Toán Lớp 11 Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục 6946 lượt xem

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Giới hạn của dãy số

Định nghĩa giới hạn dãy số, các định lý về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, tổng cấp số nhân lùi vô hạn và các kỹ thuật khử dạng vô định chuẩn SGK Toán 11.

1. Định Nghĩa & Các Giới Hạn Cơ Bản (Chuẩn SGK)

ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $0$ khi $n \to +\infty$ nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ hay $\lim u_n = 0$.
Ta nói $\lim u_n = a$ nếu $\lim (u_n - a) = 0$.

Các giới hạn đặc biệt cần nhớ:

$\lim \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$.
$\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$.
$\lim c = c$ (với $c$ là hằng số).

2. Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

CÔNG THỨC TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$ gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của nó là:

$$S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots = \frac{u_1}{1 - q}$$

3. Phương Pháp Khử Dạng Vô Định $\frac{\infty}{\infty}$ và $\infty - \infty$

Ví dụ 1: Chia cho lũy thừa bậc cao nhất của $n$

Tính $\lim \frac{3n^2 - 2n + 5}{2n^2 + 7n - 1}$.

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ bậc cao nhất:

$$L = \lim \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{2 + \frac{7}{n} - \frac{1}{n^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}.$$

Ví dụ 2: Nhân lượng liên hợp dạng $\infty - \infty$

Tính $\lim \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)$.

Lời giải:

Nhân lượng liên hợp $\sqrt{n^2 + 2n} + n$:

$$L = \lim \frac{(n^2 + 2n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \lim \frac{2n}{n\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n} = \lim \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1.$$

Làm bài tập củng cố của bài này →