Khái niệm hàm số liên tục tại điểm, liên tục trên khoảng/đoạn, các định lý cơ bản và ứng dụng định lý Bolzano chứng minh phương trình có nghiệm chuẩn SGK Toán 11.
ĐỊNH NGHĨA LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu:ĐỊNH LÝ BOLZANO (SGK TOÁN 11)
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và thỏa mãn: $$f(a) \cdot f(b) < 0$$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$. Nói cách khác, phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(a; b)$.Chứng minh rằng phương trình $x^3 + 2x - 5 = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; 2)$.
Lời giải:
Xét hàm số $f(x) = x^3 + 2x - 5$. Đây là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục trên đoạn $[1; 2]$.
Ta có: $f(1) = 1^3 + 2(1) - 5 = -2 < 0$.
Và $f(2) = 2^3 + 2(2) - 5 = 8 + 4 - 5 = 7 > 0$.
Vì $f(1) \cdot f(2) = (-2) \cdot 7 = -14 < 0$, nên theo định lý Bolzano, phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1; 2)$.