Lý thuyết: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 4$.

Giải:

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

• Đạo hàm $y' = -3x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
• Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
• Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, $y_{CT} = -4$; đạt cực đại tại $x = 2$, $y_{CĐ} = 0$.
• Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị (Hình 1.28): Giao điểm với trục tung là $(0; -4)$, với trục hoành là $(2; 0)$ và $(-1; 0)$. Điểm uốn $I(1; -2)$ là tâm đối xứng.

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$.

Giải: (Tương tự, hàm số luôn đồng biến, không có cực trị).

Đồ thị (Hình 1.29) cắt trục hoành tại $(1; 0)$, trục tung tại $(0; -1)$, có tâm đối xứng là điểm uốn $(\frac{2}{3}; -\frac{7}{27})$.

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. Sự biến thiên:

• Đạo hàm $y' = \frac{-3}{(x-2)^2} < 0$ với mọi $x \neq 2$.
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Không có cực trị.
• Tiệm cận đứng: $x = 2$; Tiệm cận ngang: $y = 1$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị (Hình 1.30): Giao với Oy tại $(0; -0.5)$, giao với Ox tại $(-1; 0)$. Nhận giao điểm tiệm cận $I(2; 1)$ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$.

Giải:

Viết $y = x + 1 + \frac{1}{x-2}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. Sự biến thiên:

• Đạo hàm $y' = 1 - \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
• Tiệm cận đứng: $x = 2$; Tiệm cận xiên: $y = x + 1$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị (Hình 1.31): Có hai nhánh, nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng.