0: $x = -\frac{\pi}{2}; x = \frac{\pi}{2}; x = \frac{3\pi}{2}$.
b) Nhận giá trị âm: $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$.
Xác định các giá trị $x \in \left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] \setminus \{0, \pi\}$ để $\cot x > 0$.
Xem lời giải Luyện tập 7
Ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành trên đoạn đang xét:
Hàm số nhận giá trị dương khi $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.