Lý thuyết: Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
THUẬT NGỮ: Vectơ chỉ phương của đường thẳng; Phương trình tham số của đường thẳng; Phương trình chính tắc của đường thẳng; Hai đường thẳng vuông góc; Hai đường thẳng song song, trùng nhau, chéo nhau, cắt nhau.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Nhận biết các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.
• Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương, đi qua hai điểm.
• Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng (song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau, vuông góc).
• Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
Tình huống mở đầu:
Trong không gian $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt ở điểm $M(2; 3; -4)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N(-1; 0; 8)$. Một tấm bia chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm $O(0; 0; 0)$, bán kính bằng $3$ và đặt trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$.
Hỏi tấm bia có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm $N$ hay không?
(Lời giải chi tiết bài toán thực tế này sẽ được phân tích bằng phương trình đường thẳng $MN$ trong phần Vận dụng 1).
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
HĐ1 (Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng). Trong không gian, cho điểm $M$ và vectơ $\vec{u}$ khác vectơ-không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?
a) Có duy nhất đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với giá của $\vec{u}$.
b) Có duy nhất đường thẳng đi qua $M$ và song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$.
• Khẳng định a sai vì qua một điểm $M$ có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng (chúng cùng nằm trong mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng đó).
• Khẳng định b đúng theo tiên đề hình học không gian (qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng song song hoặc trùng với một đường thẳng cho trước).
ĐỊNH NGHĨA VECTƠ CHỈ PHƯƠNG
Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.
Chú ý:
• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
• Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì $k\vec{u}$ (với $k \ne 0$) cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Ví dụ 1. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (Hình 5.24). Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC'$ mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
Đường thẳng $BC'$ nhận các vectơ $\vec{BC'}, \vec{C'B}, \vec{AD'}, \vec{D'A}$ là các vectơ chỉ phương (do tứ giác $ABC'D'$ là hình bình hành nên $AD' \parallel BC'$).
Luyện tập 1. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (Hình 5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$?
Vì $ABB'A'$ là hình bình hành nên $A'B' \parallel AB$.
Do đó các vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ có điểm đầu và cuối là các đỉnh của lăng trụ gồm: $$\overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{BA}, \quad \vec{A'B'}, \quad \vec{B'A'}.$$
b) Phương trình tham số của đường thẳng
HĐ2 (Hình thành khái niệm phương trình tham số). Trong không gian $Oxyz$, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\vec{u} = (a; b; c) \ne \vec{0}$ và xuất phát từ điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ (Hình 5.26).
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Giả sử tại thời điểm $t$ ($t > 0$) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí $M(x; y; z)$. Tính $x, y, z$ theo $a, b, c, x_0, y_0, z_0$ và $t$.
a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ vận tốc $\vec{u} = (a; b; c)$ làm vectơ chỉ phương.
b) Sau khoảng thời gian $t$, vectơ độ dời là $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$. Do đó: $$\begin{cases} x - x_0 = at \\ y - y_0 = bt \\ z - z_0 = ct \end{cases} \iff \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$
ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$. Hệ phương trình: $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ ($t$ là tham số).
Chú ý:
• Với các số $a, b, c$ không đồng thời bằng $0$, mỗi hệ phương trình tham số xác định một đường thẳng đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$.
• Mỗi giá trị của tham số $t$ tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 1 \\ z = 2t \end{cases}$
a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta'$ đi qua $A(2; 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3; 0; 2)$.
a) Đường thẳng $\Delta$ viết lại là $\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 1 + 0t \\ z = 0 + 2t \end{cases}$, nên điểm $M(-1; 1; 0) \in \Delta$ và $\vec{u} = (3; 0; 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
b) Đường thẳng $\Delta'$ đi qua $A(2; 1; 0)$ và có VTCP $\vec{v} = (3; 0; 2)$ có phương trình tham số là: $$\begin{cases} x = 2 + 3s \\ y = 1 \\ z = 2s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R}).$$
Luyện tập 2. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$
a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ $O(0; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 3; 1)$.
a) Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (1; 3; 1)$.
• Với $t = 0$, ta được điểm $A(2; 0; 1) \in \Delta$.
• Với $t = 1$, ta được điểm $B(3; 3; 2) \in \Delta$.
b) Đường thẳng đi qua $O(0; 0; 0)$ và nhận $\vec{v} = (1; 3; 1)$ làm VTCP có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
HĐ3 (Hình thành khái niệm phương trình chính tắc). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ ($a, b, c$ là các số khác $0$).
a) Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AM} = (x - x_0;\ y - y_0;\ z - z_0)$ và $\vec{u} = (a; b; c)$ có mối quan hệ gì?
b) Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi các số $\frac{x - x_0}{a}, \frac{y - y_0}{b}, \frac{z - z_0}{c}$ có mối quan hệ gì?
a) Điểm $M \in \Delta$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\vec{u}$, nghĩa là tồn tại số $t$ sao cho $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$.
b) Vì $a, b, c \ne 0$ nên $\overrightarrow{AM} = t\vec{u} \iff \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} (= t)$.
ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với $a, b, c$ là các số khác $0$. Hệ phương trình: $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.
Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1}$. Hãy chỉ ra một điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Viết lại phương trình chính tắc: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - (-2)}{1}$.
Do đó đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; 0; -2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 3; 1)$.
Luyện tập 3. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{5}$. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và hai điểm thuộc $\Delta$.
• Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (3; 1; 5)$.
• Cho tỉ số bằng $0 \implies$ Điểm $A(-1; 1; 2) \in \Delta$.
• Cho tỉ số bằng $1 \implies \begin{cases} x + 1 = 3 \implies x = 2 \\ y - 1 = 1 \implies y = 2 \\ z - 2 = 5 \implies z = 7 \end{cases} \implies$ Điểm $B(2; 2; 7) \in \Delta$.
Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1; -2; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; -5; 1)$.
• Phương trình tham số của $\Delta$: $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 - 5t \\ z = 4 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc của $\Delta$: $$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-5} = \frac{z - 4}{1}.$$
Luyện tập 4. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-1; 2; 3)$.
• Phương trình tham số của $\Delta$: $$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc của $\Delta$: $$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}.$$
Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1; 4; 5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha): 3x + 2y = 0$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 2; 0)$. Vì $\Delta \perp (\alpha)$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n} = (3; 2; 0)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của $\Delta$ là: $$\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 4 + 2t \\ z = 5 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
Nhận xét: Vì thành phần cao độ $c = 0$, đường thẳng $\Delta$ không có phương trình chính tắc.
Luyện tập 5. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2; -1; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz)$.
Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$, nhận vectơ đơn vị $\vec{i} = (1; 0; 0)$ làm vectơ pháp tuyến.
Vì $\Delta \perp (Oyz)$ nên nhận $\vec{i} = (1; 0; 0)$ làm VTCP.
Phương trình tham số của $\Delta$ đi qua $M(2; -1; 3)$ là: $$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 \\ z = 3 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
HĐ4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm phân biệt $A_1(x_1; y_1; z_1)$ và $A_2(x_2; y_2; z_2)$.
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_1A_2$.
b) Viết phương trình đường thẳng $A_1A_2$.
a) Đường thẳng $A_1A_2$ nhận vectơ $\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1) \ne \vec{0}$ làm một vectơ chỉ phương.
b) Phương trình tham số của đường thẳng $A_1A_2$ đi qua $A_1(x_1; y_1; z_1)$ là: $$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 - z_1)t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm phân biệt $A_1(x_1; y_1; z_1)$ và $A_2(x_2; y_2; z_2)$. Đường thẳng $A_1A_2$ có VTCP $\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)$ và có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 - z_1)t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
Trong trường hợp $x_1 \ne x_2, y_1 \ne y_2, z_1 \ne z_2$, đường thẳng $A_1A_2$ có phương trình chính tắc: $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$
Ví dụ 6. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(2; 4; 0)$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2 - 1;\ 4 - 2;\ 0 - (-1)) = (1; 2; 1)$.
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1; 2; -1)$ và có VTCP $\overrightarrow{AB} = (1; 2; 1)$ nên:
• Phương trình tham số: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = -1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$.
• Phương trình chính tắc: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$.
Luyện tập 6. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; 1; 3)$ và $B(2; 4; 6)$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2 - 2;\ 4 - 1;\ 6 - 3) = (0; 3; 3) = 3(0; 1; 1)$.
Chọn VTCP $\vec{u} = (0; 1; 1)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2; 1; 3)$ có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$ (Lưu ý: Do hoành độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng không có phương trình chính tắc).
Vận dụng 1 (Giải bài toán mở đầu).
Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $MN$.
b) Tính toạ độ giao điểm $D$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(Oxy)$.
c) Hỏi điểm $D$ có nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ hay không? Tấm bia có che khuất tầm nhìn không?
a) Ta có $M(2; 3; -4), N(-1; 0; 8) \implies \overrightarrow{MN} = (-1 - 2;\ 0 - 3;\ 8 - (-4)) = (-3; -3; 12) = -3(1; 1; -4)$.
Chọn VTCP $\vec{u} = (1; 1; -4)$. Phương trình tham số của đường thẳng $MN$ đi qua $M(2; 3; -4)$ là: $$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + t \\ z = -4 - 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
b) Mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$. Giao điểm $D$ của $MN$ với $(Oxy)$ thoả mãn: $$-4 - 4t = 0 \iff t = -1.$$ Thay $t = -1$ vào phương trình tham số ta được toạ độ của điểm $D$: $$x = 2 + (-1) = 1, \quad y = 3 + (-1) = 2, \quad z = 0 \implies D(1; 2; 0).$$
c) Điểm $M$ ứng với $t = 0$, điểm $N$ ứng với $t = -3$ (vì $x = 2 + (-3) = -1$).
Vì giá trị tham số $t = -1$ nằm giữa $-3$ và $0$ ($-3 < -1 < 0$) nên điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $MN$ (nằm giữa $M$ và $N$).
Khoảng cách từ điểm $D(1; 2; 0)$ đến tâm $O(0; 0; 0)$ của tấm bia hình tròn là: $$OD = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24.$$
Vì bán kính tấm bia là $R = 3$ và $OD = \sqrt{5} < 3$, nên giao điểm $D$ nằm bên trong hình tròn của tấm bia chắn sáng.
Kết luận: Tấm bia hình tròn có che khuất tầm nhìn của người quan sát từ điểm $M$ tới vật đặt tại điểm $N$.
HĐ5 (Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau). Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1), \vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$ (Hình 5.28).
a) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ có mối quan hệ gì?
b) Tìm điều kiện đối với $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ để $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau.
a) Hai đường thẳng $\Delta_1 \perp \Delta_2$ khi và chỉ khi hai giá của $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ vuông góc với nhau.
b) Hai giá vuông góc với nhau tương đương $\vec{u}_1 \perp \vec{u}_2 \iff \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$.
ĐIỀU KIỆN HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1), \vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$. Khi đó: $$\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$$
Ví dụ 7. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: $$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - 3t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \begin{cases} x = 2 + s \\ y = 1 - 2s \\ z = 3 + 8s \end{cases}$$
Các đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ có vectơ chỉ phương tương ứng là $\vec{u}_1 = (2; -3; -1), \vec{u}_2 = (1; -2; 8)$.
Ta tính tích vô hướng: $$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot 1 + (-3)(-2) + (-1) \cdot 8 = 2 + 6 - 8 = 0.$$
Do đó $\vec{u}_1 \perp \vec{u}_2$, suy ra $\Delta_1 \perp \Delta_2$.
Luyện tập 7. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1}$. Hỏi đường thẳng $\Delta$ có vuông góc với trục $Oz$ hay không?
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (2; 1; -1)$. Trục $Oz$ có VTCP $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
Ta có: $$\vec{u} \cdot \vec{k} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 \ne 0.$$
Do đó đường thẳng $\Delta$ không vuông góc với trục $Oz$.
Vận dụng 2 (Nút giao thông đường bộ).
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: $$\Delta_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 0 \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \begin{cases} x = 1 - 2s \\ y = 2s \\ z = 1 \end{cases}$$ Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương tương ứng là $\vec{u}_1 = (1; 1; 0)$ và $\vec{u}_2 = (-2; 2; 0)$.
Tích vô hướng của hai vectơ: $$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0.$$
Vì $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$ nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau.
Vậy hai con đường trên vuông góc với nhau.
HĐ6 (Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng). Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ lần lượt đi qua các điểm $A_1(x_1; y_1; z_1), A_2(x_2; y_2; z_2)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1), \vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$ (Hình 5.29).
a) Tìm điều kiện đối với $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ để $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne \vec{0}$ và $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 0$ thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có cắt nhau hay không?
c) Giả sử $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne 0$ thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có chéo nhau hay không?
a) $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ chỉ phương $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ cùng phương (tức $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \vec{0}$).
b) Khi $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne \vec{0}$ thì $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ không cùng phương; và $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 0$ chứng tỏ bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng (đồng phẳng). Do không song song và đồng phẳng nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
c) Khi $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne 0$ thì ba vectơ không đồng phẳng, do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
ĐIỀU KIỆN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI THEO VECTƠ
• $\Delta_1 \parallel \Delta_2 \iff \vec{u}_1, \vec{u}_2$ cùng phương và $A_1 \notin \Delta_2$.
• $\Delta_1 \equiv \Delta_2 \iff \vec{u}_1, \vec{u}_2$ cùng phương và $A_1 \in \Delta_2$.
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\iff [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne \vec{0}$ và $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 0$.
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau $\iff \vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne 0$.
PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÌM VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Cho $\Delta_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\ y = y_1 + b_1 t \\ z = z_1 + c_1 t \end{cases}$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2 s \\ y = y_2 + b_2 s \\ z = z_2 + c_2 s \end{cases}$. Xét hệ phương trình hai ẩn $t, s$ (*): $$\begin{cases} x_1 + a_1 t = x_2 + a_2 s \\ y_1 + b_1 t = y_2 + b_2 s \\ z_1 + c_1 t = z_2 + c_2 s \end{cases}$$
• $\Delta_1 \parallel \Delta_2 \iff \vec{u}_1, \vec{u}_2$ cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
• $\Delta_1 \equiv \Delta_2 \iff$ hệ (*) có vô số nghiệm.
• $\Delta_1$ cắt $\Delta_2 \iff$ hệ (*) có nghiệm duy nhất $(t_0; s_0)$ (thay $t_0$ vào để tìm toạ độ giao điểm).
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau $\iff \vec{u}_1, \vec{u}_2$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
Ví dụ 8. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau: $$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}.$$
• Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A_1(1; 2; -1)$ có VTCP $\vec{u}_1 = (1; -1; 2)$.
• Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $A_2(4; -1; 0)$ có VTCP $\vec{u}_2 = (3; 1; -1)$.
1. Chứng minh vuông góc: $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 3 - 1 - 2 = 0 \implies \Delta_1 \perp \Delta_2$.
2. Chứng minh chéo nhau: Ta có $\vec{A_1A_2} = (3; -3; 1)$ và $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (-1; 7; 4)$.
Tích hỗn tạp: $$\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 3(-1) + (-3)(7) + 1(4) = -3 - 21 + 4 = -20 \ne 0.$$
Do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
Luyện tập 8. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau: $$\Delta_1: \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{3} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z}{3}.$$
• Hai đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; -2; 3)$.
• Lấy điểm $A(3; 0; 1) \in \Delta_1$. Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình $\Delta_2$: $$\frac{3 - 1}{1} = 2, \quad \frac{0 - 2}{-2} = 1 \ne 2.$$
Vì các tỉ số không bằng nhau nên $A(3; 0; 1) \notin \Delta_2$.
Do đó hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
Ví dụ 9. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau: $$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \begin{cases} x = -6 + s \\ y = 5 + s \\ z = 5 + 2s \end{cases}$$
Đường thẳng $\Delta_1$ qua $A_1(1; 2; -1)$, $\vec{u}_1 = (-1; 1; 2)$. Đường thẳng $\Delta_2$ qua $A_2(-6; 5; 5)$, $\vec{u}_2 = (1; 1; 2)$.
Ta có $\vec{A_1A_2} = (-7; 3; 6)$ và $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (0; 4; -2) \ne \vec{0}$.
Tính tích vô hướng: $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (-7) \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot (-2) = 0 + 12 - 12 = 0$.
Vì $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne \vec{0}$ và $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 0$ nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
(Giao điểm là $M(-2; 5; 5)$ ứng với $t = 3, s = 4$).
Luyện tập 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $\Delta_2: \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau;
b) Đường thẳng $\Delta_1$ và trục $Ox$ chéo nhau;
c) Đường thẳng $\Delta_2$ trùng với đường thẳng $\Delta_3: \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 4}{4}$;
d) Đường thẳng $\Delta_2$ cắt trục $Oz$.
a) $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có cùng VTCP $\vec{u} = (1; 1; 4)$. Điểm $M_1(1; -2; 3) \in \Delta_1$, thay vào $\Delta_2$: $\frac{1+1}{1} = 2 \ne \frac{-2+1}{1} = -1 \implies M_1 \notin \Delta_2$. Do đó $\Delta_1 \parallel \Delta_2$.
b) Trục $Ox$ đi qua $O(0; 0; 0)$ có VTCP $\vec{i} = (1; 0; 0)$. Ta có $\vec{u}_1 = (1; 1; 4)$ không cùng phương với $\vec{i}$.
Vectơ $\vec{OM_1} = (1; -2; 3)$ và $[\vec{u}_1, \vec{i}] = (0; 4; -1)$. Tích vô hướng $\vec{OM_1} \cdot [\vec{u}_1, \vec{i}] = 1(0) + (-2)(4) + 3(-1) = -11 \ne 0 \implies \Delta_1$ và $Ox$ chéo nhau.
c) $\Delta_2$ và $\Delta_3$ có cùng VTCP $\vec{u} = (1; 1; 4)$. Lấy điểm $M_3(-2; -2; -4) \in \Delta_3$, thay vào $\Delta_2$: $\frac{-2+1}{1} = \frac{-2+1}{1} = \frac{-4}{4} = -1$ (thoả mãn) $\implies M_3 \in \Delta_2$. Vậy $\Delta_2 \equiv \Delta_3$.
d) Trục $Oz$ có phương trình $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$. Xét giao điểm với $\Delta_2$: thay $x = 0, y = 0$ vào $\Delta_2$ ta có $\frac{0+1}{1} = \frac{0+1}{1} = 1 \implies \frac{z}{4} = 1 \iff z = 4$. Giao điểm là $(0; 0; 4)$, do đó $\Delta_2$ cắt trục $Oz$ tại điểm $(0; 0; 4)$.
Luyện tập 10. Trong không gian $Oxyz$, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: $$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \begin{cases} x = s \\ y = 1 + 2s \\ z = 3s \end{cases}$$
Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (2; 1; -1)$, của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (1; 2; 3)$.
Vì $\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}$ nên $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ không cùng phương ($\Delta_1$ và $\Delta_2$ không song song, không trùng nhau).
Xét hệ phương trình tìm giao điểm: $$\begin{cases} 1 + 2t = s \\ 3 + t = 1 + 2s \\ 1 - t = 3s \end{cases} \iff \begin{cases} s - 2t = 1 \\ 2s - t = 2 \\ 3s + t = 1 \end{cases}$$ Từ hai phương trình đầu: $s = 1, t = 0$.
Thay vào phương trình thứ ba: $3(1) + 0 = 3 \ne 1$ (không thoả mãn, hệ vô nghiệm).
Vì $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ không cùng phương và hệ vô nghiệm nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
Vận dụng 3 (Quỹ đạo hai vật thể chuyển động trong không gian).
Trong không gian $Oxyz$, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ $A(1; 2; 0)$ và $B(3; 5; 0)$ với vectơ vận tốc không đổi tương ứng là $\vec{v}_1 = (2; 1; 3), \vec{v}_2 = (1; 2; 1)$ (Hình 5.30). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Tại cùng thời điểm $t \ge 0$ tính từ khi bắt đầu xuất phát:
• Vị trí của vật thể thứ nhất là $M_1(1 + 2t;\ 2 + t;\ 3t)$.
• Vị trí của vật thể thứ hai là $M_2(3 + t;\ 5 + 2t;\ t)$.
Hai vật thể va chạm vào nhau khi và chỉ khi tồn tại thời điểm $t \ge 0$ sao cho $M_1 \equiv M_2$, tức là: $$\begin{cases} 1 + 2t = 3 + t \\ 2 + t = 5 + 2t \\ 3t = t \end{cases} \iff \begin{cases} t = 2 \\ t = -3 \\ 2t = 0 \implies t = 0 \end{cases}$$ Hệ phương trình trên vô nghiệm vì không có giá trị $t$ nào thoả mãn đồng thời cả ba đẳng thức.
Kết luận: Trong quá trình chuyển động, hai vật thể không va chạm vào nhau.
Bài 5.11.
Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; 1; 2)$ và song song với đường thẳng $d: \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 5}{3}$.
Vì $\Delta \parallel d$ nên $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (2; 1; 3)$ làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; 1; 2)$ có:
• Phương trình tham số: $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}.$$
Bài 5.12.
Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -1; 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): x + 3y - z - 1 = 0$.
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_P = (1; 3; -1)$.
Vì $\Delta \perp (P)$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n}_P = (1; 3; -1)$ làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -1; 4)$ có:
• Phương trình tham số: $$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc: $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-1}.$$
Bài 5.13.
Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(2; 3; -1)$ và $B(1; -2; 4)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $$\overrightarrow{AB} = (1 - 2;\ -2 - 3;\ 4 - (-1)) = (-1; -5; 5).$$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2; 3; -1)$ có:
• Phương trình tham số: $$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 5t \\ z = -1 + 5t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc: $$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 3}{-5} = \frac{z + 1}{5}.$$
Bài 5.14.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:
$$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \frac{x - 8}{-1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{2}.$$
a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$.
a) Đường thẳng $\Delta_1$ có VTCP $\vec{u}_1 = (2; -1; 3)$ và đi qua $A_1(1; 3; 2)$. Đường thẳng $\Delta_2$ có VTCP $\vec{u}_2 = (-1; 1; 2)$ và đi qua $A_2(8; -2; 2)$.
Chuyển $\Delta_2$ về dạng tham số: $\begin{cases} x = 8 - s \\ y = -2 + s \\ z = 2 + 2s \end{cases}$.
Xét hệ phương trình toạ độ giao điểm: $$\begin{cases} 1 + 2t = 8 - s \\ 3 - t = -2 + s \\ 2 + 3t = 2 + 2s \end{cases} \iff \begin{cases} 2t + s = 7 \\ t + s = 5 \\ 3t - 2s = 0 \end{cases}$$ Từ hai phương trình đầu: $t = 2, s = 3$.
Thử lại vào phương trình thứ ba: $3(2) - 2(3) = 0$ (thoả mãn).
Vì $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ không cùng phương và hệ có nghiệm duy nhất $t = 2, s = 3$ nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại giao điểm $I(5; 1; 8)$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nên nhận $\vec{u}_1 = (2; -1; 3)$ và $\vec{u}_2 = (-1; 1; 2)$ làm cặp vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là: $$\vec{n} = [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \left(\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\right) = (-5;\ -7;\ 1).$$
Mặt phẳng $(P)$ đi qua giao điểm $I(5; 1; 8)$ có phương trình: $$-5(x - 5) - 7(y - 1) + 1(z - 8) = 0 \iff -5x - 7y + z + 24 = 0 \iff 5x + 7y - z - 24 = 0.$$
Bài 5.15.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:
$$\Delta_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \frac{x - 1}{3} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z}{2}.$$
a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$.
a) Hai đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 1; 2)$.
Điểm $A_1(1; 3; 2) \in \Delta_1$. Thay vào phương trình $\Delta_2$: $\frac{1 - 1}{3} = 0 \ne \frac{3 + 1}{1} = 4 \implies A_1 \notin \Delta_2$.
Do đó hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
b) Lấy điểm $A_2(1; -1; 0) \in \Delta_2$. Vectơ $\vec{A_1A_2} = (0; -4; -2)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song nên nhận $\vec{u} = (3; 1; 2)$ và $\vec{A_1A_2} = (0; -4; -2)$ làm cặp VTCP.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là: $$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{A_1A_2}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -4 \end{vmatrix}\right) = (6;\ 6;\ -12) = 6(1;\ 1;\ -2).$$
Chọn $\vec{n}' = (1; 1; -2)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A_1(1; 3; 2)$ là: $$1(x - 1) + 1(y - 3) - 2(z - 2) = 0 \iff x + y - 2z = 0.$$
Bài 5.16.
Trong không gian $Oxyz$, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: $$\Delta_1: \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \begin{cases} x = -1 + 2s \\ y = 2 + s \\ z = 1 + 3s \end{cases}$$
Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (1; 0; 2)$, của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (2; 1; 3)$.
Vì $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ không cùng phương nên $\Delta_1, \Delta_2$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình toạ độ giao điểm: $$\begin{cases} -1 + t = -1 + 2s \\ 1 = 2 + s \\ 3 + 2t = 1 + 3s \end{cases} \implies \text{Từ PT thứ hai: } s = -1.$$ Thay $s = -1$ vào PT thứ nhất: $-1 + t = -1 + 2(-1) = -3 \implies t = -2$.
Thử lại vào PT thứ ba: $3 + 2(-2) = -1$; vế phải: $1 + 3(-1) = -2 \ne -1$ (mâu thuẫn).
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
Bài 5.17 (Nút giao thông khác mức).
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
$$\Delta_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 1}{3} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}.$$
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
a) Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (2; -1; 3)$, của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (-1; 1; 1)$.
Tích vô hướng: $$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2(-1) + (-1)(1) + 3(1) = -2 - 1 + 3 = 0.$$
Vậy hai con đường trên vuông góc với nhau.
b) Xét xem hai đường thẳng có cắt nhau hay chéo nhau:
• $\Delta_1$ đi qua $A_1(1; 0; -1)$, $\Delta_2$ đi qua $A_2(3; -1; 0) \implies \vec{A_1A_2} = (2; -1; 1)$.
• Tích có hướng: $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (-4; -5; 1)$.
• Tích hỗn tạp: $$\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 2(-4) + (-1)(-5) + 1(1) = -8 + 5 + 1 = -2 \ne 0.$$
Vì $\vec{A_1A_2} \cdot [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \ne 0$ nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau (chúng không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng).
Do hai con đường chéo nhau (một con đường chạy trên cầu vượt, con đường kia chạy phía dưới), nên đây chính là một nút giao thông khác mức.
Bài 5.18 (Đường bay của viên đạn).
Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1; 3; 4)$ và trong $3$ giây đầu, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\vec{v} = (2; 1; 6)$. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left(7; \frac{7}{2}; 21\right)$.
b) Mục tiêu đặt tại điểm $N(-3; 1; -8)$.
Quỹ đạo bay của đầu đạn xuất phát từ $A(1; 3; 4)$ với vectơ vận tốc $\vec{v} = (2; 1; 6)$ trong $3$ giây đầu ($0 \le t \le 3$) có phương trình toạ độ: $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 4 + 6t \end{cases} \quad (0 \le t \le 3).$$
a) Với điểm $M\left(7; \frac{7}{2}; 21\right)$:
Giải hệ tìm $t$: $\begin{cases} 1 + 2t = 7 \implies t = 3 \\ 3 + t = \frac{7}{2} \implies t = \frac{1}{2} \end{cases}$ (mâu thuẫn vì giá trị $t$ không trùng nhau).
Do đó điểm $M$ không nằm trên quỹ đạo bay của viên đạn. Viên đạn không bắn trúng mục tiêu $M$.
b) Với điểm $N(-3; 1; -8)$:
Giải hệ tìm $t$: $\begin{cases} 1 + 2t = -3 \implies t = -2 \\ 3 + t = 1 \implies t = -2 \\ 4 + 6t = -8 \implies t = -2 \end{cases}$.
Mặc dù ba phương trình cho cùng giá trị $t = -2$, nhưng vì $t = -2 < 0$ (nằm trước thời điểm bắn, viên đạn chỉ bay theo chiều $t \ge 0$), nên viên đạn không bắn trúng mục tiêu $N$.
Bài 5.19 (Mô hình bóng cây cột dưới ánh nắng mặt trời).
Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao $6\text{ m}$ vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí $O$ trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột $3\text{ m}$ về hướng $S60^\circ E$ (hướng tạo với hướng nam góc $60^\circ$ và tạo với hướng đông góc $30^\circ$) (Hình 5.32).
Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc toạ độ là $O$, tia $Ox$ chỉ hướng nam, tia $Oy$ chỉ hướng đông, tia $Oz$ chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.
• Đỉnh cây cột $A$ nằm trên trục $Oz$ và có độ cao $6\text{ m}$, do đó toạ độ đỉnh cột là: $$A(0;\ 0;\ 6).$$
• Bóng của đỉnh cột trên mặt đất $(Oxy)$ là điểm $A'$. Điểm $A'$ nằm trong mặt phẳng $z = 0$, có khoảng cách $OA' = 3\text{ m}$.
Tia $OA'$ tạo với tia $Ox$ (hướng nam) góc $60^\circ$ và tạo với tia $Oy$ (hướng đông) góc $30^\circ$. Do đó toạ độ của $A'$ là: $$x_{A'} = OA' \cdot \cos 60^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5.$$ $$y_{A'} = OA' \cdot \cos 30^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$ $$z_{A'} = 0.$$ Vậy toạ độ bóng đỉnh cột là $A'\left(\frac{3}{2};\ \frac{3\sqrt{3}}{2};\ 0\right)$.
• Đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột $A$ và bóng đỉnh cột $A'$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng này là: $$\vec{AA'} = \left(\frac{3}{2} - 0;\ \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0;\ 0 - 6\right) = \left(\frac{3}{2};\ \frac{3\sqrt{3}}{2};\ -6\right) = \frac{3}{2}(1;\ \sqrt{3};\ -4).$$
Chọn vectơ chỉ phương đơn giản hơn là $\vec{u} = (1;\ \sqrt{3};\ -4)$.
Đường thẳng đi qua $A(0; 0; 6)$ và có VTCP $\vec{u} = (1; \sqrt{3}; -4)$ có:
• Phương trình tham số: $$\begin{cases} x = t \\ y = \sqrt{3}t \\ z = 6 - 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
• Phương trình chính tắc: $$\frac{x}{1} = \frac{y}{\sqrt{3}} = \frac{z - 6}{-4}.$$