Nắm vững phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản, phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hóa/mũ hóa, xử lý điều kiện xác định và ứng dụng thực tế chuẩn SGK Toán 11.
Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của lũy thừa. Trong thực tế, phương trình mũ xuất hiện khi mô hình hóa bài toán tăng trưởng dân số, tính số năm gửi tiết kiệm lãi kép hay chu kỳ bán rã của chất phóng xạ.
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN: $a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1)$
- Nếu $b \le 0$: Phương trình vô nghiệm (vì $a^x > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$).CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG GẶP
1. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN: $\log_a x = b \quad (a > 0, a \ne 1)$
Với mọi số thực $b \in \mathbb{R}$, phương trình luôn có nghiệm duy nhất:Bản chất của bất phương trình mũ và lôgarit phụ thuộc chặt chẽ vào tính đồng biến/nghịch biến của cơ số $a$:
| Loại BPT | Khi cơ số $a > 1$ (Đồng biến - GIỮ NGUYÊN CHIỀU) | Khi cơ số $0 < a < 1$ (Nghịch biến - ĐỔI CHIỀU BPT) |
|---|---|---|
| $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ | $$f(x) > g(x)$$ | $$f(x) < g(x)$$ |
| $a^x > b$ ($b > 0$) | $$x > \log_a b$$ | $$x < \log_a b$$ |
| $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ | $$f(x) > g(x) > 0$$ | $$0 < f(x) < g(x)$$ |
| $\log_a x > b$ | $$x > a^b$$ | $$0 < x < a^b$$ (chú ý chặn dưới số 0) |
Giải phương trình: $4^{x + 1} = 8^{2x - 1}$.
Lời giải:
Đưa cả hai vế về cơ số $2$: $4 = 2^2$ và $8 = 2^3$.
Phương trình trở thành: $(2^2)^{x + 1} = (2^3)^{2x - 1} \iff 2^{2(x + 1)} = 2^{3(2x - 1)}$.
Vì cơ số $2 > 0, 2 \ne 1$ nên ta có:
$$2(x + 1) = 3(2x - 1) \iff 2x + 2 = 6x - 3 \iff 4x = 5 \iff x = \frac{5}{4}.$$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\frac{5}{4}\right\}$.
Giải phương trình: $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.
Lời giải:
Nhận xét: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Đặt $t = 3^x$ với điều kiện $t > 0$.
Phương trình trở thành: $t^2 - 4t + 3 = 0 \iff (t - 1)(t - 3) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} t = 1 \ t = 3 \end{array}\right.$ (cả hai đều thỏa mãn $t > 0$).
• Với $t = 1 \implies 3^x = 1 = 3^0 \implies x = 0$.
• Với $t = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.
Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0,\; x_2 = 1$.
Giải phương trình: $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$.
Lời giải:
Bước 1 (Tìm điều kiện): $\begin{cases} x + 3 > 0 \ x - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -3 \ x > 1 \end{cases} \iff x > 1$.
Bước 2 (Biến đổi): Áp dụng công thức cộng lôgarit:
$$\log_2[(x + 3)(x - 1)] = 5 \iff (x + 3)(x - 1) = 2^5 = 32$$
$$\iff x^2 + 2x - 3 = 32 \iff x^2 + 2x - 35 = 0 \iff (x - 5)(x + 7) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = 5 \ x = -7 \end{array}\right.$$
Bước 3 (Đối chiếu điều kiện):
• $x = 5 > 1$ (thỏa mãn).
• $x = -7 < 1$ (loại nghiệm ngoại lai).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 5$.
Giải bất phương trình: $\log_{0.5}(2x - 4) \ge -2$.
Lời giải:
Vì cơ số $a = 0.5 \in (0; 1)$ nên hàm số nghịch biến, BPT đổi chiều và kết hợp điều kiện biểu thức dương:
$$0 < 2x - 4 \le (0.5)^{-2} \iff 0 < 2x - 4 \le \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$$
$$\iff 4 < 2x \le 8 \iff 2 < x \le 4.$$
Vậy tập nghiệm của BPT là nửa khoảng $S = (2; 4]$.