Lý thuyết: Nguyên hàm và các tính chất cơ bản
Khái niệm nguyên hàm, các tính chất cơ bản và bảng công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp (SGK Toán 12).
THUẬT NGỮ: Nguyên hàm; Họ các nguyên hàm; Bảng nguyên hàm.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Nhận biết khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
• Giải thích một số tính chất cơ bản của nguyên hàm.
• Tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.
Tình huống mở đầu:
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $v(t) = 5 + 3t$ (m/s), với $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau $30$ giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
Ta cần tìm quãng đường $S(t)$ mà máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng $S'(t) = v(t)$. Như vậy, ta cần tìm một hàm số có đạo hàm bằng hàm số $v(t)$ đã cho. Bài toán này dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm nguyên hàm.
HĐ1 (Nhận biết khái niệm nguyên hàm). Cho hai hàm số $f(x) = x^2 + 1$ và $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x$, với $x \in \mathbb{R}$.
a) Tính đạo hàm của hàm số $F(x)$.
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $F'(x)$ và $f(x)$.
a) Ta có: $F'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 + x\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 1 = x^2 + 1$.
b) Nhận xét: $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Ta nói $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng $K$ (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng).
Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$.
Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2x$. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$?
$$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2; \quad G(x) = \frac{x^3}{3} + x^2$$Ta có: $F'(x) = x^2 - 2x$, $G'(x) = x^2 + 2x$.
Vì $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $G(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ vì với $x = 1$, ta có $G'(1) = 3 \neq -1 = f(1)$.
Luyện tập 1. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$?
$$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \ln x; \quad G(x) = \frac{x^2}{2} - \ln x$$Với mọi $x \in (0; +\infty)$, ta có:
• $F'(x) = \left(\frac{1}{2}x^2 + \ln x\right)' = x + \frac{1}{x} = f(x)$. Do đó $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$.
• $G'(x) = \left(\frac{x^2}{2} - \ln x\right)' = x - \frac{1}{x} \neq f(x)$. Do đó $G(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$.
HĐ2 (Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số). Cho hàm số $f(x) = x^3$.
a) Chứng minh rằng hàm số $F(x) = \frac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
b) Hàm số $G(x) = \frac{x^4}{4} + C$ (với $C$ là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ không? Vì sao?
a) Ta có $F'(x) = \left(\frac{x^4}{4}\right)' = \frac{4x^3}{4} = x^3 = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
b) Với mọi hằng số $C$, ta có $G'(x) = \left(\frac{x^4}{4} + C\right)' = \frac{4x^3}{4} + 0 = x^3 = f(x)$. Do đó $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
ĐỊNH LÍ VỀ HỌ NGUYÊN HÀM
Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$. Khi đó:
- Với mỗi hằng số $C$, hàm số $F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$;
- Nếu hàm số $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x \in K$.
Như vậy, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ ($C$ là hằng số). Ta gọi $F(x) + C$ ($C \in \mathbb{R}$) là họ các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$, kí hiệu bởi $\int f(x)dx$:
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số $f(x)$ trên $K$, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ trên $K$ và khi đó: $$\int f(x)dx = F(x) + C, \quad C \text{ là hằng số.}$$ b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ thì $f(x)$ có nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức $f(x)dx$ gọi là vi phân của nguyên hàm $F(x)$, kí hiệu là $dF(x)$. Vậy $dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx$.
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập $K$, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên từng khoảng xác định của nó.
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2$ trên $\mathbb{R}$. Từ đó hãy tìm $\int x^2 dx$.
Vì $\left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} = x^2$ nên $F(x) = \frac{x^3}{3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Do đó, $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.
Luyện tập 2. Tìm $\int x^3 dx$.
Vì $\left(\frac{x^4}{4}\right)' = x^3$ nên $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
HĐ3 (Khám phá nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0).
Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $K$, $k$ là một hằng số khác $0$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.
a) Chứng minh $kF(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $kf(x)$ trên $K$.
b) Nêu nhận xét về $\int kf(x)dx$ và $k\int f(x)dx$.
a) Ta có: $[kF(x)]' = k \cdot F'(x) = k \cdot f(x) = kf(x)$. Vậy $kF(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ trên $K$.
b) Vì $kF(x) + C = k\left(F(x) + \frac{C}{k}\right) = k(F(x) + C_1)$ nên ta có nhận xét: $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ ($k \neq 0$).
TÍNH CHẤT 1
Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm:
a) $\int 3x^2 dx$;
b) $\int -\frac{3}{2}x^2 dx$.
a) $\int 3x^2 dx = 3\int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$.
b) $\int -\frac{3}{2}x^2 dx = -\frac{3}{2}\int x^2 dx = -\frac{3}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C = -\frac{1}{2}x^3 + C$.
Luyện tập 3. Cho hàm số $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$).
a) Chứng minh rằng hàm số $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Từ đó tìm $\int x^n dx$.
b) Từ kết quả câu a, tìm $\int kx^n dx$ ($k$ là hằng số khác $0$).
a) Ta có $F'(x) = \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n = f(x)$.
Do đó $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
b) Với $k \neq 0$, áp dụng Tính chất 1 ta có:
$$\int kx^n dx = k\int x^n dx = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + C.$$
HĐ4 (Khám phá nguyên hàm của một tổng).
Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$, $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ trên $K$.
a) Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$ trên $K$.
b) Nêu nhận xét về $\int [f(x) + g(x)]dx$ và $\int f(x)dx + \int g(x)dx$.
a) Ta có $[F(x) + G(x)]' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$. Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$ trên $K$.
b) Nhận xét: $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.
TÍNH CHẤT 2 VÀ TÍNH CHẤT 3 (NGUYÊN HÀM CỦA TỔNG VÀ HIỆU)
Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm:
a) $\int (x^2 + x)dx$;
b) $\int (4x^3 - 3x^2)dx$.
a) $\int (x^2 + x)dx = \int x^2 dx + \int x dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$.
b) $\int (4x^3 - 3x^2)dx = 4\int x^3 dx - 3\int x^2 dx = x^4 - x^3 + C$.
Luyện tập 4. Tìm:
a) $\int (3x^2 + 1)dx$;
b) $\int (2x - 1)^2 dx$.
a) $\int (3x^2 + 1)dx = 3\int x^2 dx + \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C$.
b) Ta khai triển: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$. Do đó:
$$\int (2x - 1)^2 dx = \int (4x^2 - 4x + 1)dx = 4\int x^2 dx - 4\int x dx + \int 1 dx = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C.$$
Ví dụ 5 (Giải bài toán trong tình huống mở đầu).
Gọi $S(t)$ ($0 \le t \le 30$) là quãng đường máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.
Ta có $v(t) = S'(t)$. Do đó, $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số vận tốc $v(t)$. Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được: $$S(t) = \int v(t)dt = \int (5 + 3t)dt = 5\int dt + 3\int t dt = 5t + \frac{3}{2}t^2 + C.$$ Theo giả thiết, tại thời điểm bắt đầu $t = 0$ máy bay chưa di chuyển nên $S(0) = 0 \implies C = 0$.
Do đó: $S(t) = \frac{3}{2}t^2 + 5t$ (m).
Máy bay rời đường băng khi $t = 30$ (giây) nên: $$S = S(30) = \frac{3}{2} \cdot 30^2 + 5 \cdot 30 = \frac{3}{2} \cdot 900 + 150 = 1\,350 + 150 = 1\,500\text{ (m)} .$$ Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là $S = 1\,500\text{ m}$.
Vận dụng (Bài toán kinh tế - Doanh thu cận biên).
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền $R(x)$ (triệu đồng) thu được khi $x$ đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi $x$ đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số $M_R(x) = R'(x)$. Một công ty công nghệ cho biết tốc độ biến động của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi $M_R(x) = 300 - 0{,}1x$, ở đó $x$ là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán $1\,000$ con chíp.
Hướng dẫn: Vì $R'(x) = M_R(x)$ nên doanh thu $R(x)$ là một nguyên hàm của $M_R(x)$.
Doanh thu $R(x)$ là một nguyên hàm của $M_R(x)$, do đó: $$R(x) = \int M_R(x)dx = \int (300 - 0{,}1x)dx = 300x - 0{,}05x^2 + C.$$ Khi chưa bán sản phẩm nào ($x = 0$), doanh thu bằng $0$ nên $R(0) = 0 \implies C = 0$.
Suy ra hàm doanh thu là: $R(x) = 300x - 0{,}05x^2$ (triệu đồng).
Khi bán $1\,000$ con chíp ($x = 1\,000$), doanh thu của công ty là: $$R(1\,000) = 300 \cdot 1\,000 - 0{,}05 \cdot (1\,000)^2 = 300\,000 - 50\,000 = 250\,000\text{ (triệu đồng)} = 250\text{ tỉ đồng}.$$
a) Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Hàm số $y = x^\alpha$, với $\alpha \in \mathbb{R}$, được gọi là hàm số luỹ thừa. Tập xác định của hàm số luỹ thừa $y = x^\alpha$ tuỳ thuộc vào giá trị của $\alpha$:
- Với $\alpha$ nguyên dương, tập xác định là $\mathbb{R}$;
- Với $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng $0$, tập xác định là $\mathbb{R} \setminus \{0\}$;
- Với $\alpha$ không nguyên, tập xác định là $(0; +\infty)$.
Ở lớp 11, ta đã biết đạo hàm của hàm số $y = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) và $y = \sqrt{x}$ là: $(x^n)' = n x^{n-1}$; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ hay $(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ ($x > 0$).
? (Dấu hỏi chấm). Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số luỹ thừa $y = x^\alpha$ ($x > 0$), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với $x > 0$:
$$y = \frac{1}{x^4}; \quad y = x^{\sqrt{2}}; \quad y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$$• $y = \frac{1}{x^4} = x^{-4} \implies y' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.
• $y = x^{\sqrt{2}} \implies y' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2} - 1}$.
• $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3} \implies y' = -\frac{1}{3}x^{-4/3} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.
HĐ5 (Khám phá nguyên hàm của hàm số luỹ thừa).
a) Với $\alpha \neq -1$, tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ ($x > 0$).
b) Cho hàm số $y = \ln |x|$ ($x \neq 0$). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: $x > 0$ và $x < 0$.
a) Với $x > 0$ và $\alpha \neq -1$: $\left(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right)' = \frac{1}{\alpha+1} \cdot (\alpha+1)x^\alpha = x^\alpha$.
b) Với $x > 0$: $(\ln |x|)' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Với $x < 0$: $|x| = -x \implies (\ln |x|)' = [\ln(-x)]' = \frac{(-x)'}{-x} = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$.
Vậy với mọi $x \neq 0$, ta đều có $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$.
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA
Ví dụ 6. Tìm:
a) $\int \sqrt{x}dx$ ($x > 0$);
b) $\int \frac{1}{x^3}dx$;
c) $\int \left(2x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$.
a) $\int \sqrt{x}dx = \int x^{1/2}dx = \frac{x^{1/2+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.
b) $\int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3}dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.
c) $\int \left(2x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx = 2\int x^2 dx + 3\int x^{-1/2}dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot 2x^{1/2} + C = \frac{2}{3}x^3 + 6\sqrt{x} + C$.
Luyện tập 5. Tìm:
a) $\int \frac{1}{x^4}dx$;
b) $\int x\sqrt{x}dx$ ($x > 0$);
c) $\int \left(\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}\right)dx$ ($x > 0$).
a) $\int \frac{1}{x^4}dx = \int x^{-4}dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.
b) Với $x > 0$: $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
$$\int x\sqrt{x}dx = \int x^{3/2}dx = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C.$$ c) Với $x > 0$: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Ta có:
$$\int \left(\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}\right)dx = 3\int \frac{1}{x}dx - 5\int x^{1/3}dx = 3\ln x - 5 \cdot \frac{x^{4/3}}{\frac{4}{3}} + C = 3\ln x - \frac{15}{4}x\sqrt[3]{x} + C.$$
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác
HĐ6 (Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác).
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây:
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 7. Tìm:
a) $\int (\cos x + \sin x)dx$;
b) $\int \left(2\cos x - \frac{1}{\cos^2 x}\right)dx$.
a) $\int (\cos x + \sin x)dx = \int \cos x dx + \int \sin x dx = \sin x - \cos x + C$.
b) $\int \left(2\cos x - \frac{1}{\cos^2 x}\right)dx = 2\int \cos x dx - \int \frac{1}{\cos^2 x}dx = 2\sin x - \tan x + C$.
Luyện tập 6. Tìm:
a) $\int (3\cos x - 4\sin x)dx$;
b) $\int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}\right)dx$.
a) $\int (3\cos x - 4\sin x)dx = 3\int \cos x dx - 4\int \sin x dx = 3\sin x - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$.
b) $\int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}\right)dx = \int \frac{1}{\cos^2 x}dx - \int \frac{1}{\sin^2 x}dx = \tan x - (-\cot x) + C = \tan x + \cot x + C$.
c) Nguyên hàm của hàm số mũ
HĐ7 (Khám phá nguyên hàm của hàm số mũ).
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây:
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
Ví dụ 8. Tìm:
a) $\int 2^x dx$;
b) $\int \frac{1}{3^x}dx$;
c) $\int (2e^x - 5^x)dx$.
a) $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.
b) $\int \frac{1}{3^x}dx = \int \left(\frac{1}{3}\right)^x dx = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln \frac{1}{3}} + C = -\frac{1}{3^x \ln 3} + C$.
c) $\int (2e^x - 5^x)dx = 2\int e^x dx - \int 5^x dx = 2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$.
Luyện tập 7. Tìm:
a) $\int 4^x dx$;
b) $\int \frac{1}{e^x}dx$;
c) $\int \left(2 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 7^x\right)dx$.
a) $\int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C$.
b) $\int \frac{1}{e^x}dx = \int e^{-x}dx = -e^{-x} + C = -\frac{1}{e^x} + C$.
c) $\int \left(2 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 7^x\right)dx = 2\int 3^x dx - \frac{1}{3}\int 7^x dx = \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3\ln 7} + C$.
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có thể tìm được nguyên hàm của nhiều hàm số khác.
Bài 4.1.
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F(x)$ có là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) $F(x) = x\ln x$ và $f(x) = 1 + \ln x$ trên khoảng $(0; +\infty)$;
b) $F(x) = e^{\sin x}$ và $f(x) = e^{\cos x}$ trên $\mathbb{R}$.
a) Với mọi $x \in (0; +\infty)$, áp dụng quy tắc đạo hàm của tích ta có:
$$F'(x) = (x\ln x)' = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 = f(x).$$ Vì $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in (0; +\infty)$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $(0; +\infty)$.
b) Với mọi $x \in \mathbb{R}$, áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp ta có:
$$F'(x) = (e^{\sin x})' = (\sin x)' \cdot e^{\sin x} = \cos x \cdot e^{\sin x}.$$ Do $\cos x \cdot e^{\sin x} \neq e^{\cos x} = f(x)$ (ví dụ tại $x = 0$, $F'(0) = 1 \cdot e^0 = 1$ nhưng $f(0) = e^1 = e \neq 1$) nên $F(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Bài 4.2.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$;
b) $f(x) = x^3 - x$;
c) $f(x) = (2x + 1)^2$;
d) $f(x) = \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2$.
a) $\int (3x^2 + 2x - 1)dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C$.
b) $\int (x^3 - x)dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C$.
c) Khai triển: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
$$\int (2x + 1)^2 dx = \int (4x^2 + 4x + 1)dx = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C.$$
d) Khai triển với $x \neq 0$: $\left(2x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}$.
$$\int \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2 dx = \int \left(4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}\right)dx = \frac{4}{3}x^3 - 4x - \frac{1}{x} + C.$$
Bài 4.3.
Tìm:
a) $\int \left(3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$;
b) $\int \sqrt{x}(7x^2 - 3)dx$ ($x > 0$);
c) $\int \frac{(2x+1)^2}{x^2}dx$;
d) $\int \left(2^x + \frac{3}{x^2}\right)dx$.
a) Ta có với $x > 0$: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ và $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.
$$\int \left(3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx = 3\int x^{1/2}dx + \int x^{-1/2}dx = 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C = 2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.$$
b) Biến đổi: $\sqrt{x}(7x^2 - 3) = 7x^{5/2} - 3x^{1/2}$.
$$\int \sqrt{x}(7x^2 - 3)dx = 7\int x^{5/2}dx - 3\int x^{1/2}dx = 7 \cdot \frac{2}{7}x^{7/2} - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C = 2x^3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C.$$
c) Khai triển tử số và chia cho mẫu: $\frac{(2x+1)^2}{x^2} = \frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} = 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}$.
$$\int \frac{(2x+1)^2}{x^2}dx = \int \left(4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = 4x + 4\ln |x| - \frac{1}{x} + C.$$
d) $\int \left(2^x + \frac{3}{x^2}\right)dx = \int 2^x dx + 3\int x^{-2}dx = \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C$.
Bài 4.4.
Tìm:
a) $\int \left(2\cos x - \frac{3}{\sin^2 x}\right)dx$;
b) $\int 4\sin^2 \frac{x}{2}dx$;
c) $\int \left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$;
d) $\int (x + \tan^2 x)dx$.
a) $\int \left(2\cos x - \frac{3}{\sin^2 x}\right)dx = 2\int \cos x dx - 3\int \frac{1}{\sin^2 x}dx = 2\sin x - 3(-\cot x) + C = 2\sin x + 3\cot x + C$.
b) Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \implies 4\sin^2 \frac{x}{2} = 2(1 - \cos x) = 2 - 2\cos x$.
$$\int 4\sin^2 \frac{x}{2}dx = \int (2 - 2\cos x)dx = 2x - 2\sin x + C.$$
c) Khai triển hằng đẳng thức:
$$\left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2 = \sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \sin x.$$ $$\implies \int \left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx = \int (1 - \sin x)dx = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C.$$
d) Ta có đẳng thức lượng giác: $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \implies \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$. Do đó:
$$\int (x + \tan^2 x)dx = \int \left(x + \frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)dx = \frac{x^2}{2} + \tan x - x + C.$$
Bài 4.5.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$. Biết rằng, $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$ với mọi $x \in (0; +\infty)$ và $f(1) = 1$. Tính giá trị $f(4)$.
Vì $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$ trên $(0; +\infty)$, ta có: $$f(x) = \int f'(x)dx = \int \left(2x + \frac{1}{x^2}\right)dx = x^2 - \frac{1}{x} + C.$$ Theo giả thiết, $f(1) = 1$ nên ta thay $x = 1$ vào công thức: $$1^2 - \frac{1}{1} + C = 1 \implies 0 + C = 1 \implies C = 1.$$ Do đó, biểu thức của hàm số là $f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 1$ với mọi $x \in (0; +\infty)$.
Tại $x = 4$: $$f(4) = 4^2 - \frac{1}{4} + 1 = 16 - 0{,}25 + 1 = 16{,}75 = \frac{67}{4}.$$
Bài 4.6.
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$. Xét điểm $M(x; f(x))$ thay đổi trên $(C)$. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ là $k_M = (x - 1)^2$ và điểm $M$ trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f(x)$.
Ta biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(x; f(x))$ là $f'(x)$. Do đó: $$f'(x) = k_M = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1.$$ Suy ra hàm số $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$: $$f(x) = \int (x^2 - 2x + 1)dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C.$$ Điểm $M(x; f(x))$ nằm trên trục tung khi hoành độ $x = 0$. Theo đề bài, khi đó $M$ trùng với gốc toạ độ $O(0; 0)$, nghĩa là $f(0) = 0$.
Thay $x = 0$ vào $f(x)$ ta được: $$\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 + C = 0 \implies C = 0.$$ Vậy biểu thức của hàm số là: $$f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x.$$
Bài 4.7 (Bài toán chuyển động ném thẳng đứng).
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t) = 160 - 9{,}8t$ (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau $t = 5$ giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Gọi $h(t)$ là độ cao của viên đạn tại thời điểm $t \ge 0$ tính từ mặt đất.
Theo ý nghĩa vật lí của đạo hàm, ta có $h'(t) = v(t) = 160 - 9{,}8t$.
Do đó $h(t)$ là một nguyên hàm của hàm số vận tốc $v(t)$: $$h(t) = \int v(t)dt = \int (160 - 9{,}8t)dt = 160t - 4{,}9t^2 + C.$$ Vì viên đạn được bắn lên từ mặt đất nên tại thời điểm ban đầu $t = 0$, độ cao $h(0) = 0 \implies C = 0$.
Vậy công thức độ cao là: $$h(t) = 160t - 4{,}9t^2\text{ (m)}.$$
a) Sau $t = 5$ giây, độ cao của viên đạn là: $$h(5) = 160 \cdot 5 - 4{,}9 \cdot 5^2 = 800 - 4{,}9 \cdot 25 = 800 - 122{,}5 = 677{,}5\text{ (m)}.$$
b) Khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất, vận tốc tức thời của nó triệt tiêu: $$v(t) = 0 \iff 160 - 9{,}8t = 0 \iff t = \frac{160}{9{,}8} = \frac{800}{49} \approx 16{,}33\text{ (giây)}.$$ Khi đó, độ cao lớn nhất mà viên đạn đạt được là: $$h_{\max} = h\left(\frac{800}{49}\right) = 160 \cdot \left(\frac{800}{49}\right) - 4{,}9 \cdot \left(\frac{800}{49}\right)^2 = \frac{128\,000}{49} - \frac{64\,000}{49} = \frac{64\,000}{49} \approx 1\,306{,}1\text{ (m)}.$$