Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, điều kiện kiểm tra tính độc lập của hai biến cố và ứng dụng giải bài toán xác suất hỗn hợp.
Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
(Có thể viết gọn là $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$)
Hình 1: Cách kiểm tra hai biến cố có độc lập hay không
Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, thì:
Bài toán: Hai xạ thủ $X$ và $Y$ cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của $X$ là 0.7, của $Y$ là 0.8. Tính xác suất để:
a) Cả hai người đều bắn trúng.
b) Chỉ có một người bắn trúng.
Giải:
Gọi $A$ là biến cố "$X$ bắn trúng" $\Rightarrow P(A) = 0.7, P(\overline{A}) = 0.3$.
Gọi $B$ là biến cố "$Y$ bắn trúng" $\Rightarrow P(B) = 0.8, P(\overline{B}) = 0.2$.
Vì $X, Y$ bắn độc lập nên $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
a) Xác suất cả hai bắn trúng là $P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \times 0.8 = 0.56$.
b) Biến cố "Chỉ có một người bắn trúng" là $C = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.
Hai biến cố này xung khắc nên:
$P(C) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$
$= P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$
$= 0.7 \times 0.2 + 0.3 \times 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38$.