Lý thuyết Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Lý thuyết đầy đủ về Tổng và hiệu của hai vectơ (Bài 8): Định nghĩa phép cộng vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất phép cộng, vectơ đối, phép trừ vectơ và quy tắc hiệu, hệ thức trung điểm và trọng tâm, bài toán kéo pháo Điện Biên Phủ và thuyền qua sông, cùng 100% lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 4.6 đến Bài 4.10 trang 54).
BÀI 8. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 51 - 54)
THUẬT NGỮ CỐT LÕI
- Tổng của hai vectơ ($\vec{a} + \vec{b}$)
- Quy tắc ba điểm & Quy tắc hình bình hành
- Vectơ đối ($-\vec{a}$)
- Hiệu của hai vectơ ($\vec{a} - \vec{b}$) & Quy tắc hiệu
- Tính chất trung điểm ($\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$)
- Tính chất trọng tâm ($\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$)
KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT
- Thực hiện thành thạo phép cộng và phép trừ hai vectơ bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc hiệu.
- Sử dụng các hệ thức vectơ biểu thị trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.
- Vận dụng quy tắc cộng, trừ vectơ vào các bài toán vật lí thực tiễn: tổng hợp lực, hợp lực tác dụng, vận tốc thuyền qua sông, lực kéo pháo.
TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU: CON TÀU SANG SÔNG (TRANG 51)
Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu.
Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?
Hình ảnh con tàu chuyển động sang bờ bên kia của dòng sông
1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ
ĐỊNH NGHĨA TỔNG CỦA HAI VECTƠ
Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ tuỳ ý và vẽ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$.
Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$. Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ: $$\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
QUY TẮC BA ĐIỂM (QUY TẮC TAM GIÁC)
Với ba điểm bất kì $A, B, C$, ta luôn có:
QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH
Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì:
Tính chất của phép cộng vectơ
Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tuỳ ý, phép cộng vectơ có các tính chất tương tự như phép cộng các số thực:
Ví dụ 1: Tính độ dài vectơ tổng trong hình vuông
Hình vuông cạnh 1Cho hình vuông $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng $1$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}$.
1. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}|$:
Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Thay vào biểu thức:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \mathbf{\sqrt{2}}$.
2. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}|$:
Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = \mathbf{\sqrt{2}}$.
Tính độ dài vectơ tổng trong hình thoi
Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và góc $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}$.
• Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình thoi $ABCD$: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$.
Vì $\widehat{BAD} = 120^\circ \implies \widehat{BCD} = 120^\circ \implies \widehat{B} = 60^\circ \implies \Delta ABC$ đều cạnh $1$. Do đó $CA = 1$.
⇒ $|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{CA}| = CA = \mathbf{1}$.
• Biến đổi: $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} = (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$.
⇒ $|\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{CA}| = CA = \mathbf{1}$.
2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ
HĐ4 Hai lực cân bằng trong trò chơi kéo co
Khi hai đội kéo co kéo sợi dây với lực cùng độ lớn nhưng ngược hướng, hai lực cân bằng nhau và điểm giữa sợi dây đứng yên. Hai lực này được biểu diễn bởi hai vectơ đối nhau!
Hình 4.14: Hai lực kéo cân bằng — Hai vectơ đối nhau
VECTƠ ĐỐI & ĐỊNH NGHĨA PHÉP TRỪ VECTƠ
- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, kí hiệu là $-\vec{a}$.
- Ta có: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$. Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$, nghĩa là $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$.
- Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của $\vec{a}$ với vectơ đối của $\vec{b}$: $$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$
Hệ thức vectơ của Trung điểm và Trọng tâm
1. Tính chất trung điểm đoạn thẳng
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi:
2. Tính chất trọng tâm tam giác
Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:
Bài toán kéo pháo lên dốc Điện Biên Phủ
Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng $22\,148\text{ N}$ (khối lượng xấp xỉ $2\,260\text{ kg}$) lên một con dốc nghiêng $30^\circ$ so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng $100\text{ N}$, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?
• Khẩu pháo chịu tác dụng của ba lực: trọng lực $\vec{P}$, phản lực $\vec{N}$ và lực kéo $\vec{F}$.
• Để kéo pháo lên dốc đều, lực kéo $\vec{F}$ cần cân bằng với thành phần kéo xuống của trọng lực song song với mặt dốc: $$F = P \cdot \sin 30^\circ = 22\,148 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{11\,074\text{ (N)}}$$
• Số người tối thiểu cần huy động: $n = \frac{11\,074}{100} = 110{,}74 \implies \mathbf{111\text{ người}}$.
Hình 4.18: Phân tích lực kéo pháo lên con dốc 30°