Nắm vững góc giữa hai vectơ, định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian (0° đến 90°), định nghĩa và tính chất hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau hoặc chéo nhau), phương pháp tịnh tiến song song và tích vô hướng chuẩn SGK Toán 11.
ĐỊNH NGHĨA GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm $O$ tùy ý, vẽ $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$ và $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$. Khi đó, góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$, ký hiệu $(\vec{u}, \vec{v})$.Công thức tính góc qua tích vô hướng:
Khác với hai vectơ (có thể tạo thành góc tù đến $180^\circ$), góc giữa hai đường thẳng trong không gian được định nghĩa như sau:
ĐỊNH NGHĨA GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a^\prime$ và $b^\prime$ cùng đi qua một điểm $O$ bất kỳ và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$. Ký hiệu là $(a, b)$.ĐỊNH NGHĨA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là vuông góc với nhau, ký hiệu $a \perp b$, nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$:Các tính chất hình học quan trọng chuẩn SGK:
Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$:
• Chọn một điểm $O$ thích hợp (thường là một đỉnh của hình đa diện nằm trên đường thẳng này).
• Kẻ qua $O$ đường thẳng song song với đường thẳng kia.
• Đưa về tam giác phẳng chứa điểm $O$, tính góc trong tam giác bằng định lý Côsin: $\cos\widehat{AOB} = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 OA \cdot OB}$.
• Nếu $\widehat{AOB} \le 90^\circ \implies (a, b) = \widehat{AOB}$. Nếu $\widehat{AOB} > 90^\circ \implies (a, b) = 180^\circ - \widehat{AOB}$.
Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$. Tính góc giữa hai đường thẳng $A^\prime B$ và $B^\prime C$.
Lời giải:
• Nhận xét: $A^\prime D \parallel B^\prime C$ (vì tứ giác $A^\prime B^\prime C D$ là hình bình hành do có $A^\prime B^\prime \parallel CD$ và $A^\prime B^\prime = CD$).
• Do đó: $(A^\prime B, B^\prime C) = (A^\prime B, A^\prime D) = \widehat{BA^\prime D}$ (hoặc bù với góc này).
• Nối $BD$, ta xét tam giác $A^\prime B D$:
Giả sử cạnh hình lập phương bằng $a$. Khi đó:
$A^\prime B = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông $ABB^\prime A^\prime$).
$A^\prime D = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông $ADD^\prime A^\prime$).
$BD = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông $ABCD$).
Suy ra tam giác $A^\prime B D$ là tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau $\implies \widehat{BA^\prime D} = 60^\circ \le 90^\circ$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $A^\prime B$ và $B^\prime C$ bằng $60^\circ$.
Phương pháp: Để chứng minh $a \perp b$, ta lấy hai VTCP $\vec{u}, \vec{v}$ tương ứng rồi chứng minh $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bằng cách phân tích chúng theo ba vectơ không đồng phẳng xuất phát từ một đỉnh.
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều $ABCD$. Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai cạnh đối diện $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau ($AB \perp CD$).
Lời giải:
Đặt độ dài tất cả các cạnh của tứ diện đều bằng $a$. Chọn đỉnh $A$ làm gốc, biểu diễn:
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$.
Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$:
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$
Vì các mặt của tứ diện đều là các tam giác đều cạnh $a$ có các góc bằng $60^\circ$ nên:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Do đó: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.
Vậy $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD} \implies AB \perp CD$.