Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Toán 11 KNTT)
BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Mở đầu hình học không gian: Nắm vững các đối tượng cơ bản gồm điểm, đường thẳng, mặt phẳng; hệ thống 6 tính chất thừa nhận; 3 cách xác định mặt phẳng; phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng; khái niệm và yếu tố của hình chóp và hình tứ diện.
Khái Niệm Mở Đầu
Mặt bảng, mặt bàn, màn hình máy tính hay mặt nước phẳng lặng lúc đứng gió là những hình ảnh trực quan về một phần của mặt phẳng.
Biểu diễn và kí hiệu mặt phẳng:
- Hình biểu diễn: Người ta thường dùng một hình bình hành hoặc một miền góc để biểu diễn một mặt phẳng.
- Kí hiệu: Dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn: chẳng hạn mặt phẳng $(P)$, mặt phẳng $(Q)$, mặt phẳng $(\alpha)$, mặt phẳng $(\beta)$...
Hình 4.1: Biểu diễn mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(\alpha)$
Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh một điểm thuộc một mặt phẳng.
Hình 4.2b: Điểm $A \in (P)$ và $B \notin (P)$
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian (Trang 71 SGK):
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ song song và quan hệ cắt nhau giữa các đường thẳng.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- QUY ƯỚC QUAN TRỌNG: Dùng nét liền (—) để biểu diễn cho các đường nhìn thấy; dùng nét đứt đoạn (- - -) để biểu diễn cho các đường bị che khuất.
Hình 4.3: Nét liền (nhìn thấy) và nét đứt (bị che khuất)
Các Tính Chất Thừa Nhận Của Hình Học Không Gian
Hình học không gian được xây dựng trên nền tảng của 6 tính chất thừa nhận (tiên đề) xuất phát từ thực tiễn:
Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ được kí hiệu là mặt phẳng $(ABC)$ hoặc $(BCA)$, $(CAB)$...
- Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng.
- Nếu không có mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.
Hình 4.5: 4 điểm không đồng phẳng
Luyện tập 1: Cho tứ giác $ABCD$. Do $ABCD$ là tứ giác phẳng nên 4 đỉnh cùng thuộc 1 mặt phẳng, do đó chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng $(ABCD)$ đi qua 3 trong 4 đỉnh!
Khi đó, ta nói đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ (hoặc $(P)$ chứa $d$), kí hiệu: $d \subset (P)$ hoặc $(P) \supset d$.
Hình 4.6: $M \in BC \implies M \in (ABC)$
Đường thẳng chung $d$ của hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng, kí hiệu là: $d = (P) \cap (Q)$.
Bí quyết vàng tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Hình 4.8: Giao tuyến $SG$ của $(SBN)$ và $(SCM)$
Ba Cách Xác Định Một Mặt Phẳng
Một mặt phẳng được xác định duy nhất khi biết một trong ba điều kiện sau:
Qua 3 điểm không thẳng hàng
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$.
Qua 1 điểm & 1 đường thẳng
Đi qua một điểm $A$ và chứa một đường thẳng $d$ không đi qua điểm $A$ đó.
Qua 2 đường thẳng cắt nhau
Chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ (tại giao điểm $M = a \cap b$).
Cho hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ tại điểm $M$. Điểm $S \notin \text{mp}(a, b)$.
• Vì $M \in a \implies M \in \text{mp}(S, a)$; vì $M \in b \implies M \in \text{mp}(S, b)$.
• Cả hai mặt phẳng cùng chứa điểm $S$ và điểm $M$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $SM$.
Hình 4.10: Giao tuyến $SM$
Hình Chóp Và Hình Tứ Diện
A. Khái niệm Hình chóp
Cho đa giác lồi $A_1 A_2 \dots A_n$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác, ta được hình chóp $S.A_1 A_2 \dots A_n$.
- Đỉnh: Điểm $S$.
- Mặt đáy: Đa giác $A_1 A_2 \dots A_n$.
- Các mặt bên: Các tam giác $S A_1 A_2, S A_2 A_3, \dots, S A_n A_1$.
- Các cạnh bên: Các đoạn thẳng $S A_1, S A_2, \dots, S A_n$.
- Các cạnh đáy: Các đoạn thẳng $A_1 A_2, A_2 A_3, \dots, A_n A_1$.
Hình 4.11: Hình chóp tứ giác $S.ABCD$
B. Khái niệm Hình tứ diện
Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$ được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là $ABCD$.
• Có 4 mặt: các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$.
• Có 6 cạnh: $AB, BC, CD, DA, AC, BD$.
• Tứ diện đều: Hình tứ diện có cả 4 mặt đều là tam giác đều.
Để tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện theo quy trình 2 bước:
- Bước 1: Tìm trong mặt phẳng $(\alpha)$ một đường thẳng $a$ sao cho $a$ cùng nằm trong một mặt phẳng với $d$ (thường chọn một mặt phẳng phụ $(\beta)$ chứa $d$, rồi tìm giao tuyến $a = (\alpha) \cap (\beta)$).
- Bước 2: Giao điểm $I = d \cap a$ chính là giao điểm cần tìm: $I = d \cap (\alpha)$.
Bí quyết tìm giao điểm đường và mặt
Cho $E$ nằm trong tam giác $BCD$, đường thẳng $BE$ cắt $CD$ tại $M$. Điểm $F$ nằm trên đoạn $AE$.
• Mặt phẳng phụ chứa $BF$ chính là mặt phẳng $(ABM)$.
• Giao tuyến của $(ABM)$ và $(ACD)$ là đường thẳng $AM$.
• Trong mặt phẳng $(ABM)$, gọi $N = BF \cap AM$.
• Vì $N \in AM \subset (ACD)$ nên $N$ chính là giao điểm của $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.
Hình 4.12: $N = BF \cap (ACD)$