Toán Lớp 11 Chương IX: Đạo hàm 8816 lượt xem

Lý thuyết: Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc cơ bản để tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương) và phương pháp tính đạo hàm của hàm số hợp.

I. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Các công thức cơ bản

Đạo hàm của hằng số: $(C)' = 0$ ($C$ là hằng số)
Đạo hàm của biến số: $(x)' = 1$
Đạo hàm của hàm lũy thừa: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$)
Đạo hàm của hàm căn bậc hai: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ($x > 0$)

II. Các quy tắc tính đạo hàm

Định lí (Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương)

Giả sử $u = u(x)$ và $v = v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

Tổng, hiệu: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
Tích: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Thương: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (với $v = v(x) \neq 0$)

Hệ quả

$(ku)' = k \cdot u'$ ($k$ là hằng số)
$\left( \frac{1}{v} \right)' = -\frac{v'}{v^2}$ (với $v = v(x) \neq 0$)

III. Đạo hàm của hàm số hợp

1. Hàm số hợp

Cho hàm số $u = g(x)$ và $y = f(u)$. Hàm số $y = f(g(x))$ được gọi là hàm số hợp của hai hàm số $f$ và $g$.

2. Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u'_x$ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y'_u$, thì hàm số hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm tại $x$ là:

$y'_x = y'_u \cdot u'_x$

Bảng đạo hàm của hàm hợp thường gặp

$(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$)
$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ ($u > 0$)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^4 - 3x^2 + 2x - 5$.

Giải: $y' = (x^4)' - (3x^2)' + (2x)' - (5)' = 4x^3 - 6x + 2$.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = (2x + 1)^5$.

Giải: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp với $u = 2x + 1 \Rightarrow u' = 2$.

$y' = 5(2x + 1)^4 \cdot (2x + 1)' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$.

Làm bài tập củng cố của bài này →