Lý thuyết: Ứng dụng hình học của tích phân (Tính diện tích & thể tích)
THUẬT NGỮ: Hình phẳng; Thể tích; Khối tròn xoay.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Sử dụng tích phân để tính diện tích của một số hình phẳng.
• Sử dụng tích phân để tính thể tích của một số vật thể và khối tròn xoay.
Mở đầu:
Trong phần Hình học ở Trung học cơ sở và lớp 11, chúng ta đã được học công thức tính thể tích của nhiều vật thể trong không gian như khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt đều, khối trụ, khối nón, khối cầu. Tuy nhiên, ta thường phải thừa nhận các công thức này.
Bài học này sẽ cung cấp một phương pháp tổng quát giúp ta thiết lập một cách dễ dàng tất cả các công thức tính diện tích và thể tích đã được học, cũng như tính được diện tích, thể tích của các vật thể phức tạp hơn gặp trong thực tiễn.
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$
HĐ1 (Nhận biết công thức tính diện tích). Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = f(x) = x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -2, x = 1$ (Hình 4.12).
a) Tính diện tích $S$ của hình phẳng này.
b) Tính $\int_{-2}^1 |f(x)|dx$ và so sánh với $S$.
a) Đường thẳng $y = x + 1$ cắt trục hoành tại điểm $(-1; 0)$. Hình phẳng gồm hai phần hình tam giác vuông:
• Tam giác thứ nhất có các đỉnh $(-2; 0), (-1; 0), (-2; -1)$: hai cạnh góc vuông có độ dài là $1$ và $1 \implies S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
• Tam giác thứ hai có các đỉnh $(-1; 0), (1; 0), (1; 2)$: hai cạnh góc vuông có độ dài là $2$ và $2 \implies S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Do đó diện tích hình phẳng là: $$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.$$
b) Ta tính tích phân bằng cách tách cận tại điểm nghiệm $x = -1$:
$$\int_{-2}^1 |x + 1|dx = \int_{-2}^{-1} -(x + 1)dx + \int_{-1}^1 (x + 1)dx$$ $$= \left.\left(-\frac{x^2}{2} - x\right)\right|_{-2}^{-1} + \left.\left(\frac{x^2}{2} + x\right)\right|_{-1}^1 = \left[\left(-\frac{1}{2} + 1\right) - (-2 + 2)\right] + \left[\left(\frac{1}{2} + 1\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right)\right] = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.$$
So sánh: $S = \int_{-2}^1 |f(x)|dx$.
ĐỊNH LÍ (CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TỔNG QUÁT)
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ ($a < b$), được tính bằng công thức: $$S = \int_a^b |f(x)|dx$$
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ (Hình 4.13).
Diện tích hình phẳng cần tính là: $$S = \int_0^2 |x^3|dx = \int_0^2 x^3 dx = \left.\frac{x^4}{4}\right|_0^2 = 4 - 0 = 4.$$
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2\pi$ (Hình 4.14).
Diện tích hình phẳng cần tính là: $$S = \int_0^{2\pi} |\sin x|dx = \int_0^\pi |\sin x|dx + \int_\pi^{2\pi} |\sin x|dx$$ $$= \int_0^\pi \sin x dx + \int_\pi^{2\pi} (-\sin x)dx = \left.-\cos x\right|_0^\pi + \left.\cos x\right|_\pi^{2\pi} = -(-1 - 1) + (1 - (-1)) = 2 + 2 = 4.$$
Luyện tập 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2 - 4$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 3$ (Hình 4.15).
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 - 4 = 0 \iff x = 2$ (do $x \in [0; 3]$).
• Trên $[0; 2]$, $x^2 - 4 \le 0 \implies |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
• Trên $[2; 3]$, $x^2 - 4 \ge 0 \implies |x^2 - 4| = x^2 - 4$.
Do đó diện tích hình phẳng là: $$S = \int_0^3 |x^2 - 4|dx = \int_0^2 (4 - x^2)dx + \int_2^3 (x^2 - 4)dx$$ $$= \left.\left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2 + \left.\left(\frac{x^3}{3} - 4x\right)\right|_2^3 = \left(8 - \frac{8}{3}\right) + \left[\left(9 - 12\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right)\right] = \frac{16}{3} + \left(-3 + \frac{16}{3}\right) = \frac{23}{3}.$$
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng $x = a, x = b$
HĐ2 (Nhận biết công thức tính diện tích). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = f(x) = -x^2 + 4x$, $y = g(x) = x$ và hai đường thẳng $x = 1, x = 3$ (Hình 4.16).
a) Giả sử $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = -x^2 + 4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 3$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 3$. Tính $S_1, S_2$ và từ đó suy ra $S$.
b) Tính $\int_1^3 |f(x) - g(x)|dx$ và so sánh với $S$.
a) Trên đoạn $[1; 3]$, cả hai hàm số $f(x) = -x^2 + 4x$ và $g(x) = x$ đều không âm và $f(x) \ge g(x)$.
• $S_1 = \int_1^3 (-x^2 + 4x)dx = \left.\left(-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right)\right|_1^3 = (-9 + 18) - \left(-\frac{1}{3} + 2\right) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{22}{3}$.
• $S_2 = \int_1^3 x dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$.
• Diện tích miền phẳng là: $S = S_1 - S_2 = \frac{22}{3} - 4 = \frac{10}{3}$.
b) Vì trên $[1; 3]$, $-x^2 + 4x \ge x \implies |f(x) - g(x)| = (-x^2 + 4x) - x = -x^2 + 3x$.
$$\int_1^3 |f(x) - g(x)|dx = \int_1^3 (-x^2 + 3x)dx = \left.\left(-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right)\right|_1^3 = \left(-9 + \frac{27}{2}\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.$$
So sánh: $S = \int_1^3 |f(x) - g(x)|dx$.
ĐỊNH LÍ (DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ)
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$, được tính bằng công thức: $$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx$$
Chú ý: Nếu hiệu $f(x) - g(x)$ không đổi dấu trên đoạn $[a; b]$ thì: $$\int_a^b |f(x) - g(x)|dx = \left|\int_a^b [f(x) - g(x)]dx\right|$$
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y = 4 - x^2$, $y = x^2$ và hai đường thẳng $x = -1, x = 1$ (Hình 4.17).
Trên đoạn $[-1; 1]$, ta có $4 - x^2 \ge x^2 \iff 4 - 2x^2 \ge 0$. Do đó: $$S = \int_{-1}^1 |(4 - x^2) - x^2|dx = \int_{-1}^1 |4 - 2x^2|dx = \int_{-1}^1 (4 - 2x^2)dx$$ $$= \left.\left(4x - \frac{2}{3}x^3\right)\right|_{-1}^1 = \left(4 - \frac{2}{3}\right) - \left(-4 + \frac{2}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{20}{3}.$$
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$ và hai đường thẳng $x = 0, x = \frac{\pi}{4}$ (Hình 4.18).
Trên đoạn $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, ta có $\cos x \ge \sin x \implies |\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$.
Diện tích hình phẳng cần tính là: $$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} |\sin x - \cos x|dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x)dx = \left.(\sin x + \cos x)\right|_0^{\frac{\pi}{4}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1.$$
Luyện tập 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ và hai đường thẳng $x = 1, x = 4$.
Xét hiệu $f(x) - g(x) = \sqrt{x} - (x - 2) = \sqrt{x} - x + 2$ trên đoạn $[1; 4]$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $\sqrt{x} - x + 2 = 0 \iff x - \sqrt{x} - 2 = 0 \iff (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2) = 0 \iff \sqrt{x} = 2 \iff x = 4$.
Với mọi $x \in [1; 4)$, hàm số $\sqrt{x} - x + 2 > 0$ (thử tại $x = 1$ ta được $1 - 1 + 2 = 2 > 0$). Do đó: $$S = \int_1^4 |\sqrt{x} - (x - 2)|dx = \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)dx = \left.\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} + 2x\right)\right|_1^4$$ $$= \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - 8 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) = \frac{16}{3} - \frac{13}{6} = \frac{19}{6}.$$
Vận dụng 1 (Kinh tế: Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất).
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá $p$ của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá $p$ của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau $(x_0; p_0)$ của đồ thị hàm cầu $p = D(x)$ và đồ thị hàm cung $p = S(x)$ được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$ là thặng dư tiêu dùng ($CS$). Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường nằm ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$ được gọi là thặng dư sản xuất ($PS$) (Hình 4.19).
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi:
• Hàm cầu: $p = -0{,}36x + 9$
• Hàm cung: $p = 0{,}14x + 2$
trong đó $x$ là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
1. Tìm điểm cân bằng $(x_0; p_0)$:
Giải phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung: $$-0{,}36x + 9 = 0{,}14x + 2 \iff 0{,}5x = 7 \iff x_0 = 14.$$ Giá cân bằng tương ứng là: $$p_0 = -0{,}36(14) + 9 = -5{,}04 + 9 = 3{,}96.$$
2. Tính thặng dư tiêu dùng ($CS$):
$$CS = \int_0^{x_0} [D(x) - p_0]dx = \int_0^{14} [(-0{,}36x + 9) - 3{,}96]dx = \int_0^{14} (-0{,}36x + 5{,}04)dx$$ $$= \left.\left(-0{,}18x^2 + 5{,}04x\right)\right|_0^{14} = -0{,}18(196) + 5{,}04(14) = -35{,}28 + 70{,}56 = 35{,}28.$$
3. Tính thặng dư sản xuất ($PS$):
$$PS = \int_0^{x_0} [p_0 - S(x)]dx = \int_0^{14} [3{,}96 - (0{,}14x + 2)]dx = \int_0^{14} (1{,}96 - 0{,}14x)dx$$ $$= \left.\left(1{,}96x - 0{,}07x^2\right)\right|_0^{14} = 1{,}96(14) - 0{,}07(196) = 27{,}44 - 13{,}72 = 13{,}72.$$
Vậy thặng dư tiêu dùng là $35{,}28$ đơn vị tiền tệ và thặng dư sản xuất là $13{,}72$ đơn vị tiền tệ.
a) Tính thể tích của vật thể
HĐ3 (Nhận biết công thức tính thể tích vật thể). Xét hình trụ có bán kính đáy $R$, có trục là trục hoành $Ox$, nằm giữa hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b$ ($a < b$) (Hình 4.20).
a) Tính thể tích $V$ của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt $S(x)$ khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ ($a \le x \le b$). Từ đó tính $\int_a^b S(x)dx$ và so sánh với $V$.
a) Chiều cao của hình trụ là khoảng cách giữa hai mặt đáy: $h = b - a$.
Thể tích của hình trụ là: $V = B \cdot h = \pi R^2 (b - a)$.
b) Khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm $x$, thiết diện nhận được là một hình tròn có bán kính bằng bán kính đáy $R$.
Do đó diện tích mặt cắt là: $S(x) = \pi R^2$ (hằng số đối với mọi $x \in [a; b]$).
Ta tính tích phân: $$\int_a^b S(x)dx = \int_a^b \pi R^2 dx = \left.(\pi R^2 x)\right|_a^b = \pi R^2(b - a) = V.$$
So sánh: $V = \int_a^b S(x)dx$.
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TỔNG QUÁT
Cho một vật thể trong không gian $Oxyz$. Gọi $\mathcal{B}$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x = a, x = b$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ cắt vật thể theo một mặt cắt có diện tích là $S(x)$.
Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$. Khi đó thể tích $V$ của phần vật thể $\mathcal{B}$ được tính bởi công thức: $$V = \int_a^b S(x)dx$$
Ví dụ 5. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $S$ và chiều cao bằng $h$ (Hình 4.22).
Chọn trục $Ox$ song song với đường cao của khối lăng trụ và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại $x = 0$ và $x = h$.
Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \le x \le h$) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là $S(x) = S$.
Do đó, thể tích của khối lăng trụ là: $$V = \int_0^h S(x)dx = \int_0^h S dx = \left.Sx\right|_0^h = Sh.$$
Ví dụ 6. Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh $L$ và chiều cao là $h$ (Hình 4.23).
Chọn trục $Ox$ sao cho gốc $O$ trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. Khi đó, đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại $x = h$.
Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \le x \le h$), cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là $a$.
Theo định lí Thalès, ta có: $$\frac{x}{h} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{L}{2}} \implies a = \frac{L}{h}x.$$ Do đó, diện tích của mặt cắt này là: $S(x) = a^2 = \frac{L^2}{h^2}x^2$.
Vậy thể tích của khối chóp này là: $$V = \int_0^h S(x)dx = \int_0^h \frac{L^2}{h^2}x^2 dx = \left.\frac{L^2}{h^2}\frac{x^3}{3}\right|_0^h = \frac{1}{3}L^2 h.$$
Chú ý: Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao của nó: $V = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}} \cdot h$.
Vận dụng 2 (Thể tích khối chóp cụt đều).
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là $S_0, S_1$ và chiều cao bằng $h$ (Hình 4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng $S$ và chiều cao bằng $h$.
Giả sử khối chóp cụt được tạo thành bằng cách cắt một khối chóp lớn có đỉnh $O$ bởi hai mặt phẳng song song với đáy, vuông góc với trục $Ox$ tại $x = a$ và $x = a + h$.
Tại vị trí $x$, mặt cắt đồng dạng với đáy nhỏ theo tỉ số $\frac{x}{a}$, do đó diện tích mặt cắt $S(x)$ thoả mãn: $$\frac{S(x)}{S_0} = \left(\frac{x}{a}\right)^2 \implies S(x) = S_0 \frac{x^2}{a^2} = k x^2 \quad \left(\text{với } k = \frac{S_0}{a^2}\right).$$ Tại $x = a + h$, ta có $S_1 = k(a+h)^2 \implies \sqrt{S_1} = \sqrt{k}(a+h)$, và $\sqrt{S_0} = \sqrt{k}a$. Do đó: $$\sqrt{S_1} - \sqrt{S_0} = \sqrt{k}h \implies \sqrt{k} = \frac{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_0}}{h}.$$
Thể tích khối chóp cụt là: $$V = \int_a^{a+h} S(x)dx = \int_a^{a+h} k x^2 dx = \left.k \frac{x^3}{3}\right|_a^{a+h} = \frac{k}{3}[(a+h)^3 - a^3]$$ $$= \frac{k}{3}(a+h - a)[(a+h)^2 + (a+h)a + a^2] = \frac{h}{3}[k(a+h)^2 + \sqrt{k}(a+h)\sqrt{k}a + ka^2] = \frac{h}{3}(S_1 + \sqrt{S_1 S_0} + S_0).$$
Hệ quả: Khi diện tích đáy trên thu về $0$ ($S_0 = 0, S_1 = S$), khối chóp cụt trở thành khối chóp đều và công thức trở thành: $$V = \frac{1}{3}h(S + 0 + 0) = \frac{1}{3}Sh.$$
b) Tính thể tích khối tròn xoay
HĐ4 (Nhận biết công thức thể tích khối tròn xoay). Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{2}x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 4$. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục $Ox$ ta được khối nón có đỉnh là gốc $O$, trục là $Ox$ và đáy là hình tròn bán kính bằng $2$ (Hình 4.25).
a) Tính thể tích $V$ của khối nón.
b) Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $x$ ($0 \le x \le 4$) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là $f(x)$, do đó diện tích mặt cắt là $S(x) = \pi f^2(x)$. Tính $\int_0^4 \pi f^2(x)dx$ và so sánh với $V$.
a) Khối nón có bán kính đáy $R = 2$, chiều cao $h = 4$. Do đó: $$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 4 = \frac{16\pi}{3}.$$
b) Vì $f(x) = \frac{1}{2}x$, diện tích mặt cắt tại điểm $x$ là $S(x) = \pi [f(x)]^2 = \pi \left(\frac{1}{2}x\right)^2 = \frac{\pi}{4}x^2$.
Ta tính tích phân: $$\int_0^4 \pi f^2(x)dx = \int_0^4 \frac{\pi}{4}x^2 dx = \left.\frac{\pi}{4} \cdot \frac{x^3}{3}\right|_0^4 = \frac{\pi}{12} \cdot 64 = \frac{16\pi}{3}.$$
So sánh: $V = \int_0^4 \pi f^2(x)dx$.
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY
Cho hàm số $f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a; b]$. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.
Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x \in [a; b]$ được một hình tròn có bán kính $f(x)$. Thể tích của khối tròn xoay này là: $$V = \pi \int_a^b f^2(x)dx$$
Ví dụ 7. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$ (Hình 4.26).
Thể tích khối tròn xoay cần tính là: $$V = \pi \int_0^1 f^2(x)dx = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^1 x dx = \left.\frac{\pi x^2}{2}\right|_0^1 = \frac{\pi}{2}.$$
Ví dụ 8. Tính thể tích của khối cầu bán kính $R$ (Hình 4.27).
Khối cầu bán kính $R$ có thể xem là vật thể sinh ra khi quay quanh trục hoành nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ ($-R \le x \le R$), trục hoành và hai đường thẳng $x = -R, x = R$.
Do đó, thể tích của khối cầu bán kính $R$ là: $$V = \pi \int_{-R}^R (\sqrt{R^2 - x^2})^2 dx = \pi \int_{-R}^R (R^2 - x^2)dx = \left.\pi \left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right)\right|_{-R}^R$$ $$= \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right] = \pi \left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3.$$
Vận dụng 3 (Khối nón cụt).
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông $OABC$ trong mặt phẳng $Oxy$ với $OA = h, AB = R$ và $OC = r$, quanh trục $Ox$ (Hình 4.28).
b) Từ công thức thu được ở câu a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao $h$.
a) Đặt toạ độ các đỉnh: $O(0; 0), A(h; 0), C(0; r), B(h; R)$.
Đường thẳng $BC$ đi qua $C(0; r)$ và có hệ số góc $m = \frac{R - r}{h}$, có phương trình: $$y = \frac{R - r}{h}x + r.$$ Khi quay quanh trục $Ox$, thể tích khối nón cụt tạo thành là: $$V = \pi \int_0^h y^2 dx = \pi \int_0^h \left(\frac{R - r}{h}x + r\right)^2 dx = \left.\pi \cdot \frac{h}{R - r} \cdot \frac{\left(\frac{R - r}{h}x + r\right)^3}{3}\right|_0^h$$ $$= \frac{\pi h}{3(R - r)} \left[R^3 - r^3\right] = \frac{\pi h}{3(R - r)}(R - r)(R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2).$$
b) Khi đáy nhỏ thu hẹp thành một điểm (tức là $r = 0$), khối nón cụt trở thành khối nón thông thường có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$. Khi đó công thức thể tích là: $$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + 0 + 0) = \frac{1}{3}\pi R^2 h.$$
Bài 4.14.
Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
Quan sát Hình 4.29, hình phẳng được giới hạn bởi parabol $y = 5x - x^2$ và đường thẳng $y = x$.
Tìm hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng: $$5x - x^2 = x \iff x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0 \text{ hoặc } x = 4.$$ Trên đoạn $[0; 4]$, parabol nằm phía trên đường thẳng nên $5x - x^2 \ge x$.
Do đó diện tích hình phẳng là: $$S = \int_0^4 [(5x - x^2) - x]dx = \int_0^4 (4x - x^2)dx = \left.\left(2x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\right|_0^4 = \left(2 \cdot 16 - \frac{64}{3}\right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}.$$
Bài 4.15.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) $y = e^x, y = x^2 - 1, x = -1, x = 1$;
b) $y = \sin x, y = x, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$;
c) $y = 9 - x^2, y = 2x^2, x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}$;
d) $y = \sqrt{x}, y = x^2, x = 0, x = 1$.
a) Với mọi $x \in [-1; 1]$, ta có $e^x > 0$ trong khi $x^2 - 1 \le 0 \implies e^x \ge x^2 - 1$.
$$S = \int_{-1}^1 [e^x - (x^2 - 1)]dx = \left.\left(e^x - \frac{x^3}{3} + x\right)\right|_{-1}^1 = \left(e - \frac{1}{3} + 1\right) - \left(e^{-1} + \frac{1}{3} - 1\right) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}.$$
b) Với mọi $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, ta có $x \ge \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 > 1 \ge \sin x \implies x \ge \sin x$.
$$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi (x - \sin x)dx = \left.\left(\frac{x^2}{2} + \cos x\right)\right|_{\frac{\pi}{2}}^\pi = \left(\frac{\pi^2}{2} + \cos\pi\right) - \left(\frac{\pi^2}{8} + \cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi^2}{2} - 1\right) - \frac{\pi^2}{8} = \frac{3\pi^2}{8} - 1.$$
c) Xét phương trình hoành độ giao điểm: $9 - x^2 = 2x^2 \iff 3x^2 = 9 \iff x = \pm\sqrt{3}$.
Với mọi $x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$, $9 - x^2 \ge 2x^2$. Do đó: $$S = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} [(9 - x^2) - 2x^2]dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (9 - 3x^2)dx = \left.\left(9x - x^3\right)\right|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$$ $$= (9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) - (-9\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - (-6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}.$$
d) Xét phương trình: $\sqrt{x} = x^2 \iff x(x\sqrt{x} - 1) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 1$.
Với mọi $x \in [0; 1]$, $\sqrt{x} \ge x^2$. Do đó: $$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)dx = \left.\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1 = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3}.$$
Bài 4.16 (Mô hình kinh tế: Đường cong Lorenz và Hệ số Gini).
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh hoạ sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Đường $y = x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz $y = f(x)$ biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường này, với $0 \le x \le 100$, biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hoá bởi hàm số:
$$y = (0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723)^2, \quad 0 \le x \le 100,$$
trong đó $x$ được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
Tìm sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.
Theo định nghĩa bài toán, sự bất bình đẳng về thu nhập là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x$ và đường cong Lorenz $y = f(x)$ trên đoạn $[0; 100]$: $$S = \int_0^{100} [x - f(x)]dx = \int_0^{100} \left[x - (0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723)^2\right]dx.$$
Khai triển bình phương biểu thức hàm số $f(x) = (0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723)^2$:
Đặt $a = 0{,}00061, b = 0{,}0218, c = 1{,}723$. Khi đó:
$$(ax^2 + bx + c)^2 = a^2 x^4 + 2ab x^3 + (b^2 + 2ac)x^2 + 2bc x + c^2.$$
Tính các tích phân thành phần trên $[0; 100]$: $$\int_0^{100} x dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^{100} = \frac{10000}{2} = 5000.$$ $$\int_0^{100} x^4 dx = \frac{100^5}{5} = 2 \cdot 10^9 \implies a^2 \int_0^{100} x^4 dx = (0{,}00061)^2 \cdot (2 \cdot 10^9) \approx 744{,}2.$$ $$\int_0^{100} x^3 dx = \frac{100^4}{4} = 25 \cdot 10^6 \implies 2ab \int_0^{100} x^3 dx = 2(0{,}00061)(0{,}0218)(25 \cdot 10^6) \approx 664{,}9.$$ $$\int_0^{100} x^2 dx = \frac{100^3}{3} = \frac{10^6}{3} \implies (b^2 + 2ac) \frac{10^6}{3} \approx (0{,}00047524 + 0{,}00210206)\frac{10^6}{3} \approx 859{,}1.$$ $$\int_0^{100} x dx = 5000 \implies 2bc(5000) = 2(0{,}0218)(1{,}723)(5000) \approx 375{,}614.$$ $$\int_0^{100} c^2 dx = 100 \cdot (1{,}723)^2 \approx 296{,}873.$$
Tổng tích phân của đường cong Lorenz: $$\int_0^{100} f(x)dx \approx 744{,}2 + 664{,}9 + 859{,}1 + 375{,}6 + 296{,}9 \approx 2940{,}7.$$ Do đó diện tích thể hiện sự bất bình đẳng thu nhập là: $$S \approx 5000 - 2940{,}7 \approx 2059{,}3.$$
(Lưu ý: Hệ số Gini tương ứng bằng $\frac{S}{5000} \approx \frac{2059{,}3}{5000} \approx 0{,}412$, phản ánh mức độ phân hoá thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005).
Bài 4.17.
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục $Ox$: $$y = 2x - x^2, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 2.$$
Hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x - x^2 \ge 0$ trên $[0; 2]$, trục hoành $y = 0$ và hai cận $x = 0, x = 2$.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục hoành là: $$V = \pi \int_0^2 (2x - x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)dx$$ $$= \left.\pi \left(\frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5}\right)\right|_0^2 = \pi \left(\frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}\right) = \pi \left(\frac{160 - 240 + 96}{15}\right) = \frac{16\pi}{15}.$$
Bài 4.18.
Khối chỏm cầu có bán kính $R$ và chiều cao $h$ ($0 < h \le R$) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = R - h, x = R$ xung quanh trục $Ox$ (Hình 4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Thể tích của khối chỏm cầu sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$ là: $$V = \pi \int_{R-h}^R y^2 dx = \pi \int_{R-h}^R (\sqrt{R^2 - x^2})^2 dx = \pi \int_{R-h}^R (R^2 - x^2)dx$$ $$= \left.\pi \left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right)\right|_{R-h}^R = \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(R^2(R - h) - \frac{(R - h)^3}{3}\right)\right]$$ $$= \pi \left[\frac{2}{3}R^3 - R^3 + R^2 h + \frac{R^3 - 3R^2 h + 3Rh^2 - h^3}{3}\right]$$ $$= \pi \left[-\frac{1}{3}R^3 + R^2 h + \frac{1}{3}R^3 - R^2 h + Rh^2 - \frac{h^3}{3}\right] = \pi \left(Rh^2 - \frac{h^3}{3}\right) = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right).$$
Vậy thể tích khối chỏm cầu là: $V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$.
Bài 4.19.
Cho tam giác vuông $OAB$ có cạnh $OA = a$ nằm trên trục $Ox$ và $\widehat{AOB} = \alpha$ $\left(0 < \alpha \le \frac{\pi}{4}\right)$ (Hình 4.31).
Gọi $\mathcal{B}$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác $OAB$ xung quanh trục $Ox$.
a) Tính thể tích $V$ của $\mathcal{B}$ theo $a$ và $\alpha$.
b) Tìm $\alpha$ sao cho thể tích $V$ lớn nhất.
a) Khối $\mathcal{B}$ sinh ra khi quay tam giác vuông $OAB$ quanh cạnh góc vuông $OA$ là một khối nón có đỉnh $O$, chiều cao $h = OA = a$ và bán kính đáy $R = AB$.
Trong tam giác vuông $OAB$ tại $A$, ta có: $$AB = OA \cdot \tan\alpha = a \tan\alpha \implies R = a \tan\alpha.$$ Do đó thể tích của khối tròn xoay $\mathcal{B}$ là: $$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi (a \tan\alpha)^2 a = \frac{1}{3}\pi a^3 \tan^2\alpha.$$
(Cách khác: Dùng tích phân, đường thẳng $OB$ có phương trình $y = x\tan\alpha$, khi quay quanh $Ox$ trên $[0; a]$ thì $V = \pi \int_0^a (x\tan\alpha)^2 dx = \pi \tan^2\alpha \cdot \frac{a^3}{3}$).
b) Vì $0 < \alpha \le \frac{\pi}{4}$, hàm số $y = \tan\alpha$ là hàm số đồng biến liên tục trên $\left(0; \frac{\pi}{4}\right]$.
Do đó hàm số $V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi a^3 \tan^2\alpha$ cũng là hàm đồng biến theo $\alpha$.
Suy ra thể tích $V$ đạt giá trị lớn nhất khi $\alpha$ lớn nhất trên đoạn đang xét:
$$\alpha = \frac{\pi}{4}.$$ Khi đó $\tan\frac{\pi}{4} = 1 \implies V_{\max} = \frac{1}{3}\pi a^3 \cdot 1^2 = \frac{1}{3}\pi a^3$.